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1、 第一章 数学模型 一.模 型n为了一定的目的，人们对原型的一个抽象二.数 学 模 型 通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。例1：牛顿定律n假设：n1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。n2.没有阻力、摩擦力及其他外力。n令x(t)表示在t时刻物体的位置,则例2：哥尼斯堡七桥问题 1736 Konigsberg Pregel Euler数学模型n数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁n在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。三.数 学 模 型 的特征n1.实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。n2.应用性：注意实际问题的要
2、求。强调模型的实用价值。n3.综合性：数学知识的综合。模型的综合。四.模 型 举 例n例 1.管道包扎n问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。n假设：n 1.直圆管，粗细一致。n 2.带子等宽，无弹性。n 3.带宽小于圆管截面周长。n 4.为省工,包扎时不减断带子.n问题：用带子缠绕包扎管道，使带子全部包住管道，且互不重叠。n参量、变量：n W：带宽，C：截面周长，：倾斜角n模型（倾斜角模型）n讨论：n 1.实用么？n 2.深刻么？n模型（截口模型）讨论 1.实用性 2.深入分析例题n 已知:管长 L,管粗 C,带宽 W,求带长 M？若 L=30m,C=50cm,W=30cm
3、则有 M=(300.5/0.3)+0.4=50.4(m)问题:n若有带长 M1=51m，缠绕包扎上面的管道。n多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕时允许带子互相重叠一部分。n应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)例2.地面上的方桌n 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？n假设：n 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。n 2.地面的起伏是连续变化的。n模型：n 1.如何用描述“桌子的四个脚同时着地”？n xA:A与地面的距离，xB、xC、xD。2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？n 定位：中心O位于坐标原点n 移动：桌子围绕中心转动。：AC与X轴
4、的夹角。n 0 0+900=1.n xA()表示在位置 时，桌脚 A 与地面的距离。n同样 xB(),xC(),xD().n 令 f()=xA()+xC(),g()=xB()+xD()n则有 f(),g()连续且 f()g()0.n 桌子在位置*四脚落地,则有f(*)=0,g(*)=0.n 若 f(0)=0,g(0)0,则有 f(1)0,g(1)=0n 令 h()=f()-g(),则有 h()连续且 h(0)0.问题：1.将例2 的假设1 改为“方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形”，试构造数学模型证实结论同样成立。n n2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。n次日早上8：0
5、0他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。n试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，n小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。例 3：交通路口红绿灯n十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？假设n1.车辆相同，从静止开始做匀加速动。n2.车距相同，启动延迟时间相等。n3.直行，不拐弯，单侧，单车道。n4.秩序良好，不堵车。n车长L，车距D，加速度a，启动延迟Tn时间t，车位Sn（t）模型n1.停车位模型：Sn(0)=(n-1)(L+D)n2.启动时间:tn=nTn3.行驶模型:Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(t-tn)2,ttnn4.限速行驶:tn*=a/v
6、*+tn n Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tntn*)2+v*(t-tn*),ttn*n =Sn(0)+1/2 a(t-tn)2,tn*ttnn =Sn(0)tnt参 数 估 计nL=5m，D=2m，T=1s，nv*=40km/h=1.1m/sna=2.6m/s22m/s2.结 论nS8(15)=9m,S9(15)=-9.1mn该路口最多通过八辆汽车问题n1.调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。n 10.位置,走向,车道数,时间。n 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。n 数据不同的原因。n 20.模型的假设与实际是否一致。n 模型的参数与实际是否一致。n 30.模型的计算结果
