机器人学导论第3章.ppt

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1、第第3章章 微分运动和速度微分运动和速度学习内容：学习内容：1 微分关系微分关系 2 坐标系以及关节的微分运动坐标系以及关节的微分运动 3 雅克比矩阵的相关运算及其与速度之雅克比矩阵的相关运算及其与速度之 间的关系间的关系学习重点：雅克比矩阵的计算学习重点：雅克比矩阵的计算1 微分关系的概念微分关系的概念微分运动就是指机器人的微小运动，而微分关系是指微微分运动就是指机器人的微小运动，而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。分运动与速度之间的关系。2 微分关系的理论推导微分关系的理论推导下面这幅图是具有两个自由度的简单机构。其中每个连下面这幅图是具有两个自由度的简单机构。其中每个连杆都能独立旋转

2、，杆都能独立旋转，表示第一个连杆相对于参考坐标系的表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度，旋转角度，表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。度。3.1 微分关系微分关系微分关系微分关系让我们计算一下让我们计算一下B点的速度点的速度根据物理学中的相关公式，可以得到根据物理学中的相关公式，可以得到接下来让我们对接下来让我们对B点的位置方程求微分点的位置方程求微分方程两边对方程两边对 和和 求微分，可得到求微分，可得到可以看到，微分方程与速度方程极为相似，只不可以看到，微分方程与速度方程极为相似，只不过二者表达的物理含义不同，如果在微分方程的过二者表达的物理

3、含义不同，如果在微分方程的两边同时除以两边同时除以dt,则两方程就完全相同了。则两方程就完全相同了。3 微分方程的结构微分方程的结构微分关系微分关系B点的微分点的微分运动方程运动方程雅克比矩阵雅克比矩阵关节的微关节的微分运动分运动3.63.2 雅克比矩阵雅克比矩阵1 研究雅克比矩阵的意义研究雅克比矩阵的意义由式由式3.6可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可以将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。可以将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。2 雅克比矩阵的计算雅克比

4、矩阵的计算由式由式3.6可以看到，由于角度是时变的，所以雅克可以看到，由于角度是时变的，所以雅克比矩阵也是时变的。所以我们可以通过对位置方程比矩阵也是时变的。所以我们可以通过对位置方程中的时间变量求导的方法来计算雅克比矩阵中的时间变量求导的方法来计算雅克比矩阵假设有一组变量为假设有一组变量为 的方程的方程 ：则变量和函数间的微分关系可以表示为则变量和函数间的微分关系可以表示为根据上述关系，我们可以建立机器人的关节微分根据上述关系，我们可以建立机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系雅克比矩阵雅克比矩阵机器人手机器人手沿沿x,y,z轴轴的微分运

5、的微分运动动机器人手绕机器人手绕x,y,z轴的微轴的微分旋转分旋转关节的关节的微分运微分运动动雅克比矩阵雅克比矩阵例例3.1 给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。微分运动和角位移微分运动。由例题可知：由例题可知：刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量和微刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者由绕三轴的微分转动组成。后者由绕三轴的微分转动组成。雅克比矩阵的构

6、造：雅克比矩阵的构造：一、矢量方程微分法；一、矢量方程微分法；二、位姿方程微分法。二、位姿方程微分法。3.3 坐标系的微分运动坐标系的微分运动 假设坐标系相对于参考坐标系做微量运动。一种情况是可假设坐标系相对于参考坐标系做微量运动。一种情况是可以不考虑产生微分运动的原因来观察坐标系的微分运动，另一以不考虑产生微分运动的原因来观察坐标系的微分运动，另一种情况是通过引起微分运动的机构来考察该微分运动。前一种种情况是通过引起微分运动的机构来考察该微分运动。前一种情况只研究坐标系的运动以及坐标系表示的变化情况只研究坐标系的运动以及坐标系表示的变化(如图如图a所示所示)。后一种情况则将研究产生该运动的机

7、构的微分运动以及它与坐后一种情况则将研究产生该运动的机构的微分运动以及它与坐标系运动的联系标系运动的联系(如图如图b所示所示)。此时，机器人关节的微量运。此时，机器人关节的微量运动会使得手坐标系也产生微量运动。动会使得手坐标系也产生微量运动。假设有一个机器人要将两片工作焊接在一起，为假设有一个机器人要将两片工作焊接在一起，为了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，也了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，也就是说要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定就是说要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定姿态的恒速运动。这就涉及到坐标系的微分运动，而姿态的恒速运动。这就涉及到坐标系的微分运动，

