数学教学经验谈.ppt

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1、广西南宁市第三中学广西南宁市第三中学 师师 轶轶 高考数学高分突破的策略高考数学高分突破的策略向向 课课 本本 学学 习习第一篇：夯实基础的策略第一篇：夯实基础的策略第二篇：高屋建瓴的策略第二篇：高屋建瓴的策略第三篇：融会贯通的策略第三篇：融会贯通的策略 第一篇第一篇 夯实基础的策略夯实基础的策略1 1走进课本的策略走进课本的策略课本是课本是“三基三基”的来源的来源课本是高考试题的来源课本是高考试题的来源 课本是学生智能的生长点课本是学生智能的生长点 定义定义:如果命题如果命题p成立成立,能够推出命题能够推出命题q也成立也成立,那么把命题那么把命题p叫做命题叫做命题q的充分的充分条件条件,q叫

2、叫p做的必要条件做的必要条件.1.1 深扣理论深扣理论例例1.1.充分条件的复习充分条件的复习文字理解文字理解:有两个命题有两个命题;其中一个成立其中一个成立可推出另一个成立可推出另一个成立;充分就是足以保证充分就是足以保证,必要就是必不可少必要就是必不可少;语言转换语言转换:p q;特例验证特例验证:p：；q：.韦恩图表示韦恩图表示;1.1.1 对数学概念的复习要做到对数学概念的复习要做到从文字上仔细领会；从文字上仔细领会；从正反面反复比较；从正反面反复比较；从特例中认真验证；从特例中认真验证；从限制条件加深理解；从限制条件加深理解；从语言转换中掌握各种变式；从语言转换中掌握各种变式；从前后

3、联系中建立认知结构。从前后联系中建立认知结构。例例2.2.正弦正弦2 2倍角公式的复习倍角公式的复习原式原式:变式变式:验证验证:自动化自动化:运用运用:1.1.2 对数学公式的复习要做到对数学公式的复习要做到熟记公式熟记公式推导公式推导公式验算公式验算公式变换公式变换公式应用公式应用公式1.1.3 对数学定理的复习要做到：对数学定理的复习要做到：熟记定理熟记定理 深刻理解条件和结论深刻理解条件和结论 尝试证明或推导尝试证明或推导 应用定理证明有关问题应用定理证明有关问题 挖掘定理与有关定理和概念的内挖掘定理与有关定理和概念的内在关系在关系 注重定理的推广注重定理的推广1.2 建立体系建立体系

4、整理串联知识点，形成知识整理串联知识点，形成知识体系；体系；归纳数学方法和数学思想；归纳数学方法和数学思想；对每一个数学方法和数学思对每一个数学方法和数学思想配备一道题目。想配备一道题目。1.3 深扣例题深扣例题怎么做怎么做?怎么想怎么想?为什么这样想为什么这样想?还能怎么想还能怎么想?养成良好的解题习惯养成良好的解题习惯:会用草稿纸会用草稿纸,规范解题步骤规范解题步骤,学会反思学会反思,建立错解档案建立错解档案.实例实例1不等式的证明方法主不等式的证明方法主要有比较法、综合法、分析法，要有比较法、综合法、分析法，在运用过程中需要依据题目的条在运用过程中需要依据题目的条件来用同向迭加、同号相乘

5、（乘件来用同向迭加、同号相乘（乘方）、配方、分析、拼凑、变换、方）、配方、分析、拼凑、变换、放缩等技巧课本（人教版第二放缩等技巧课本（人教版第二册（上）是通过例题和习题的册（上）是通过例题和习题的合理配置逐步加以渗透的合理配置逐步加以渗透的 类题类题1（P10例例2）已知）已知a、b、c、d都是正数，求证（同号相乘）都是正数，求证（同号相乘）：类题类题2（P14例例5）已知）已知a、b、c是是不全相等的正数，求证（同号相乘、同不全相等的正数，求证（同号相乘、同向迭加）：向迭加）：类题类题3（P17第第5题）已知题）已知 ，求证：，求证：（可采用分析法，两边直接平方；或移（可采用分析法，两边直接

