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1、第第24章章 圆圆24.2.2 24.2.2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 （第三课时）（第三课时）切线切线的判定定理的判定定理：经过半径的经过半径的经过半径的经过半径的外端外端外端外端并且并且并且并且垂直垂直垂直垂直这这这这 条半径的直线是圆的切线。条半径的直线是圆的切线。条半径的直线是圆的切线。条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于圆的切线垂直于圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半过切点的半过切点的半过切点的半径径径径切线的性质：切线的性质：1.1.切线和圆只有一个公共点。切线和圆只有一个公共点。2.2.切线和圆心的距离等于半径。切线和圆心的距离等于
2、半径。3.3.切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。4.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点。经过圆心垂直于切线的直线必过切点。5.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心6.6.经过切点的直径与切线垂直经过切点的直径与切线垂直(1)(1)过圆心；过圆心；(2)(2)过切点；过切点；(3)(3)垂直于切线垂直于切线知二求一知二求一复习与回顾复习与回顾证明切线常见辅助线：证明切线常见辅助线：(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和则连结这点和圆心圆心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂
3、直。简记为：简记为：连半径连半径,证垂直证垂直。(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等再证垂线段长等于半径长。简记为：于半径长。简记为：作垂直作垂直,证半径证半径。过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线1.如何过如何过OO上一点上一点P P画出画出OO的切线的切线探究新知探究新知画一画画一画.P P.O O作法作法：（：（1 1）连结）连结OPOP （2 2）过点）过点P P作作l OPOP 则则l就是所求作的直线就是所求作的直线l50（1 1）如何过）如何过OO外一点
4、外一点P P画出画出OO的切线？的切线？.这样的切线能画出几条？这样的切线能画出几条？.借助三角板，我们可以画出借助三角板，我们可以画出PAPA是是OO的切线。的切线。.如果如果P=50P=50,求求AOBAOB的度数的度数1302.过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线O。ABP思考思考：已画出切线：已画出切线PAPA、PBPB，A A、B B为切点为切点，OAP=OAP=9090,连接连接OPOP，可知，可知A A、B B 除了在除了在O O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上?（2）如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？作法：作法：1.1.连结连结OPOP
5、2.2.以以OPOP为直径作为直径作OO，与与O O交于交于A A、B B两点。两点。即直线即直线PAPA、PBPB为为O O的切线。的切线。如图，已知如图，已知O O外一点外一点P P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P P作作O O的切线吗？的切线吗？oopAB想一想为什么？想一想为什么？经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？OPAB 它们有什么区别与联系呢？它们有什么区别与联系呢？切线长的概念切线长的概念A思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB
6、，A、B为切为切点，把圆沿着直线点，把圆沿着直线OP对折对折,你能发现什么你能发现什么?OBP12折一折折一折 切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，、切线是一条与圆相切的直线，不能度量不能度量；2、切线长是、切线长是线段线段的长，这条线段的两个端点的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点分别是圆外一点和切点，可以度量。可以度量。OPAB比一比比一比切线和切线长切线和切线长请证明你所发现的结论请证明你所发现的结论证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，相切，点点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OA
7、P=OBP=90OAP=OBP=90 OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB PA=PB OPA=OPB试用文字语言叙述试用文字语言叙述你所发现的结论你所发现的结论APOB证一证证一证PA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为
8、证明线段相等、角相线段相等、角相等等提供新的方法提供新的方法O OP PA AB B 切线长定理切线长定理 PA=PBPA=PB OPA=OPBOPA=OPB如图，若连接如图，若连接ABAB，则，则OPOP与与ABAB有什么关系？有什么关系？PA PA、PBPB是是O O的切线，的切线，A A、B B为切点为切点PAPAPBPB，APOAPOBPOBPOOPABOPAB，且，且OPOP平分平分ABABopABCD切线长定理推论：切线长定理推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。垂直平分切点所成的弦；平
