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1、运运 筹筹 帷帷 幄幄 之之 中中决决 胜胜 千千 里里 之之 外外线性规划及单纯形法Linear Programming第一章第1页/共80页第一章第一章线性规划线性规划 LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用本章主要内容：本章主要内容：第2页/共80页第一章第一章线性规划线性规划1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。这
2、就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大.）第3页/共80页第一章第一章线性规划线性规划某工厂拥有某工厂拥有A A、B B、C C三种类型
3、的设备，生产甲、三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示设备可利用的时数如下表所示：例一：例一：产品甲产品乙设备能力（h）设备A3265设备B2140设备C0375利润（元/件）15002500求该工厂应该如何生产才能获得最大利润。求该工厂应该如何生产才能获得最大利润。第4页/共80页目标函数目标函数 Max Max z z =1500=1500 x x1 1+2500+2500 x x2 2 约束条件约束条件 s.t.s.t
4、.3 3x x1 1+2+2x x2 2 6565 2 2x x1 1+x x2 2 4040 3 3x x2 2 7575 x x1 1,x,x2 2 0 0 subject toMaximize第5页/共80页第一章第一章线性规划线性规划习题习题1 1某厂生产两种产品，下表给某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单出了单位产品所需资源及单位产品利润位产品利润 问：应如何安排生产计划，才问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？能使总利润最大？解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量 分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设
5、总利润为z z，则有：，则有：maxz=2x1+x23.3.约束条件：约束条件：5x2 15 6x1+2x2 24 x1+x2 5 x1，x20第6页/共80页第一章第一章线性规划线性规划 某混合饲料加工厂计划从市场上购买甲、乙两种原料某混合饲料加工厂计划从市场上购买甲、乙两种原料生产一种混合饲料。混合饲料对生产一种混合饲料。混合饲料对VA、VBl、VB2和和VD的最的最低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料VA、VBl、VB2和和VD的含量，单位混合饲料对的含量，单位混合饲料对VA、VBl、VB2和和VD的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表
6、所示。的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表所示。例二：例二：原料甲原料乙混合饲料最低含量VA含量0.50.52VBl含量10.33VB2含量0.20.61.2VD含量0.50.22原料单价(元)0.30.5问该加工厂应如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合饲料问该加工厂应如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合饲料在满足在满足VA、VBl、VB2和和VD的最低含量要求条件下，总成本最小的最低含量要求条件下，总成本最小?第7页/共80页第一章第一章线性规划线性规划例三：例三：污水处理问题 环保要求河水含污低于2，河水可自身净化20%。问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？200200
7、万m m3 3500500万m m3 32 2万m m3 31.41.4万m m3 3化工厂1 1化工厂2 210001000元/万m m3 3800800元/万m m3 3第8页/共80页第一章第一章线性规划线性规划习题习题2 2已知资料如下表所示，问如已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品？或如何考虑利润大，产品好销。好销。设设 备备产产 品品 A B C D利润利润（元）（元）2 1 4 0 2 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时12 8 16 12解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产
8、量分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则，则有：有：maxz=2x1+x23.3.约束条件：约束条件：x1 0,x2 0 2x1+2x2 12 x1+2x2 8 4x1 16 4x2 12第9页/共80页第一章第一章线性规划线性规划习题习题3 3某厂生产三种药物，这些药某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料提取。下表给出了单位原料可提取的药物量可提取的药物量 解：解：要求：生产要求：生产A种药物至少种药物至少160单位；单位；B种药物恰好种药物恰好200单位，单位，C种药物不超过种药物不超过1
9、80单位，且单位，且使原料总成本最小。使原料总成本最小。1.1.决策变量：设四种原料的使用决策变量：设四种原料的使用 量分别为：量分别为：x1、x2、x3、x42.2.目标函数：设总成本为目标函数：设总成本为z min z=5 x1+6 x2+7 x3+8 x43.3.约束条件：约束条件：x1+2x2+x3+x4 160 2x1 +4 x3+2 x4 200 3x1 x2+x3+2 x4 180 x1、x2、x3、x4 0第10页/共80页第一章第一章线性规划线性规划线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量决策变量Decisionvariables目标函数目标函
10、数Objectivefunction约束条件约束条件Constraints其特征是：其特征是：（1 1 1 1）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的线性线性函数，函数，通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；（2 2 2 2）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性线性不不等式或等式。等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？第11页/共80页建模条件(1)(1)优化条件优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值能够用极值 （max ma
11、x 或或 minmin）来表示；）来表示；(2)(2)限定条件限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；(3)(3)选择条件选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。出最优方案。第12页/共80页建模步骤(1)(1)确定决策变量确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)(2)找出所有限定条件找