6、平方；或移项后再平方；或者对分子有理化后同向迭项后再平方；或者对分子有理化后同向迭加）加）类题类题4（P17第第7题）已知题）已知a、b都是正数，都是正数，且，且a+b=1，求证：，求证：（可采用分析法，比差法，放缩法，构造（可采用分析法，比差法，放缩法，构造法，利用柯西不等式等方法进行证明）法，利用柯西不等式等方法进行证明）类题类题5（P17第第9题）已知题）已知ABC的三的三边是边是a、b、c，且，且m是正数，求证：是正数，求证：（可用比差法，也可用放缩法）（可用比差法，也可用放缩法）类题类题6（P30复习参考题六复习参考题六A组第组第40题）题）已知已知a、b、c是不全等的正数，求证：是

7、不全等的正数，求证：（可采用（可采用“分拆重组分拆重组”、“同号相乘同号相乘”、“同向迭加同向迭加”等策略进行证明）等策略进行证明）类题类题7（P30复习参考题六复习参考题六B组第组第6题）题）已知已知a、b、c为为ABC的三条边，求证：的三条边，求证：（比差法配以配方法证明）（比差法配以配方法证明）1.4 向错误学习向错误学习首先，将错误分类首先，将错误分类第一类错误第一类错误遗憾之错遗憾之错 第二类错误第二类错误似非之错似非之错 第三类错误第三类错误无为之错无为之错 遗憾之错遗憾之错就是分明会做，反而做就是分明会做，反而做错了的题错了的题“审题之错审题之错”，“计算之计算之错错”,“”,“

8、抄写之错抄写之错”,“”,“表达之错表达之错”.”.似非之错似非之错 记忆的不准确，理解的记忆的不准确，理解的不透彻，应用的不自如，回答的不完全；不透彻，应用的不自如，回答的不完全；将对改错、将错改对；半途而废将对改错、将错改对；半途而废 无为之错无为之错不明而错答，不会而猜不明而错答，不会而猜答，不熟而没答，由于不理解而导致在题答，不熟而没答，由于不理解而导致在题目面前无所作为目面前无所作为 其次，将问题各个击破其次，将问题各个击破第一战役：消除遗憾第一战役：消除遗憾第二战役：弄懂似非第二战役：弄懂似非第三战役：力争有为第三战役：力争有为 第一战役：消除遗憾第一战役：消除遗憾 如如“审题之错

9、审题之错”，是否出在急于求，是否出在急于求成？可采用成？可采用“一慢一快一慢一快”的战术，即审的战术，即审题要慢，答题要快。审题时脑、眼、双题要慢，答题要快。审题时脑、眼、双手并用，注意力高度集中。手并用，注意力高度集中。v 如如“计算之错计算之错”，是否由于草稿纸，是否由于草稿纸用得太乱。用得太乱。建议一：建议一：将草稿纸对折分块，一块一将草稿纸对折分块，一块一题，有序排列，题，有序排列，建议二：建议二：平时训练慎用平时训练慎用草稿纸。草稿纸。第一战役：消除遗憾第一战役：消除遗憾v如如“抄写之错抄写之错”，可用复查予以解决。，可用复查予以解决。v如如“表达之错表达之错”，建议一：向课本学习建

10、议一：向课本学习解题规范；解题规范；建议二：建议二：要注意掌握各种题要注意掌握各种题型的答题规律型的答题规律;建议三：从每一次考试中建议三：从每一次考试中学会踩得分点学会踩得分点。第二战役：弄懂似非第二战役：弄懂似非 “似是而非似是而非”是记忆不牢、理解不深、是记忆不牢、理解不深、思路不清、运用不活所致。思路不清、运用不活所致。建议一：建议一：突出突出重点，夯实基础；重点，夯实基础；建议二：建议二：完善知识网络；完善知识网络；建议三：建议三：加强记忆，重新疏理易错易混知加强记忆，重新疏理易错易混知识；识；建议四：建议四：多角度、多方位的理解问题；多角度、多方位的理解问题；建议五：建议五：要有一

11、定题量的积累，才能达到要有一定题量的积累，才能达到举一反三、运用自如的水平。举一反三、运用自如的水平。第一轮复习：第一轮复习：有为有为做熟基础做熟基础题；不为题；不为不做综合性太强的题。不做综合性太强的题。第二轮复习：第二轮复习：有为有为全面接触全面接触综合题、新颖题；不为综合题、新颖题；不为不简单重不简单重复基础题。复基础题。第三轮复习：第三轮复习：有为有为每天坚持每天坚持做一定量的中等题；不为做一定量的中等题；不为不钻偏不钻偏题怪题难题。题怪题难题。第三战役：力争有为第三战役：力争有为2拔高课本的策略拔高课本的策略2.1 归纳的策略归纳的策略例如，三角形四心的向量表示例如，三角形四心的向量

