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1、波动波动是一切微观粒子的属性，是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。声波、水波声波、水波5-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、机械波产生的条件一、机械波产生的条件 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。性力，则称为弹性波。弹性力：弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性
2、力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。弹性力。1 1、有作机械振动的物体，即、有作机械振动的物体，即波源波源2、有连续的、有连续的介质介质二、纵波和横波二、纵波和横波横波横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。横波在介质中传播时，介质中产生横波在介质中传播时，介质中产生切变切变，只能在，只能在固体固体中传播。中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生纵波在介质中传播时，介质中产生容变容变，能在，能在固体固体、液体液体、气体气体中传播。中传播
3、。结论结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。的振动状态和能量。三、波线和波面三、波线和波面波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.波线波线波面波面波面波面波线波线波面波面波线波线波线波线波波面面四、简
4、谐波四、简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。*五、物体的弹性形变五、物体的弹性形变弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。积能完全恢复原状的形变。(1)(1)长变长变在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比(2)切变切变相对面发生相对滑移相对面发生相对滑移在弹性限度范围内，应力与应变成
5、正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比(3)容变容变在弹性限度范围内，在弹性限度范围内，压强的改变与容变应变压强的改变与容变应变的大小成正比的大小成正比六、描述波动的几个物理量六、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为的距离称为波速波速 ，也称之，也称之相速相速。1 1、波速、波速 u在固体媒质中在固体媒质中纵波纵波波速为波速为G、E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度为介质的密度在固体媒质中在固体媒质中横波横波波速为波速为在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵
6、波波速小些波速小些 T为弦中张力，为弦中张力，为弦的线密度为弦的线密度在弦中传播的在弦中传播的横波横波波速为波速为:在液体和气体只能传播在液体和气体只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为：B为介质的容变弹性模量为介质的容变弹性模量 为密度为密度理想气体理想气体纵波纵波声速声速:为气体的摩尔热容比，为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，T为热力学温度，为热力学温度，R为气体的普适常数，为气体的普适常数，为气体的密度为气体的密度3、波长、波长 2、波的周期、波的周期和频率和频率波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需所需 的时间
7、，用的时间，用T表示。表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。介质决定介质决定波源决定波源决定一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程平面简谐波平面简谐波简谐波的波面是平面。简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）可当作一维简谐波研究）5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即为某一波线轴即为某一波线设原点振动表达式：设原点
8、振动表达式：y表示该处质点偏离平衡位置的表示该处质点偏离平衡位置的位移位移x为为p点在点在x轴的坐标轴的坐标p点的振动方程：点的振动方程：t 时刻时刻p处质点的振动状态重复处质点的振动状态重复时刻时刻O处质点的振动状态处质点的振动状态O点振动状态传到点振动状态传到p点需用点需用 沿沿x轴正向轴正向传播的平面简谐波的波动方程传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为为p点的振动落后与原点振动的时间点的振动落后与原点振动的时间沿沿x轴负向轴负向传播的传播的平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程若波源（原点）振动初位相不
9、为零若波源（原点）振动初位相不为零或或波矢波矢，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的长度内所具有的完整波的数目。数目。二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义1.1、如果给定、如果给定x，即即x=x0tTTx0处质点的振动初相为处质点的振动初相为为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相为为x0处质点的振动方程处质点的振动方程则则y=y(t)若若x0=则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志2.2、如果给定、如果给定t，即即t=t0 则则y=y(x)表示给定时刻波线上各质表示给定时刻波线上各质点在同一时
10、刻的位移分布，点在同一时刻的位移分布，即给定了即给定了t0 时刻的波形时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差XYOx1x2同一质点在相邻两时刻的振动位相差同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的是波在时间上的周期性的标志周期性的标志3.如如x,t 均变化均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形t时刻的波形方程时刻的波形方程t+t时刻的波形方程时刻的波形方程t时刻时刻,x处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t，传播了，传播了 x的距离的距离在时间在时间 t内整个波形沿波的内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离传播方向平移了一段距
11、离 x行波行波三、平面波的波动微分方程三、平面波的波动微分方程沿沿x方向传播的平面方向传播的平面波动微分方程波动微分方程求求t 的二阶导数的二阶导数求求x的二阶导数的二阶导数一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。动能量的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波质量为质量为在在x处取一体积元处取一体积元质点的振动速度质点的振动速度 5-3 波的能量波的能量 *声强声强体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的总能量为：体积元内