8、而该运动是由机器人产生的。该运动是由机器人产生的。因此，应计算每一时刻各关节的速度，以使得由因此，应计算每一时刻各关节的速度，以使得由机器人产生的总运动就等于坐标系的期望速度。机器人产生的总运动就等于坐标系的期望速度。坐标系微分运动可以分为如下三个运动：坐标系微分运动可以分为如下三个运动：微分平移微分平移 微分旋转微分旋转 微分变换微分变换(平移与旋转平移与旋转)我们首先研究坐标系的微分运动，然后研究机我们首先研究坐标系的微分运动，然后研究机器人机构的微分运动，最后建立两者之间的联系。器人机构的微分运动，最后建立两者之间的联系。1 微分平移微分平移 微分平移就是坐标系平移一个为分量，因此它可以

9、微分平移就是坐标系平移一个为分量，因此它可以用用Trans(dx,dy,dz)来表示，其含义是坐标系沿来表示，其含义是坐标系沿3条坐标条坐标轴做了微小量的运动。轴做了微小量的运动。2 微分旋转微分旋转 微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用 来描述，即坐标系来描述，即坐标系 轴转动轴转动 角度。角度。绕三轴的转动分别定义为因为转动很小，所以绕三轴的转动分别定义为因为转动很小，所以因此，表示绕因此，表示绕x,y,z轴的微分旋转矩阵为：轴的微分旋转矩阵为：注意：上述矩阵违反了每个向量长度为注意：上述矩阵违反了每个向量长度为1的规的规定。例如定。例如 。然而由于微分

10、值很小，在计。然而由于微分值很小，在计算时高阶微分可以忽略不计。并且这样的近似并不算时高阶微分可以忽略不计。并且这样的近似并不影响计算结果。所以我们采用这样的向量长度。影响计算结果。所以我们采用这样的向量长度。另外我们再来看看矩阵乘法的顺序，不同的顺另外我们再来看看矩阵乘法的顺序，不同的顺序是否会产生不同的结果。序是否会产生不同的结果。比较两式，如果忽略掉所有的高阶微分变换，比较两式，如果忽略掉所有的高阶微分变换，上述两式的结果是相同的。因此乘法的顺序并不影上述两式的结果是相同的。因此乘法的顺序并不影响最终计算结果。也就是说在微分运动分析中满足响最终计算结果。也就是说在微分运动分析中满足交换律

11、。交换律。绕三条坐标轴的三个微分运动可以表示为绕三条坐标轴的三个微分运动可以表示为 习题：求绕三个坐标轴作微分旋转所产生习题：求绕三个坐标轴作微分旋转所产生的总微分变换的总微分变换 3 坐标系的微分变换坐标系的微分变换 坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。如果用的合成。如果用T表示原始坐标系，并假定由于微表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系分变换所引起的坐标系T的变化量用的变化量用dT表示，则有：表示，则有：可令：可令：我们称我们称 为微分算子，用它乘以一个坐标系为微分算子，用它乘以一个坐标系将导致坐标系的变化将导致坐标系的变化进

12、一步求得进一步求得习题习题 对如下的坐标系对如下的坐标系B,绕绕y轴做轴做0.1弧度的微分转动，弧度的微分转动，然后微分平移然后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果，求微分变换的结果解：解：其中，其中，dB矩阵表示坐标系矩阵表示坐标系B的变化，该矩阵的每个元素的变化，该矩阵的每个元素表示坐标系中相应元素的变化。如，本例中表示坐标系中相应元素的变化。如，本例中 dB意味着该坐意味着该坐标系沿标系沿x轴移动了轴移动了0.4个单位的微小量，沿个单位的微小量，沿y轴无运动，沿轴无运动，沿z轴轴移动了移动了-0.8个单位的微小量。它也意味着坐标系的旋转使得个单位的微小量。它也意味着坐标系的旋转使

13、得 向量向量 没有改变，没有改变，而在向量而在向量 的分量的分量 上改变了上改变了0.1，在向，在向量量 的分量的分量 上改变了上改变了-0.1。微分变化的理解微分变化的理解由此，我们可求上例中坐标系由此，我们可求上例中坐标系B运动后的位姿，如下运动后的位姿，如下3.6 坐标系之间的微分变化坐标系之间的微分变化 前面介绍的微分算子前面介绍的微分算子 是相对于固定参考坐标系来说的，是相对于固定参考坐标系来说的，同样的，我们可以定义另外一个微分算子，是相对于当前坐标同样的，我们可以定义另外一个微分算子，是相对于当前坐标系的，这样使得可以在该坐标系（当前）中计算同样的变换。系的，这样使得可以在该坐标