12、表示设设 是是 ABC 所在平面内一点，所在平面内一点，则则 为为ABC外心外心的充分必要条件是：的充分必要条件是：等价于等价于 设设G是是ABC内一点，则内一点，则G是是ABC重心重心的充分必要条件是：的充分必要条件是：（其中（其中P为平为平面上任意一点）面上任意一点）设设H是是ABC所在平面内一点，则所在平面内一点，则H是是ABC垂心垂心的充分必要条件是：的充分必要条件是：设设P是是ABC所在平面内任意一点，所在平面内任意一点，I是是ABC内一点，则内一点，则I为为ABC内心内心的的充分必要条件是（其中充分必要条件是（其中a、b、c是三内是三内角的对边）：角的对边）：设设O O是是ABC外

13、心外心，H H是是ABC垂心垂心，则，则 设设O O是是ABCABC外心外心，G G是是ABCABC重心重心，则，则 设设G G是是ABC重心重心，H H是是ABC垂心垂心，则，则 例例1 1（2003 2003 全国）全国）为平面内一点，为平面内一点，A A、B B、C C是平面上不共线的三点，动点是平面上不共线的三点，动点P P满足满足 ，则动点则动点P P的轨迹一定通的轨迹一定通过的（过的（）重心垂心外心重心垂心外心内心内心提示：条件可化为，其中、为、上提示：条件可化为，其中、为、上的单位向量，所以与、为邻边的菱形的对角线共线，即点的单位向量，所以与、为邻边的菱形的对角线共线，即点在角的

14、平分线上，选在角的平分线上，选D D例例2 2（20052005全国全国）的外接圆心为，）的外接圆心为，两条边上的高的交点为，两条边上的高的交点为，则实数则实数=1 1 由性质由性质6 6可知可知例例3 3（20052005全国全国文）点是文）点是所在平面内一点，满足，所在平面内一点，满足，则是的（则是的（）内心重心外心内心重心外心垂心垂心例例4 4（20052005天津）在直角坐标系中，已知天津）在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平点和点，若点在的平分线上，且，则分线上，且，则 提示：因点在的平分线上，则存在使提示：因点在的平分线上，则存在使由，得，由，得，例例5 5（20052005湖南

15、）是所在平面内一点，湖南）是所在平面内一点，则是的，则是的（）外心内心重心外心内心重心垂心垂心由性质由性质3 3知选知选D D2.2 变式的策略变式的策略改变条件或结论改变条件或结论 考虑逆命题考虑逆命题2.3 扩充的策略扩充的策略例例2 2在复习了奇偶函数的图象的对称性以在复习了奇偶函数的图象的对称性以后，后，运用扩充的策略可作如下的拔高：运用扩充的策略可作如下的拔高：函数函数 的图象关于点的图象关于点 成中心对成中心对称的充要条件是：称的充要条件是：恒成立恒成立函数函数 的图象关于点的图象关于点 成中心成中心对称的充要条件是：对称的充要条件是：函数函数 的图象关于直线的图象关于直线 对称的

16、充对称的充要条件是：要条件是：如果函数如果函数 的图象关于两条直线的图象关于两条直线 和和 都成轴对称，那么函数都成轴对称，那么函数 是周是周期函数，并且期函数，并且 是其一个周期是其一个周期 如果函数如果函数 的图象关于两点的图象关于两点 和和 都成中心对称，那么函数都成中心对称，那么函数 是线性函数与周期函数的和是线性函数与周期函数的和 如果函数如果函数 的图象既关于点的图象既关于点 成中心对称，又关于直线成中心对称，又关于直线 成轴成轴对称，则函数对称，则函数 是周期函数，并且是周期函数，并且 是其一个周期是其一个周期2.4 提炼的策略提炼的策略（一）正弦定理及其证明（一）正弦定理及其证

17、明正弦定理：在一个三角形中，各边和正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即它所对角的正弦的比相等，即证明：证明：如图，在如图，在 中，有中，有如图如图2，ABC为锐角三角形为锐角三角形 过点过点A作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 ，则，则 与与 的的夹角为夹角为 ，与与 的夹角为的夹角为 则则有有 在上面向量等式的两边取与向量在上面向量等式的两边取与向量 的数的数量积运算，得量积运算，得CBA同理，过同理，过C点作与点作与 垂直的单位向量，垂直的单位向量，可得可得当当 为钝角三角形时，不妨设为钝角三角形时，不妨设 过点过点A作与作与 垂直的单位向量垂直的单位向量 ，则，则