12、出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；(3)(3)写出目标函数写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是max max 还是还是 minmin。第13页/共80页目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：线性规划数学模型的一般形式简写为：简写为：第14页/共80页向量形式：向量形式：其中：其中：第15页/共80页矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：第16页/共80页 标准形式特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。第17页/共80页如何转化为标准形式如何转化为
13、标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。，可化为求极大值问题。也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中：变量的变换第18页/共80页 约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为松弛变量称为剩余变量称为剩余变量 常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）第19页/共80页如何转化为标准形式如何转化为标准形式例四：例四：将下列线性规划问题化为标准形式第20页/共80页如何转化为标准形式如何转化为标准形式例四：例四：
14、解:(1)因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以用用 替换替换 ，且，且 (2)第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；(3)第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;第21页/共80页标准形式如下：标准形式如下：第22页/共80页如何转化为标准形式如何转化为标准形式习题四：习题四：将线性规划问题化为标准型将线性规划
15、问题化为标准型解：解：第23页/共80页如何转化为标准形式如何转化为标准形式习题五：习题五：将线性规划问题化为标准型将线性规划问题化为标准型解：解：Minf=-3x1+5x2+8x3-7x4s.t.2x1-3x2+5x3+6x4284x1+2x2+3x3-9x4396x2+2x3+3x4-58x1,x3 ,x40；x2无约束无约束 Maxz=3x15x2+5x2”8x3+7x4s.t.2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5=284x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6=39-6x2+6x2”-2x3-3x4-x7=58x1,x2,x2”,x3,x4,x5,x6,x70第24页/共8
16、0页习题习题WarmUp 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：货运量、货运成本如下表所示：航线号航线号船队船队类型类型编队形式编队形式货运成本货运成本（千元队）（千元队）货运量货运量（千吨）（千吨）拖轮拖轮A型型驳船驳船B型型驳船驳船1112362521436202322472404142720船只种类船只种类船只数船只数拖拖 轮轮30A型驳船型驳船34B型驳船型驳船52航线号航线号合同货运量合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？问：应如何编队，才能既完成合同任
17、务，又使总货运成本为最小？第25页/共80页习题习题WarmUp 解：解：设：设：x xj j为第为第j j号类型船队的队数（号类型船队的队数（j=1j=1，2 2，3 3，4 4），），z z 为总货运成本为总货运成本minz=36x1+36x2+72x3+27x4x1+x2+2x3+x4302x1+2x3344x2+4x3+4x45225x1+20 x220040 x3+20 x4400 xj0（j=1,2,3,4）第26页/共80页习题习题WarmUp将下列非标准型线性规划化为标准型：Minf(x)=3x1-2x2+4x3s.t.2x1+3x2+4x3300300 x1+5x2+6x34
18、00400 x1+x2+x3200 200 x10,0,x20 0,x3正负不限第27页/共80页图解法线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。第28页/共80页解题步骤4将最优解代入目标函数，求出最优值。1在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点称为可行解。2标出目标函数值增加或者减小的方向。3若
19、求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域最后相交的点，该点就是最优解。图解法第29页/共80页图解法maxZ=2X1+X2X1+1.9X23.8X1-1.9X23.8s.t.X1+1.9X210.2X1-1.9X2-3.8X1，X20用图解法求解线性规划问题用图解法求解线性规划问题第30页/共80页图解法x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()4=2X1+X220=2X1+X217.2=2X1+X211=2X1+X2Lo：0=2X1+X2（7.6，2）DmaxZmin
20、Z此点是唯一最优解，且最优目标函数值 max Z=17.2可行域可行域max Z=2X1+X2第31页/共80页图解法x1max Z=3X1+5.7X2x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值max Z=34.2是唯一的。可行域可行域第32页/共80页图解法min Z=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X
21、1+1.9X2=10.2()DL0：0=5X1+4X2 max Z min Z 8=5X1+4X2 43=5X1+4X2（0，2）可行域此点是唯一最优解第33页/共80页图解法(无界解)246x1x2246无界解无界解(无最优解无最优解)maxZ=x1+2x2x1+x2=4()x1+3x2=6()3x1+x2=6()maxZminZ第34页/共80页图解法(无可行解)x1x2O10203040102030405050无可行解无可行解(即无最优解即无最优解)maxZ=3x1+4x2第35页/共80页图解法根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规划的可行域和最优解有以下几种可能的情况：1.可行域为封