14、系（当前）中计算同样的变换。由于是相对于当前坐标系的，必须用右乘该坐标系的。如由于是相对于当前坐标系的，必须用右乘该坐标系的。如下式所示：下式所示：因此，上式可以用来计算相对于本身坐标系的微分算子因此，上式可以用来计算相对于本身坐标系的微分算子 。将上式矩阵相乘并加以简化，得到的结果如下。将上式矩阵相乘并加以简化，得到的结果如下：应注意，应注意，看上去如同看上去如同 矩阵，但所有元素都是相对于当矩阵，但所有元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下：果归纳如下：例例 对如下的坐标系对如下的坐标系B，绕，绕y轴做

15、轴做0.1弧度的微分转动，然后微分平移弧度的微分转动，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果。，求微分变换的结果。解：解：举例说明如何求得举例说明如何求得相对于本身坐标系的微分算子，回忆下面的例题（上节课出现过）：现在求出相对于本身坐标系的微分算子：现在求出相对于本身坐标系的微分算子：由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量公式公式代入可得：代入可得：3.7 机器人及机器人手坐标系的微分运动 前面介绍的都是坐标系的变换结果，而不涉及变换是前面介绍的都是坐标系的变换结果，而不涉及变换是如何实现的。现在我们就研究一下机器人手坐标系的变化如何

16、实现的。现在我们就研究一下机器人手坐标系的变化是如何由机器人的运动转换来的。是如何由机器人的运动转换来的。我们要做的就是找出机器人关节的微分运动是如何与我们要做的就是找出机器人关节的微分运动是如何与手坐标系的微分运动关联的，尤其是与手坐标系的微分运动关联的，尤其是与dT的关系。的关系。这种关系取决于：这种关系取决于：机器人的机器人的构型和设计构型和设计的函数；的函数；机器人机器人即时位姿即时位姿的函数。的函数。举例说明：举例说明：简单的简单的旋转机器人旋转机器人和和斯坦福机械手臂斯坦福机械手臂 区别：构型不同区别：构型不同 结果：要产生类似（相同）的机械手速度，所要求的关结果：要产生类似（相同

17、）的机械手速度，所要求的关 节速度会有所不同。节速度会有所不同。由此可知：由此可知：对于上述的任何一种机器人，手臂是否能够完全地伸展对于上述的任何一种机器人，手臂是否能够完全地伸展 以及能否指向任意方位，都需要将其转化为不同的关节以及能否指向任意方位，都需要将其转化为不同的关节 速度从而产生相同的手的速度。速度从而产生相同的手的速度。我们可以通过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的我们可以通过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的 联系，如下所示：联系，如下所示：机器人手机器人手沿沿x,y,z轴轴的微分运的微分运动动机器人手绕机器人手绕x,y,z轴的微轴的微分旋转分旋转关节的关节的微分运微分运动

18、动雅克比矩阵雅克比矩阵3.8 雅克比矩阵的计算雅克比矩阵的计算a、雅克比矩阵的每一个元素是对应的运动学方程对其中、雅克比矩阵的每一个元素是对应的运动学方程对其中一个变量的导数一个变量的导数雅克比矩阵的含义：雅克比矩阵的含义：b、D中的第一个元素是中的第一个元素是dx，它表示第一个运动学方程必须，它表示第一个运动学方程必须必须表示沿必须表示沿x轴的运动，当然也就是轴的运动，当然也就是Px。换句话说，。换句话说，Px表示表示手的坐标系沿手的坐标系沿x轴的运动，它的导数为轴的运动，它的导数为dx。同样，。同样，dy和和dz也也是如此。若考虑用是如此。若考虑用 表示的矩阵，对相应的元素表示的矩阵，对相

19、应的元素Px，Py和和Pz求微分就得到求微分就得到dx,dy和和dz。回忆第二章一道例题#da1009020030040-90500906000用用D-H法建立坐标系并求出变化矩阵法建立坐标系并求出变化矩阵求出总变化矩阵求出总变化矩阵我们（关心）取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后我们（关心）取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后一列为：一列为：对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有哪个方对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有哪个方程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需要用不同的程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需要用不同的方法对他们进行计算。方法对他们进行计算。事实上，相