12、媒质质点的总能量为：1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。时等于零。说明说明2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。能量密度能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。能流能流:单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度平均能流
13、平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。例例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。离成反比。分析平面波和球面波的振幅分析平面波和球面波的振幅证明：证明：在一个周期在一个周期T内通过内通过S1和和S2面的能量应该相等面的能量应该相等所以所以,平面波振幅相等。平面波振幅相等。对平面波：对平面波：所以振幅
14、与离波源的距离成反比。如果距波源单位所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为距离的振幅为A则距波源则距波源r 处的振幅为处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：与平面波类似，球面简谐波的波函数：对球面波：对球面波：三、三、波的吸收波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为的介质，其振幅衰减量为-dA波
15、强的衰减规律：波强的衰减规律：*四、声压、声强和声强级四、声压、声强和声强级声压声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。静压力之间的压差。平面简谐波，声压振幅为平面简谐波，声压振幅为声强声强：声波的能流密度。：声波的能流密度。频率越高越容易获得较大的声压和声强频率越高越容易获得较大的声压和声强引起人听觉的声波有引起人听觉的声波有频率范围频率范围和和声强范围声强范围声强级声强级人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定5-45-4 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理 波的叠加和干涉波的叠加
16、和干涉波的叠加和干涉波的叠加和干涉一一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。平面波平面波t+t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t时刻波面时刻波面球面波球面波 tt+tt时刻波面时刻波面 t+t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向如如你你家家在在大大山山后后,听听广广播播和和看看电电视视哪哪个个更更容容易易?(若若广广播播台台、电电视台都在山前侧视台都在山前侧)*应用惠更斯原理证明波
17、的反射和折射定律应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律二二、波的叠加波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理：说明说明：振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多
18、质点上能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为消），这种现象称为波的干涉波的干涉。相干条件相干条件具有具有恒定的相位差恒定的相位差振动方向相同振动方向相同两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率满足相干条件的波源称为满足相干条件的波源称为相干波源相干波源。三三、波的干涉、波的干涉传播到传播到p点引
19、起的振动分别为：点引起的振动分别为：在在p点的振动为同点的振动为同方向同频率振动方向同频率振动的合成。的合成。设有两个相干波源设有两个相干波源S1和和S2发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。合成振动为：合成振动为：其中：其中：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象干涉现象。其中：其中：相长干涉的条件相长干涉的条件：相消干涉的条件相消干涉的条件：当当两相干波源为同相波源两相干波源为同相波源时
20、，相干条件写为时，相干条件写为相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉 称为波程差称为波程差波的非相干叠加波的非相干叠加例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频率都是率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为，其，其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/秒，求秒，求:A、B连线之间因相干干涉而连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，取取A点的振动方程点的振动方程:在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：B点的振动方程点的振动方程:B点的
21、振动方程点的振动方程:在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：静止的点满足：相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：因为因为：5-5 驻波驻波一、驻波方程一、驻波方程 驻波是两列驻波是两列振幅、频率相同振幅、频率相同，但，但传播方向相反传播方向相反的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作它表示各点都在作简谐振动简谐振动，各点振动的频，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位
22、置的不同而不同。不同而不同。驻波的驻波的特点特点：不是振动的传播，而是媒质中各质：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。点都作稳定的振动。1 1、波腹与波节、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点二、驻波的特点二、驻波的特点相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。2、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的，而空间变化带来的相位是不
23、同的。而空间变化带来的相位是不同的。在在波节两侧点的振动相位相反波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。同时达到反向最小。速度方向相反。两个两个波节之间的点其振动相位相同波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。同时达到最小。速度方向相同。*3、驻波能量、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。并不断地分别集中在波腹和波节附近而