22、闭的有界区域(a)有唯一的最优解；(b)有无穷多个最优解；2.可行域为封闭的无界区域(c)有唯一的最优解；(d)有无穷多个最优解；(e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少)，因而没有有限最优解。3.可行域为空集(f)没有可行解，原问题无最优解第36页/共80页图解法(1)线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解(3)最优解一定是在凸集的某个顶点(2)线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）(4)解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。第37页/共80页图
23、解法学习要点：学习要点：1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）2.作图的关键有三点：作图的关键有三点：(1)可行解的区域要画正确可行解的区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动第38页/共80页线性规划问题解的概念线性规划问题标准型：求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。第39页/共80页线性规划问题解的概念 可行解：
24、满足约束条件可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。最优解：使目标函数达到最大值的可行解。最优解：使目标函数达到最大值的可行解。基：设基：设A为约束条件为约束条件的的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010换出行将3化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘以3/5后得到103/51/518011/52/540011第52页/共80页单纯形法的计算步骤用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。第53页/共80页单纯形法的计算步骤cj12100icB基变量
25、bx1x2x3x4x50 x4152-32100 x5201/31501121000 x42x220 x x2 221/3150120753017131/309022560 x x1 111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3第54页/共80页习题Warmup变成标准型变成标准型第55页/共80页单纯形法的计算步骤学习要点：学习要点：1.线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2.熟练掌握线性规划问题的标准化熟练掌握线性规划问题的标准化3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤第56页/共
26、80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论人工变量法人工变量法人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大MM法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。第57页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯
27、形表。第58页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：法数学模型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理理解解为为它它能能大大于于给给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值值；再再用用前前面面介介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。第59页/共80页cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i-Mx64-431-101040 x5101-120100
28、5-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M-Mx63-650-1013/50 x58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/500 x531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3第60页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表
29、。立初始单纯形表。第61页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给给出出具具体体的的数数值值，可可以以理理解解为为它它能能大大于于给给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值值；再再用用前前面面介介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。第62页/共80页Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-21100011-Mx63-4
30、120-1103/2-Mx71-20100011Z-4M3-6M-1+M-1+3M0-M000 x4103-20100-1-Mx610100-11-21-1x31-2010001Z-M-11-1+M00-M0-3M+1第63页/共80页Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4123001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001Z-21000-1-M+1-M-13x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3Z2000-1/3-1/3-M+1/3-M+2/3第64页/共80
31、页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法 用计算机处理数据时，只能用很大的数代替用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成可能造成计算机上的错误，故多采用计算机上的错误，故多采用两阶段法两阶段法。第一阶段：第一阶段：在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：对上述模型求解（单纯形法），若对上述模型求解（单纯形法），若=0,说明问题存在基可说明问题存在基可行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止行解，可以进行第二个阶段；否则，原问题无可行解，停止运算。运算。第65页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一
32、步讨论两阶段法两阶段法第一阶段的线性规划问题可写为：第一阶段的线性规划问题可写为：第一阶段单纯形法迭代的过程见下表第一阶段单纯形法迭代的过程见下表第66页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法Cj0000011CBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-211000111x63-4120-1103/21x71-2010001146-1-301000 x4103-20100-11x610100-11-210 x31-201000110-1001030 x4123001-22-50 x210100-11-20 x31-201000000000011第67页/共