20、对于最后一个坐标系事实上，相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵的计算的雅克比矩阵的计算要比相对于第一个坐标系简单的多。因此，我们将用下面的要比相对于第一个坐标系简单的多。因此，我们将用下面的方法进行计算。方法进行计算。将相对于最后一个坐标系的速度方程写成：将相对于最后一个坐标系的速度方程写成：此时，意味着，用相同关节的微分运动来左乘最后一个此时，意味着，用相同关节的微分运动来左乘最后一个坐标系的雅克比矩阵，则可得到机器人首项对于最后一个坐坐标系的雅克比矩阵，则可得到机器人首项对于最后一个坐标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一个

21、坐标系的雅克比矩阵：个坐标系的雅克比矩阵：方程的微分运动关系可以写成：方程的微分运动关系可以写成：假设假设A1,A2An的任意组合可以用相应的的任意组合可以用相应的n,o,a,p矩阵表示，则矩阵中相应的元素可以用来计算矩阵表示，则矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。雅可比矩阵。如果所考虑的关节如果所考虑的关节i为旋转关节，那么：为旋转关节，那么：如果所考虑的关节如果所考虑的关节i为滑动关节，那么：为滑动关节，那么：例题例题例题例题3.9 建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联 在讨论过雅可比矩阵和微分算子之后，我们将在讨论过雅可比矩阵和微分算子之后，我们将二者

22、联系到一起。二者联系到一起。假设机器人的关节移动一个微分量，由式假设机器人的关节移动一个微分量，由式3.10以及已知的雅可比矩阵可以计算出以及已知的雅可比矩阵可以计算出D矩阵，它包括矩阵，它包括了了 的值的值(机器人手的微分运动机器人手的微分运动)。先求微分算子。然后计算先求微分算子。然后计算dT，由此来确定机器人手，由此来确定机器人手的新位姿。这样，机器人关节的微分运动就与机器的新位姿。这样，机器人关节的微分运动就与机器人手坐标系联系起来了。人手坐标系联系起来了。例题例题3.10 雅可比矩阵求逆雅可比矩阵求逆 为了计算机器人关节上的微分运动为了计算机器人关节上的微分运动(或速度或速度)以得到

23、所需要以得到所需要的手的微分运动的手的微分运动(或速度或速度)，需要计算雅可比矩阵的逆，并且将，需要计算雅可比矩阵的逆，并且将它用于下列方程：它用于下列方程：这就是说，知道了雅可比矩阵的逆，就可以计算出每个关这就是说，知道了雅可比矩阵的逆，就可以计算出每个关节需要以多快的速度运动，才能使机器人的手产生所期望的微节需要以多快的速度运动，才能使机器人的手产生所期望的微分运动获达到期望的速度。实际上，微分运动分析的主要目的分运动获达到期望的速度。实际上，微分运动分析的主要目的是分析而不是进行计算。是分析而不是进行计算。我们知道，雅可比矩阵中所有元素的实际值都是时变的，我们知道，雅可比矩阵中所有元素的

24、实际值都是时变的，因此，虽然雅可比矩阵的符号方程相同，但他们的数值改变因此，虽然雅可比矩阵的符号方程相同，但他们的数值改变了。所以我们为了能够在每秒内计算出足够多的精确关节速了。所以我们为了能够在每秒内计算出足够多的精确关节速度，需要保证计算过程非常高效和快速，否则，结果将是不度，需要保证计算过程非常高效和快速，否则，结果将是不精确的。精确的。常用的雅可比矩阵求逆的方法是，可以用逆动力学方程常用的雅可比矩阵求逆的方法是，可以用逆动力学方程来计算关节的速度。来计算关节的速度。方法如下：方法如下：我们可以看到，根据我们可以看到，根据6个微分方程可求得个微分方程可求得6个关节微分值，个关节微分值，我们可以对机器人控制器进行编程，进而驱动机器人关节。我们可以对机器人控制器进行编程，进而驱动机器人关节。习题习题#da100090290015”030015”0490015”-90500090645000习题1.假设手坐标系的位姿用如下的伴随矩阵来表示。若绕Z轴做0.15弧度的微分旋转，再做0.1，0.1，0.3的微分平移，思考这样的微分运动将产生怎样的影响，并求出手的新位置。解：5.给定机器人的手坐标系和相应的雅克比矩阵。对于给定关节的微分变化，计算手坐标系的变化、新位置和相应的。解：由题意得：完毕完毕SCARA机器人微分运动机器人微分运动3.11 设计项目设计项目2