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1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力回顾与比较内力内力应力应力FAyFsM纯纯 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲横截面上只有横截面上只有M、没有没有Fs的弯曲的弯曲横截面上既有横截面上既有M、又有又有Fs的弯曲的弯曲5.1 5.1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力s有限元计算的轴向应变有限元计算的轴向应变纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力上层纤维缩短，下层纤维伸长。上层纤维缩短，下层纤维伸长。横向线仍为直线，横向线仍为直线，相对旋转了一角度。相对旋转了一角度。纵向线弯成了相互平行的弧线，纵向线弯成了相互平行的弧线，仍与横向线垂直。仍与横向线垂直。1.1.变形几何关系变形几何关系 试验观察：试验观察：假设
2、：假设：(1)横截面变形后仍为平面，横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线且仍垂直于轴线横截面上只有正应力横截面上只有正应力横截面上同一高度的正应力相等横截面上同一高度的正应力相等平面假设平面假设(2)纵向纤维间无挤压纵向纤维间无挤压,处于简单拉伸或压缩状态处于简单拉伸或压缩状态(3)同一高度上的纤维的变形相同同一高度上的纤维的变形相同中性层中性层中性轴中性轴既不伸长、也不缩短的纤维层既不伸长、也不缩短的纤维层横截面横截面各横各横截面截面绕中绕中性轴性轴旋转旋转中性轴中性轴横截面与中性层的交线横截面与中性层的交线两个名词：两个名词：中性层中性层2.2.物理关系物理关系(应力应变关系应力应变关系)
3、1.1.变形几何关系变形几何关系zydA3.静力学关系静力学关系横截面上的微力，dA组成平行于x轴的空间平行力系，这个力系只可能简化为：z 轴必须通过横截面的形心。轴必须通过横截面的形心。自然满足。自然满足。EIz 梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。反映梁抵抗弯曲变形的能力。正应力公式正应力公式变形几何关系：变形几何关系：物理关系：物理关系：静力学关系：静力学关系：为梁弯曲变形后的曲率。为梁弯曲变形后的曲率。为曲率半径，为曲率半径，纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力正应力分布正应力分布中性轴M中性层Mymaxymax中性轴上中性轴上 =0，中性轴又称为零应力线。，中性轴又
4、称为零应力线。沿横截面宽度方向均匀分布。沿横截面宽度方向均匀分布。FsAA 纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤维间无挤压。对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不成立。剪应力（分布不均匀）的存在对正应力分布规律有影响。横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l/h 5（细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围纯弯曲纯弯曲梁梁或细长梁的或细长
5、梁的横力弯曲；横力弯曲；横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0,=0,具对称截面；具对称截面；线弹性变形阶段；线弹性变形阶段；常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面1、惯性、惯性矩矩整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩(1).定义：定义：其值：其值：+单位：单位：m45-5-2 惯性矩的计算惯性矩的计算(2).惯性惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系即：即：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过平面图形
6、对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。性质性质 ：若若 x、y 轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴(1).圆形截面圆形截面由对称性由对称性(2).环形截面环形截面2.简单截面的惯性矩：简单截面的惯性矩：(3).(3).矩形截面矩形截面即：即：3.3.平行移轴公式平行移轴公式显然：显然：性质性质：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩的平行轴定理惯性矩的平行轴定理解：解：例例:求求 和和xy例
7、例:求图示工字形截面对求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy解1：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。xIIIIIIyxIIIIIyIxIIIIIIy将截面看成宽为B，高为H的矩形截面，减去阴影部分面积。解解2：xyxy附、静附、静矩矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩(1).定义：定义：（面积矩）（面积矩）其值：其值：+、-、0 单位：单位：m3(3).(3).组合图形的静矩组合图形的静矩(2).(2)
8、.静矩与形心的关系静矩与形心的关系(4).(4).静矩的性质静矩的性质形心轴形心轴 图形对形心轴的静矩为零；图形对形心轴的静矩为零；通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴 反之，图形对某轴的静矩为零，反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。则该轴必为形心轴。性质性质 ：F FAYAYF FBYBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径Fsx90kN90kN1.求支反力求支反
9、力（压应力）（压应力）解：解：例题简支梁几何尺寸如图简支梁几何尺寸如图,其上作用分布载荷其上作用分布载荷,求求:BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFsx90kN90kN2.C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFsx90kN90kN3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFsx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C
10、截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩(1).(1).弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上(2).(2).离中性轴最远处离中性轴最远处(4).(4).脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑(3).(3).变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与5-5-3 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算或写成或写成三类强度计算：三类强度计算：校核强度校核强度 设计截面设计截面 计算最大荷载计算最大荷载常见截面的常见截面的 IZ 和和 W圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面z轴为横截面的对称轴时轴为横截面的对称轴时(如矩形、圆