33、80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法第二阶段：第二阶段：在第一阶段的最终表中，去掉人工变量，将目标函数的在第一阶段的最终表中，去掉人工变量，将目标函数的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表（用单纯形法计算）。表（用单纯形法计算）。第68页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法cj3-1-100CBXBbx1x2x3x4x50 x4123001-24-1x210100-1-1x31-20100Z-21000-13x141001/3-2/3-1x210100-1-1x3900
34、12/3-4/3Z2000-1/3-1/3 最优解为（最优解为（41900），目标函数），目标函数Z=2第69页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，或者两阶段法的辅助线性规划的目标函数的极小值大于零，那么该线性规划就不存在可行解。无可行解 第70页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论C -3 -2 -1 0 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0-M-M x4x7x8 643 1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -
35、1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 6/1-3/1 Z-7M-6-4M-15-M -3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0 0-M-2 x4x7x2 343 1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 3/14/1-Z Z -3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M-3-M-2 x1x7x2 313 1 0 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1 例运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解
36、。第71页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 无最优解与无可行解时两个不同的概念。无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集；无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大（或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。判别方法：无最优解判别定理在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无最优解 无最优解第72页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一
37、步讨论C 2 2 0 0 CXB B x1 x2 x3 x4 0X3 1-11100X4 2-1/2101Z02200因因但但所以原问题无最优解所以原问题无最优解第73页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 退化 即计算出的（用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规则（摄动法原理）：当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量；(2)当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。第74页/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形
38、法的进一步讨论000-242-8030Z-5-60-420-805Z10001001x3 212060-2411x1 3321300-803x5 00-30-425-800Z1100 1001x7 00106-1-2410 x1 30-1130-3-800 x5 0-11001001x7 000106-1-2410 x6 0000136-4-3210 x5 0 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 b XB CB 000-242-803C 第第一一次次迭迭代代中中使使用用了了摄摄动动法法原原理理，选选择择下下标标为为6的的基基变量变量x6离基。离基。可得最优解可得最优解maxZ=，第75页
39、/共80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论 无穷多最优解 若若线线性性规规划划问问题题某某个个基基本本可可行行解解所所有有的的非非基基变变量量检检验验数数都都小小于于等等于于零零，但但其其中中存存在在一一个个检检验验数数等等于于零零，那那么么该该线性规划问题有无穷多最优解。线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：例：最优表：非基变量检验非基变量检验数数，所以有无穷多所以有无穷多最优解。最优解。C 1 2 0 0 0CBXBb x1 x2 x3 x4 x5021x3x2x12320 0 1 2 -10 1 0 1 01 0 0 -2 12/23/1-Z8 0 0 0 0 -1第76页/共
40、80页单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论解的判别：解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。则线性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个）无界解判别：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性规）则线性规划具有无界解。划具有无界解。4）无无可可行行解解的的判判断断：当当用用大大M单单纯纯形形法法计计算
41、算得得到到最最优优解解并并且存在且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。第77页/共80页单纯形法小结单纯形法小结建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极极大或极小小新加变新加变量系数量系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi 0=max Zmin Zxs xa求求解解图图解解 法法、单单纯纯形形法法单单纯纯形形法法不不处处理理令令xj=xj-xj xj 0 xj 0令令 xj=-xj不不处处理理约束约束条件条件两端两端同乘同乘以以-1-1加加松松弛弛变变量量xs加加入入人人工工变变量量xa减减去去xs加加入入xa不不处处理理令令z=-ZminZ=max z0-M第78页/共80页A第79页/共80页感谢您的观看！第80页/共80页