24、不向外传播。当波当波从波疏媒质垂直入射到从波疏媒质垂直入射到波密媒质波密媒质界面上反射时，界面上反射时，有有半波损失半波损失，形成的驻波在界，形成的驻波在界面处是面处是波节波节。三、半波损失三、半波损失入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为折射率较大的媒质称为波密媒质波密媒质；折射率较小的媒质称为折射率较小的媒质称为波疏媒质波疏媒质.有半波损失有半波损失无半波损失无半波损失当波当波从波密媒质垂直入射到波从波密媒质垂直入射到波疏媒质疏媒质界面上反射时，界面上反射时，无半波无半波损失损失，界面处出现，界面处出现波腹波腹。在绳长为在绳
25、长为l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：*四、四、简正模式（或本征振动）简正模式（或本征振动）即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的频率称为弦振动的本征频率本征频率，对应的振动方式称为该，对应的振动方式称为该系统的系统的简正模式简正模式（Normal mode).对应对应k=2,3,的频率为的频率为谐频，谐频，产生的音称为产生的音称为谐音谐音(泛音泛音)。最低的频率最低的频率(k=1)称为称为基频，基频，产生的一个音称为基音；产生的一个音称为基音；两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该
26、两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于点为波节的那些模式（对应于 k 次，次，2 k 次次.谐谐频频)就不出现，使演奏的音色更优美。就不出现，使演奏的音色更优美。当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频率振动的振幅最大。可用率振动的振幅最大。可用共振法共振法测量空气中声速。测量空气中声速。系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。一般是各种简正模式的叠加。一般是各种简正模式的叠加。5-
27、6 5-6 多普勒效应多普勒效应多普勒效应多普勒效应 *冲击波冲击波冲击波冲击波一、多普勒效应一、多普勒效应 观察者接受到的频率有赖于观察者接受到的频率有赖于波源波源或或观察者观察者运动的现象，称为运动的现象，称为多普勒效应多普勒效应。vS 表示波源相对于介质的运动速度。表示波源相对于介质的运动速度。vB表示观察者相对于介质的运动速度。表示观察者相对于介质的运动速度。S S波源的频率波源的频率u波在介质中的速度波在介质中的速度 B 观察者接受到的频率观察者接受到的频率选介质为参考系选介质为参考系波源和观察者的运动在两者的连线上波源和观察者的运动在两者的连线上规定规定“趋近为正，背离为负趋近为正
28、，背离为负”“恒为正恒为正”若观察者以速度若观察者以速度vB远离波源运动，观察者接受到远离波源运动，观察者接受到的频率为波源频率的的频率为波源频率的 倍。倍。若观察者以速度若观察者以速度vB迎着波运动时，观察者接受到迎着波运动时，观察者接受到的频率为波源频率的的频率为波源频率的 倍。倍。1 1、波源不动，观察者以速度、波源不动，观察者以速度vB 相对于介质运动相对于介质运动频率升高频率升高频率降低频率降低2、观察者不动，波源以速度、观察者不动，波源以速度vS 相对于介质运动相对于介质运动 若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率为波源频率的为波源频率
29、的 倍。倍。若波源远离观察者运时若波源远离观察者运时vs0，观察者接受到的频，观察者接受到的频率小于波源的振动频率。率小于波源的振动频率。频率升高频率升高频率降低频率降低3、波源和观察者同时相对于介质运动、波源和观察者同时相对于介质运动波源和观察者接近时，波源和观察者接近时，波源和观察者背离时，波源和观察者背离时，相对于观察者，波速相对于观察者，波速相对于观察者，波长相对于观察者，波长电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应光源和观察者在同一直线上运动光源和观察者在同一直线上运动横向多普勒效应横向多普勒效应红移红移*二、冲击波二、冲击波波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，波源的运动速度大于波在
30、介质中的传播速度，波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。冲击波的包络面成圆锥状，冲击波的包络面成圆锥状，称作称作马赫堆马赫堆。若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能听见声音。听见声音。*5-7 *5-7 色散色散色散色散 波包波包波包波包 群速度群速度群速度群速度一、色散一、色散凡波速与频率有关的现象均称为凡波速与频率有关的现象均称为色散色散。色散介质色散介质 非色散介质非色散介质二、波包二、波包不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随质元位置时大时小
31、变化，显现为一团一团地振动，质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，称之为波群或波包。称之为波群或波包。三、群速度三、群速度相速度：简谐波的传播速度。相速度：简谐波的传播速度。群速度：波包（包络线）的传播速度。群速度：波包（包络线）的传播速度。两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加式中式中较小较小两列波叠加后两列波叠加后振幅为振幅为A作缓慢变化的余弦波作缓慢变化的余弦波包络线上某一确定点包络线上某一确定点包络线移动的速度即群速度为包络线移动的速度即群速度为频差很小频差很小无色散波无色散波色散波色散波 波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量
32、波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量集中的地方。集中的地方。波包群速度波包群速度=信息、能量的传播速度信息、能量的传播速度*5-8 *5-8 非线性波非线性波非线性波非线性波 孤波孤波孤波孤波一、非线性效应对波动的影响一、非线性效应对波动的影响导致波动叠加原理失效导致波动叠加原理失效二、孤波二、孤波介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、突然停止
33、时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形状前进了一段距离后才逐渐消失。状前进了一段距离后才逐渐消失。1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名的浅水波的的浅水波的KdV方程，才使孤波得到稳定解。方程，才使孤波得到稳定解。非线性效应非线性效应：使得波包的能量重新分配，从而使频率：使得波包的能量重新分配，从而使频率 扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。非线性项非线性项色散项色散项色散效应色散效应：导致波包的群速度与波长有关，使波包，：导致波包的群速度与波长有关，使波包，逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。孤波在传播过程中的特性：孤波在传播过程中的特性：定域性定域性：孤波波形是定域在空间的有限范围内。：孤波波形是定域在空间的有限范围内。稳定性稳定性：孤波传播过程中形状保持不变。：孤波传播过程中形状保持不变。完整性完整性：如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，：如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的 速度继续各自传播。速度继续各自传播。