11、形、工字形等如矩形、圆形、工字形等)z轴不是对称轴时轴不是对称轴时(如如T字形、梯形等字形、梯形等)对应 y1、y2 可以求出该截面上的最大拉、压应力。例例例例:图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载q=3.6kN/m，其截面尺寸为 b=120mm,h=180mm。梁的计算跨度L=5m。所用木材的许用应力=10MPa，求：qL120180(1)校核梁的强度；(2)确定许用荷载；(3)若强度不够，则试按b/h=2/3重新设计梁的截面尺寸。解：(1)校核梁的强度梁的抗弯截面模量为：qL12018011.5kNm+Mq=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa 梁的最
12、大正应力为：故此梁强度不够。(2)确定许用荷载根据强度条件得：q=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa(3)因强度不够，重新设计截面b/h=2/3=10MPa例例例例5 5 4 4 外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已试校核强度。知材料2001703030yzy1=61y2=139q=15kN/mP=10kN4m1m非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置解：画弯矩图以确定危险截面q=15kN/mP=10kN4m1m25kNm10kNm+M2112 强度校核且z轴为非对称轴故可能危险截面为1截面和2截面“1”2001703030yzy1=61y2=
13、13925kNm10kNmM21+“2”强度不够2001703030yzy1=61y2=13925kNm10kNm+M21+将截面倒置，结论如何？+（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。（2 2）例题（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据计算计算 （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯
14、矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力材料的许用应力？例题（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：C C截面：截面：（5 5）结论：）结论：强度足够。强度足够。（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：1.1.降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排
15、支座合理布置载荷合理布置载荷6-75-4 提高弯曲强度的措施(1).合理布置支座合理布置支座FFF合理布置支座合理布置支座(2).(2).合理布置载荷合理布置载荷F2.2.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面6-7(1).(1).合理放置截面合理放置截面(A(A相同时相同时)(2).(2).合理设计截面合理设计截面(A(A不同时不同时)作为衡量截面合理性的指标。尽量将材料放置到远离中性轴的地方工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。圆环形截面优于圆形截面。截面形状的选择还应考虑材料特性塑性材料塑性材料塑性材料塑性材料选择中性轴为对称轴的截面，使得：脆性
16、材料脆性材料脆性材料脆性材料 选择中性轴为非对称轴的截面，并使中性轴偏于材料强度弱的一边。尽量使得y1y23.等强度梁的概念等强度梁的概念例：图示载荷，支座的四种布置中，从强度考虑，最佳方例：图示载荷，支座的四种布置中，从强度考虑，最佳方案为。案为。BAl/2Pl/2(A)l/4l/4l/4l/4BAP/3P/3P/3(B)lxq=P/lBA(C)q=P/lxBA0.2l0.2l0.6l(D)(D)6-3实践表明：实践表明：有些梁有些梁是是因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏 跨度小、截面高的木梁跨度小、截面高的木梁 有些梁则是因剪应力达到抗剪强度而破坏有些梁则是因
17、剪应力达到抗剪强度而破坏(1)梁端横截面上的剪力较大梁端横截面上的剪力较大例如：例如：破坏原因：破坏原因：(2)木梁沿木纹方向的抗剪能力较弱木梁沿木纹方向的抗剪能力较弱5-6 5-6 梁弯曲时的切应力梁弯曲时的切应力1.1.矩形截面梁矩形截面梁6-3两个假设两个假设 (1)剪剪应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；(2)剪剪应力沿横截面宽度均匀分布。应力沿横截面宽度均匀分布。6-3取微段取微段dx6-3M6-36-3由剪应力互等定理：由剪应力互等定理：所求切应力点一侧面积所求切应力点一侧面积 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。6-3矩形截面梁的剪应力矩形
18、截面梁的剪应力6-3矩形截面梁剪应力横向分布矩形截面梁剪应力横向分布窄长矩形截面窄长矩形截面矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力6-3矩形截面梁剪应力横向分布矩形截面梁剪应力横向分布中等宽度矩形截面中等宽度矩形截面矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力6-3矩形截面梁剪应力横向分布矩形截面梁剪应力横向分布宽矩形截面宽矩形截面2.2.工字形工字形截面梁截面梁6-43.3.圆形截面梁最大剪应力圆形截面梁最大剪应力 悬臂梁由三块木板粘接而悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为成。跨度为1 1m m。胶合面的许胶合面的许可可剪剪应力为应力为0.340.34MPaMPa，木材木材的的=10 MPa=10 MPa
19、，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按按剪剪应力强度条件计算许可载荷应力强度条件计算许可载荷 解：解：例题4.4.按胶合面强度条件计按胶合面强度条件计算许可载荷算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 例例:图示吊车梁若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m,梁材料的=120MPa,=60MPa.若由工字钢制成,试选择工字钢的型号.解解:吊车梁可简化成简支梁.按正应力强度条件确定梁截面:当载荷作用于梁中点时,梁的弯矩最大强度条件:查型钢表:28a工字钢
20、 校核最大剪应力作用点的强度:当小车移至支座处时梁内剪力最大.强度条件:由型钢表得28a工字钢的 本例结果表明,梁中最大剪应力是较小的.这是因为在设计型钢时,已令腹板有足够的厚度,以保证剪应力的强度。故选用28a工字钢时梁的正应力、剪应力强度足够.例例:由于生产的需要欲使上题中吊车梁能起吊P=45kN的重量.为此,在梁中段工字钢的上下缘各焊一块相同的钢板.其他条件同上.试校核危险截面的强度;求焊接钢板的长度.例例:图示吊车梁若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m,梁材料的=120MPa,=60MPa.若由工字钢制成,试选择工字钢的型号.解解:求截面 的惯性矩由型钢表28a工字钢加焊钢板后截面的 校核危险面的强度 当载荷作用于梁的中点时,梁的最大弯矩为:所以,加焊钢板后,梁在危险面的强度是安全的。求钢板的长度设梁左端A到焊接钢板端点的距离为x,当载荷作用在此处时,此截面的弯矩最大.在没焊接钢板处,28a工字钢能承受的弯矩为:令解得:故钢板长度不应小于小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施