9、分切点所成的弧。ADAD与与BDBD相相等吗？等吗？进一步探究进一步探究opABCD切线长定理的几何模型中的切线长定理的几何模型中的 重要关系重要关系（7 7）OPAOPAOPB,OPB,APCAPCBPCBPC ACOACOBCO,BCO,APDAPDBPDBPD ACDACDBCDBCD（1 1）PA=PB.APO=BPOPA=PB.APO=BPO（2 2）OAPA,OBPBOAPA,OBPB（3 3）连接）连接AB,AB,则直线则直线OPOP垂直平分垂直平分ABAB（4 4）连接）连接AD,BD,AD,BD,则则AD=BD,AD=BDAD=BD,AD=BD（5 5）ADAD平分平分PAB
10、,BDPAB,BD平分平分PBAPBA 点点D D为为PABPAB的内心的内心（6 6）OPA,OPA,OPB,OPB,APC,APC,BPCBPC ACO,ACO,BCOBCO都是都是RtRt我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
11、6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。垂直平分垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。切点所成的弦；平分切点所成的弧。六个六个如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？可能大呢？ABCABCMDNI与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内三角形的内三角形的内切
12、圆；切圆；切圆；切圆；三角形内切圆的圆心叫做三角形内切圆的圆心叫做三角形内切圆的圆心叫做三角形内切圆的圆心叫做三角形的三角形的三角形的三角形的内心内心内心内心是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点是三角形三条角平分线的交点；这个这个这个这个三角形叫做三角形叫做三角形叫做三角形叫做圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。圆的外切三角形。思考思考结论结论三角形的内切圆可以作出几个三角形的内切圆可以作出几个?为什么为什么?.?.角平分线角平分线BEBE和和CFCF只有一个交点只有一个交点I,I,并且点并且点I I到到ABCABC三边的距离相等三边的距离
13、相等(为什么为什么?),?),因此和因此和ABCABC三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个,并且只并且只能作一个能作一个.ABCIEF已知已知A=80A=80，则，则BIC=BIC=.130130BIC=90BIC=90+A+A1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。注意注意作三角形内切圆的方法：作三角形内切圆的方法：ABC1.1.
14、作作B B、C C的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I I。I2 2过点过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D D。3 3以以I I为圆心，为圆心，IDID为半径作为半径作I.I.II就是所求的圆。就是所求的圆。DMNo外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意
15、一边的距离。角形任意一边的距离。AABBCC提示提示:多边形的边与多边形的边与圆圆的位置关系称为的位置关系称为切切.多边形的顶点与多边形的顶点与圆圆的位置关系称为的位置关系称为接接.OACDB图（图（1）图（图（2）说出下列图形中四边形与圆的位置关系说出下列图形中四边形与圆的位置关系.四边形四边形ABCDABCD叫做叫做O O的的外切四边形外切四边形四边形四边形ABCDABCD叫做叫做O O的的内接四边形内接四边形根据切线长定理猜想根据切线长定理猜想圆的外切四边形的两组对边有什圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性么关系？说明你的结论的正确性.OABCDLMNP补充结论：圆的
16、外切补充结论：圆的外切四边形的两组对边的四边形的两组对边的和相等和相等BDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABCr,ABC的周长为的周长为l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABCABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D D、E E、F F，连结连结OAOA、OBOB、OCOC、ODOD、OEOE、OFOF，则则ODABODAB，OEBCOEBC，OFACOFAC.S ABCS AOBS BOC S AOC ABODABOD BCOEBCOE ACOFACOF lr r设设ABCABC的三边为的三边为a a、b b、c c，面积为，
17、面积为S S，则则S SABCABC=(a+b+c)r=(a+b+c)r三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算如图，如图，RtABCRtABC中，中，C C9090,BC,BCa,ACa,ACb,b,ABABc,c,O O为为RtABCRtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABCRtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.r.设设CECE r r 则则AD=b-r,BE=a-r,AD=b-r,BE=a-r,O O与与RtABCRtABC的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD解：解：设设RtABCRtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相
18、切于D D、E E、F F，连结，连结ODOD、OEOE、OFOF则则OAACOAAC，OEBCOEBC，OFABOFAB。ABCEDFO解得解得 r ra ab bc c2 2设设RtABCRtABC的直角边为的直角边为a a、b b，斜边为，斜边为c c，则，则RtABCRtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r ra ab bc c2 2则有则有c=(b-r)+(a-r),c=(b-r)+(a-r),CBAI IDEFABCEDFI I特别地，如图，特别地，如图，RtABCRtABC中，中，C C9090,BC,BCa,ACa,ACb,b,AB ABc,c,I I为为RtABCRtABC