18、与与 的夹角为的夹角为 ，与，与 的夹角为的夹角为 同同样可证得样可证得CBA（二）数学思想或学习策略的提炼（二）数学思想或学习策略的提炼分类讨论的策略分类讨论的策略 构造单位向量的策略构造单位向量的策略 在向量等式的两边取与同一向在向量等式的两边取与同一向量数量积的策略量数量积的策略（三）巩固练习（三）巩固练习练练1 1利用向量法证明利用向量法证明“余弦定理余弦定理”在上面向量等式的两边取与在上面向量等式的两边取与 向量的数量向量的数量积运算，得积运算，得练练2（2007辽宁）已知向量辽宁）已知向量 与与 不共线，不共线，,且且 ，则向量，则向量 与与 的夹角为（的夹角为（）练练3已知平面上

19、三点已知平面上三点A、B、C满足满足 ，,则则 25（四）深挖联系（四）深挖联系这种思路不仅未用到这种思路不仅未用到 这一条件，还揭这一条件，还揭示了更一般的结论：已知平面上三点示了更一般的结论：已知平面上三点A A、B B、C C满足满足|AB|=a|AB|=a，|BC|=b|BC|=b，|CA|=c|CA|=c，则，则 （五）类比升华（五）类比升华 若将三点改为四点，结果又如何呢？若将三点改为四点，结果又如何呢？平面上有四个点平面上有四个点A A、B B、C C、D D满足满足|AB|=a|AB|=a，|BC|=b|BC|=b，|CD|=c,|DA|=d|CD|=c,|DA|=d，则，则由

20、此，可以发现，这其实就是由此，可以发现，这其实就是 个实数个实数和的完全平方公式在向量中的应用和的完全平方公式在向量中的应用.2.5 引申的策略引申的策略2.5.1 用行列式计算三角形的面积用行列式计算三角形的面积 若三角形若三角形ABCABC的顶点坐标为的顶点坐标为:,:,则其面积为则其面积为:的绝对值的绝对值.2.5.2 曲边梯形的面积公式曲边梯形的面积公式 定积分的几何意义定积分的几何意义:当函数当函数 在闭区间在闭区间 上恒为正时，定积分上恒为正时，定积分 的几何意的几何意义是以曲线义是以曲线 为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积 例例1.(2008杭州学军中学杭州学军中学)若

21、关于若关于 的的方程方程 恰有一个实数根，恰有一个实数根，则实数则实数 的取值范围是的取值范围是 2.5.3 多项式的除法多项式的除法原解法：原解法：建议：介绍一些多项式的长除法，学生很快会发现建议：介绍一些多项式的长除法，学生很快会发现 是原方程的根。是原方程的根。3回归课本的策略回归课本的策略3.1 梳理知识形成网络梳理知识形成网络3.2 向课本学习解题的规范性向课本学习解题的规范性3.3 对课本题目改变设问方式、对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素、引申或增加或减少变动因素、引申或推广推广 3.4 主动探索课本例习题之间的主动探索课本例习题之间的关系，探寻课本例习题与高考试关系，探

22、寻课本例习题与高考试题的联系与变化题的联系与变化系统例系统例1 1数列数列系统例系统例2 2立体几何中以垂直为主干的知立体几何中以垂直为主干的知识系统：识系统：3.1 梳理知识形成网络梳理知识形成网络 其中的其中的l、m、n、a、b、c表示直表示直线，线，、表示平面这个系统将直线表示平面这个系统将直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、性质定理、平面与平面的判定定理、性质定理、平面与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理都包括在一起在复习中还性质定理都包括在一起在复习中还应将系统进行必要的拓展，如角、距应将系统进行必

23、要的拓展，如角、距离、面积、体积的求解有机结合，并离、面积、体积的求解有机结合，并且能与文字语言、图形语言密切配合且能与文字语言、图形语言密切配合3.3 3.3 对课本题目改变设问方式、增加对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素、引申或推广或减少变动因素、引申或推广 例例1 1（课本高一上（课本高一上P110P110第第5 5题）已知数题）已知数列列 中，中，写出数列的，写出数列的前前5 5项项 这是递推模型为这是递推模型为 在课本中的根在课本中的根基更多的往年高考题的例子，可以列出基更多的往年高考题的例子，可以列出如下清单：如下清单：（2006 2006 重庆）在数列重庆）在数列 中，中