7、与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型。n2.分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间。n3.给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型。例 4：人员疏散n建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。假 设n1.单排教室，直走道，一个出口。n2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。n3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。参 数n人数 nk,教室距离 Lk,门宽 D.n速度v，间隔 d，疏散时间 Tk模 型nT1=(n1d+L1)/vnT2=(n2d+L1+L2+D)/vnT12=(n2d+L1+L2+D)/v,(L2+D)(n1+1)d n (n1+n2+1
8、)d+L1/v,(L2+D)(n1+1)d 讨 论n1.模型分析：T=(nd+L)/v,n v,则T;d,则 T.n2.多行行进n3.d,则T.令d=0,则有T=L/v。n 疏散时间与人数无关!n 假设中忽略了人体的厚度!修 改 假 设n1.单排教室，直走道，一个出口。n2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。n3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。n4.人体厚度相同w继 续 讨 论n1.T=(nd+L)/v,v,则T;d,则 T.n2.多行行进n3.令d=0,则有T=L/v,疏散时间与人数无关!n 假设中忽略了人体的厚度!n4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v
9、,n 若vv*,d=0,则 T*=(nw+L)/v*最短 合理吗？继续修改假设n1.单排教室，直走道，一个出口。n2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。n3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。n4.人体厚度相同n5.速度与密度有关v=v（d）模 型nT=（nd+L)/v(d),其中nv=v(d)应满足nd,则v;n若d,则 v=v*.n若d=0,则 v=0.n这时存在唯一的间隔 d*和相应的速度 v*,使得疏散的时间最短.V=ad/(b+d)=7.83d/(75.60+d)问题n 在上面的讨论中，证明如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数，n则存在有唯一的间隔d*和速度 v
10、*，使得疏散的时间最短。n 如果有n=400，L=30m，w=0.2m,求最优疏散方案。n例5.赛程安排n 五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。n B 1n C 9 2n D 3 5 7n E 6 8 10 4n A B C Dn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10nAB BC AD DE BD AE CD BE AC CEn间隔场次数n A B C D En 1 0 4 0 1n 2 2 1 0 1n 2 2 0 1 1 n问题：赛程如何做到公平安排？问题：赛程如何做到公平安排？n 如何安排比赛的赛程，使相邻比赛如何安排比赛的赛程，使相
11、邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最各队最小的间隔场次达到可能的最大？大？n例例6.一个农民有一头重量大约是一个农民有一头重量大约是200磅的猪，磅的猪，n 在上一周猪每天增重约在上一周猪每天增重约5磅。磅。n 五天前猪价为五天前猪价为70美分美分/磅，但现在猪价下降为磅，但现在猪价下降为65美分美分/磅，磅，n 饲养每天需花费饲养每天需花费45美分。美分。n 求出售猪的最佳时间。求出售猪的最佳时间。n假设：假设：n 1.出售前，猪每天以定常的日增重量生长。出售前，猪每天以定常的日增重量生长。n 2.猪出售的价格以每天相同的数量减少。猪出售的价格以每天相同的数量减少。n 3.猪饲养的花费每天不
12、变。猪饲养的花费每天不变。n 4.猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。n变量和参量：变量和参量：n 猪的重量猪的重量w（磅），（磅），n 猪的饲养时间猪的饲养时间 t（天），（天），n t 天内饲养猪的花费天内饲养猪的花费C（美元），（美元），n 猪的市场价格猪的市场价格 p（美元（美元/磅），磅），n 售猪所获得的总收益售猪所获得的总收益R（美元），（美元），n 最终获得的净收益最终获得的净收益P（美元）。（美元）。n 猪的初始重量猪的初始重量w0（磅），（磅），n 猪的日增重量猪的日增重量 g（磅），（磅），n 出售价格（单价）的日减少量出售价格（单价）
13、的日减少量 r（美元），（美元），n 每天饲养猪的花费每天饲养猪的花费 k（美元）。（美元）。模型：模型：重量重量 w=w0+g t,n单价单价 p=p0 r t,n总花费总花费 C=k t,n总收益总收益 R=p wn净收益的模型净收益的模型n P=R C=(p0-rt)(w0+gt)-ktn参数估计参数估计nw0=200,g=5,np0=0.65,r=0.01,nk=0.445nP=R C=(0.65-0.01 t)(200+5 t)-0.45 tn n P(t)=130+0.8t 0.05 t2.n n问题：求出售时间使净收益最高问题：求出售时间使净收益最高n令令 P(t)=0n则有则有
14、 0.8 t-20.05 t=0n得得 t=8n P(8)=130+0.880.0582=133.2n结论：结论：n 饲养饲养8天后出售，收益最高为天后出售，收益最高为133.2美元美元n分析：分析：n 1.结果对参数的敏感程度。结果对参数的敏感程度。n结论所依赖的参数结论所依赖的参数n 猪的初始重量猪的初始重量w0，n 猪的初始价格猪的初始价格p0，n 猪的饲养花费猪的饲养花费k，n 猪重的增加速率猪重的增加速率g，n 价格降低的速率价格降低的速率r。n价格变化率价格变化率 r 对售猪时间对售猪时间t 的影响的影响.n 价格价格 p(t)=0.65 r t,n 净收益净收益 P(t)=(0.