19、的的内切圆内切圆.RtABC.RtABC的内切圆的内切圆的半径的半径 r=r=（a+b-c)a+b-c)如图，如图，ABCABC的内切圆的内切圆I I切切ABCABC三边三边AB,BC,ACAB,BC,AC分别于点分别于点D,E,FD,E,F，设，设BC=a,AC=b,AB=c,BC=a,AC=b,AB=c,则则 AD=AFAD=AF=(b+c-a)b+c-a)BD=BEBD=BE=(a+c-b)=(a+c-b)CE=CFCE=CF=(a+b-c)=(a+b-c)应用新知应用新知1 1、判断、判断（1 1）过一点可以做圆的两条切线（）过一点可以做圆的两条切线（）（2 2）切线长就是切线的长。（
20、）切线长就是切线的长。（）2 2、已知、已知PAPA、PBPB与与O O相切相切于点于点A A、B B，O O的半径为的半径为2 2（1 1）若四边形）若四边形OAPBOAPB的周的周长为长为1010，则，则PA=PA=。（2 2）若）若APB=60APB=60，则则PA=PA=。OPAB322304基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.O3.O是边长为是边长为2cm2cm的正
21、方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆,EF,EF切切O O 于于P P点，交点，交ABAB、BCBC于于E E、F F，则，则BEFBEF的周长是的周长是_._.EFHG正方形正方形22cm22cm2c2cm mABCDEO21例1如图，已知：在如图，已知：在ABCABC中，中，B B9090，O O是是ABAB上一点，以上一点，以O O为圆心，为圆心，OBOB为半径的圆交为半径的圆交ABAB于点于点E E，与，与ACAC相切于点相切于点D D。求证：。求证：DEOCDEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径 是是 的切线的切线 C是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直
22、径的直径，即，即 ABCEDFO 如图，如图，RtABCRtABC中，中，C C9090,BC,BC3,AC3,AC4,4,O O为为RtABCRtABC的内切圆的内切圆.（1 1）求）求RtABCRtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 .（2 2）若）若移动点移动点O O的位置，使的位置，使O O保持与保持与ABCABC的边的边ACAC、BCBC都相切，求都相切，求O O的的半径半径r r的取值范围。的取值范围。设设AD=x,BE=y,CEAD=x,BE=y,CE r r OO与与RtABCRtABC的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有xr
23、4yr3xy5解：解：（1 1）设）设RtABCRtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D D、E E、F F，连结，连结ODOD、OEOE、OFOF则则OAACOAAC，OEBCOEBC，OFABOFAB。解得解得r1在在RtABCRtABC中，中，BCBC3,AC3,AC4,AB4,AB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC RtABC的内切圆的半的内切圆的半径为径为1 1。例2（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的的切点分别为切点分别为B
24、B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四边形则四边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何问题代数化是解决几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方几何问题的一种重要方法。法。1、小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径)，而小红家只有一把长，而小红家只有一把长20cm 的直尺，根的直尺，根本不够长，怎么办呢本不够长，怎么办呢?小红想了想，采取以下方法小红想了想，采取以下方法:首先把锅平放首先把锅平放
25、到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长，即可的长，即可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理.O拓展拓展2 2、如图，、如图，PA PA ，PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B 为切点，为切点，直线直线 OPOP交交O O于于 C C，D D，交，交ABAB于于E E，AFAF为为O O直径，下直径，下列结论：列结论：ABPABP=AOP AOP，BC=DFBC=DF；POPOBFBF，其中结论正确的是其中结论正确的是 .OEDCFBAP DOE DOE的大小
26、是定值的大小是定值。试证：试证：PDEPDE的周长是定值的周长是定值。（PA+PBPA+PB）（AOB/2AOB/2）(3)(3)若若P=40P=40，你能说出，你能说出DOEDOE的度数吗？的度数吗？3 3、如图：从如图：从O O外的定点外的定点P P作作O O的两条切线，分别切的两条切线，分别切O O于点于点A A和和B B，在弧，在弧ABAB上任取一点上任取一点C C，过点，过点C C作作O O的切的切线，分别交线，分别交PAPA、PBPB于点于点D D、E E。OPABCED7070.课时小结课时小结一、切线长定理：一、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线长相等等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。二、三角形的内切圆二、三角形的内切圆1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。这个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。内心与顶点连线平分内角。