24、，则该数列的通项，则该数列的通项 （2006 2006 福建）已知数列福建）已知数列 满足满足 ,求数列求数列 的通项公式的通项公式（2007 2007 全国全国）设数列）设数列 的首项的首项 ，求数列求数列 的通项公式的通项公式（2007 2007 全国全国）已知数列）已知数列 中，中，求数列求数列 的通项公式的通项公式（2008 2008 陕西）已知数列陕西）已知数列 的首项的首项 ，（）求数列）求数列 的通项公式；的通项公式；（）证明：对任意的）证明：对任意的 ，；（）证明：）证明：通过变换以后，可以转化为模型通过变换以后，可以转化为模型 的高考题有：的高考题有：（2003 2003 全

25、国全国）已知数列）已知数列 满足满足 ，证明：，证明：(两边同除以两边同除以 )（2003 2003 天津）设天津）设 是常数，且是常数，且 证明：对任意的证明：对任意的 ，(两边同除以两边同除以 )（2008 2008 四川）设数列四川）设数列 的前项和的前项和为为 ，已知，已知 （）证明：当）证明：当 时，时，是等比是等比数列；数列；（）求数列）求数列 的通项公式的通项公式提示：将条件递推，再两式相减，可以转化提示：将条件递推，再两式相减，可以转化 ，再用同除技巧，就可以转化为如上的模式了，再用同除技巧，就可以转化为如上的模式了(2008(2008 全国全国 文文 19)19)在数列在数列

26、 中中,()设设 .证明证明:数列数列 是等差数列是等差数列;()求数列求数列 的前的前 项和项和 .提示提示:两边同除以两边同除以 ,就可转化为就可转化为 的等差数列的等差数列;();()可用错位相减可用错位相减法法.(2008(2008 全国全国 理理 20)20)设数列设数列 的前的前 项和为项和为 ,已知已知 ,.()()设设 ,求数列求数列 的通项公式的通项公式;()若若 ,求求 的取值范围的取值范围.提示提示:由由 ,得得 ,两边同除以两边同除以 ,就转化就转化为上述模型了为上述模型了.3.4 3.4 挖掘课本习题与高考题的关系挖掘课本习题与高考题的关系原题原题：（课本高一下例：（

27、课本高一下例5 5（20062006年年1111月第月第2 2版）如图，版）如图，、不共线，不共线，用用 、表示表示 答案答案：特别地，当是的中点时，有特别地，当是的中点时，有:变式变式1 1已知已知 ，求求证证:A:A，B,CB,C三点共线的充要条件是：存在三点共线的充要条件是：存在不全为不全为0 0的实数的实数 ，使得，使得 ，且且 变式变式2 2已知已知 ，求求证：证：A,B,CA,B,C三点在一条直线上的充要条件三点在一条直线上的充要条件是：存在不全为是：存在不全为0 0的实数的实数l l、m m、n n，使得使得 且且 变式变式3 3设设 ，是不共线的非零向量是不共线的非零向量 ，其

28、中，其中 ，均均为实数，为实数，,求证：求证：M M，P P，N N三点共三点共线的充要条件是：线的充要条件是：例例1 1（2007 2007 全国全国）在）在ABCABC中，已中，已知知D D是是ABAB边上一点，若边上一点，若 ，则则 （）A A B BC C D D 例例2 2（2008 2008 全国卷全国卷 理理 3 3）在中，）在中，若点满足若点满足 ，则，则 A A B B C C D D 例例3 3(2006(2006 广东）如图所示，广东）如图所示，D D是是ABCABC的边的边ABAB上的中点，则向量上的中点，则向量 A A B B C C D D 例例4 4如图如图ABC

29、ABC中，中，G G为重心，为重心，PQPQ的中的中点为点为G G点，点，则，则 例例5 5（2006 2006 湖北）湖北）ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=5AC=5，BC=6BC=6，内角平分线的交点为，内角平分线的交点为O O，若，若 ，求实数，求实数 与与 的和的和 例例6 6（2008 2008 山东胜利一中）已知在平山东胜利一中）已知在平面直角坐标系中，面直角坐标系中，O O为原点，为原点，且且 （其中（其中 ），若），若 ，则，则 的最小值是的最小值是 例例7 7（2005 2005 全国）在平面直角坐标全国）在平面直角坐标系中，为原点，已知系中，为原点，已知 ，若点