15、65-rt)(200+5t)-0.45tn 最大值点最大值点 t=(7-500r)/(25r)n r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012n t 15 11.1 8.0 5.5 3.3n增重率增重率 g 对售猪时间对售猪时间 t 的影响的影响.n 重量重量 w(t)=200+g tn 净收益净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45tn 最大值点最大值点 t=5(13g49)/(2g)n n g 4 4.5 5 5.5 6 n t 1.875 5.28 8 10.23 12.08n 将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对将敏感性数据表示成相对改变量
16、，要比绝对 改变量的形式更自然也更实用。改变量的形式更自然也更实用。n模型的参数灵敏度模型的参数灵敏度n 如果如果r改变了改变了r，则的相对改变量为，则的相对改变量为r/r。n 如果如果r改变了改变了r，导致，导致t有有 t的改变量，的改变量，n 则相对改变量的比值为则相对改变量的比值为 t/t 比上比上r/r n 令令r0，按照导数的定义，我们有，按照导数的定义，我们有 n n 称这个极限值为称这个极限值为t对对r的灵敏度，记为的灵敏度，记为 S(t,r)。n对于我们的问题，有对于我们的问题，有n 时间与价格的关系时间与价格的关系 t=(7-500r)/(25r)n 在在r=0.01 附近，
17、附近，t关于关于r的灵敏度为的灵敏度为n S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5n价格变化率降低价格变化率降低1%将导致时间延长将导致时间延长3.5%n 时间与增重量的关系时间与增重量的关系 t=5(13g49)/(2g)n 在在 g=5 附近，附近，t关于关于g的灵敏度为的灵敏度为n S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 n增重率增加增重率增加1%将导致出售时间延长将导致出售时间延长3%n2.模型的稳健性模型的稳健性n 一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精确，但其
18、结果仍是可信的。型不完全精确，但其结果仍是可信的。n虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。n一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。n一个好的数学模型有较好的稳健性，一个好的数学模型有较好的稳健性，n是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，n但是足够近似的从而可以在实际问题中应用。但是足够近似的从而可以在实际问题中应用。n因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。有必要的。n1.参数参数 r,g 的变化对净收益的变化对净收
19、益 P 的影响的影响n 固定固定r，令，令g=4.5和和5.5，可得出售时间，可得出售时间t为为5.28和和10.23。n 分别代入模型分别代入模型n P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45tn可得最优净收益为可得最优净收益为131.2，135.8 只相差只相差2美元美元n 固定固定g，令，令r=.009和和.011，可得出售时间，可得出售时间t为为11.1和和5.5。n 分别代入模型分别代入模型n P(t)=(0.65-rt)(200+5t)-0.45tn可得最优净收益为可得最优净收益为135.6，131.6 只相差只相差2美元美元n净收益值净收益值 P 对参数对参数
20、r,g 的变化视稳健的的变化视稳健的n2.假设对模型的影响假设对模型的影响n 关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。不总是成立的。n 以这些数据（以这些数据（w0=200，w=5，p0=0.65，p=0.01）为依据确定何时售出时，）为依据确定何时售出时，n要注意到在未来的几周内要注意到在未来的几周内w和和p可能不会保持常数，可能不会保持常数，因此也不会是时间的线性函数。因此也不会是时间的线性函数。n这时，经收益的增长率这时，经收益的增长率P=wp+wp-0.45n其中其中wp+wp代表猪价的增长率。代表猪价的增长率。n第一项代表由于
21、猪增重而增加的。第二项代表因价第一项代表由于猪增重而增加的。第二项代表因价格下降而损失的价值价值。格下降而损失的价值价值。n模型告诉我们，模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。应暂不卖出，继续饲养。n另一方面，只要时间不长，在这段时期另一方面，只要时间不长，在这段时期内内w和和p 的变化就不会太大。的变化就不会太大。n由于假设它们是线性的而导致的误差就由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。不会太大。n这时，按照前面的数据所得到的这时，按照前面的数据所得到的8天出售天出售的结果对净收益值的结果对净收益值P来说也是稳健的。来说也是稳健
22、的。n不难算出，在不难算出，在3天到天到13天之间出售的净天之间出售的净收益的数值都在收益的数值都在132美元之上，美元之上，n与最优的收益只损失了不到与最优的收益只损失了不到2美元。美元。n在今后的几天内，如果猪的增重量降低10%或者出售价格增加了10%n（出售时间将会提前），n在第8天出售时净收益的损失量也是稳健的，不会超过1美元g=5,r=.01g=4.5,r=.01g=5,r=.011n结论结论n我们现在能说的只是至少要等我们现在能说的只是至少要等8天再出售。天再出售。n对较小的对较小的 p（接近（接近0），模型建议我们等较），模型建议我们等较长的时间再出售。长的时间再出售。n但我们的
23、模型对较长的时间不再有效。但我们的模型对较长的时间不再有效。n因此，解决这个问题的最好的方法是因此，解决这个问题的最好的方法是n将猪再饲养一周的时间，将猪再饲养一周的时间，n然后重新估计然后重新估计w0,w,p0和和 p，再用模型重，再用模型重新计算。新计算。n问题1.在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏度分析。n分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响。n如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60美分，会使猪按7磅/天增重。n那么是否值得改变饲养方式？n求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。n问题 2.假设n p(t)=0.65-0.01t+0.00004t2.n 表示 t 天后猪的价格（美元/磅）。n1.画图表示 p(t)及我们原来的价格函数。解释为什么原来的价格函数可以作为 p(t)在接近零时的近似。n2.求最佳的售猪时间。n3.参数0.00004表示价格的平稳率。对这个参数求其灵敏度。分别考虑最佳的售猪时间和相应的收益。n4.对 2 中的结果和例题中所得的最优解进行比较。讨论我们关于价格的假设的稳健性。五.模型与数学n问题的叙述：原始、粗糙、不规范。n问题的假设：问题的研究手段。n问题的分析：正确的推理，对实际的理解。n问题的标准：接受实践的检验、与实际差异不大或为解决实际问题给出可信的解答。n问题的答案：不确定、不封闭。六.建模过程流程n