30、若点C C满足满足 ，其中，其中 ，且，且 则点则点C C的轨迹方程为（）的轨迹方程为（）A A B B C CD D 例例8 8（2007 2007 重庆）已知等差数列重庆）已知等差数列 的的前前n n项和为项和为 ，若，若M M、N N、P P三点共线，三点共线，O O为坐为坐标原点，且标原点，且 （直线（直线MPMP不过点不过点O O），），则则 等于（等于（）A A15 B15 B1616 C C3131 D D3232 例例9 9（2006 2006 江西）已知等差数列江西）已知等差数列 的的前前n n项和为项和为 ，若，若 ，且，且A A、B B、C C三点共线（该直线不过点三点共

31、线（该直线不过点O O），则），则 等于（等于（）A A100 B100 B101 C101 C200 D200 D201201 例例1010（2006 2006 武汉）设武汉）设 ，是两个是两个不共线的非零向量，若不共线的非零向量，若 与与 起点相同，起点相同，t tRR，t t为何值时，为何值时，三向量三向量的终点在一条直线上？的终点在一条直线上？例例1111（2007 2007 长沙）如图所示，在长沙）如图所示，在ABCABC中，中，D D与与BCBC交于交于M M点，点，设设 ，（1 1）用）用 ，表示表示 ；（2 2）在已线段）在已线段ACAC上取一点上取一点E E，在线段，在线段B

32、DBD上上取一点取一点F F，使，使EFEF过点过点M M，设，设 ，求证：求证：例例1212（2007 2007 江西）如图，在江西）如图，在 中，中，点点 是是 的中点，过点的中点，过点 的直线分别交直的直线分别交直线线 、于不同的两点于不同的两点 、，若，若 ，则，则 的值为的值为 v总建议：总建议：v走进课本要全面下海。走进课本要全面下海。一是基础知识一是基础知识砸死夯实，二是基本题型做熟做透。砸死夯实，二是基本题型做熟做透。v拔高课本要深入下海。拔高课本要深入下海。一是基本技能一是基本技能练熟练透，二是高考题型烂熟于心，练熟练透，二是高考题型烂熟于心，三是得分能力全面提升。三是得分能

33、力全面提升。v回归课本要浮出海面。回归课本要浮出海面。一是查缺补漏，一是查缺补漏，二是固化得分技巧，三是调整身心状二是固化得分技巧，三是调整身心状态。态。第二篇第二篇 高屋建瓴的策略高屋建瓴的策略 用数学思想方法统帅数学复习，用数学思想方法统帅数学复习，是学生整体把握知识，全面提高解题是学生整体把握知识，全面提高解题能力和应试能力的重要策略这就是能力和应试能力的重要策略这就是高屋建瓴的策略高屋建瓴的策略 1.1.掌握八个数学思想掌握八个数学思想 函数与方程的思想函数与方程的思想数与形结合的思想数与形结合的思想分类讨论的思想分类讨论的思想归纳与类比的思想归纳与类比的思想化归与转化的思想化归与转化

34、的思想或然与必然的思想或然与必然的思想一般化与特殊化一般化与特殊化的思想的思想有限与无限的思想有限与无限的思想2 2高考对类比思想考查的特点高考对类比思想考查的特点2.1 2.1 注重对数学基础知识的考查注重对数学基础知识的考查 例例1 1（20042004北京）定义北京）定义“等和数列等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做数列的公和叫做等和数列，这个常数叫做数列的公和 已知数列已知数列 是等和数列，且是等和数列，且 ，公和，公和为为5 5，那么的值，那么的

35、值 为为 ，这个数列的，这个数列的前前n n项和项和 的计算公式为的计算公式为 例例2 2（20022002年上海春招卷）如图年上海春招卷）如图1 1，若从点若从点O O所作的两条射线所作的两条射线OMOM、ONON上分别有点上分别有点 、与点与点 、，则三角形面积之比为：，则三角形面积之比为：若从点若从点O O所作的不在同一所作的不在同一个平面内的三条射线个平面内的三条射线OPOP、OQOQ和和OROR上分别有上分别有点点 、与点与点 、和和 、（如图（如图2 2），则），则类似的结论为：类似的结论为：图图1 1 图图2 22.2 2.2 注重对数学思想方法的考查注重对数学思想方法的考查 例

36、例4 4（20022002年上海卷）规定：年上海卷）规定：，其中其中 是正整数，且是正整数，且 ，这是组合数，这是组合数（n n，m m是正整数，且是正整数，且 ）的一种推广）的一种推广 求求 的值；的值；组合数的两个性质组合数的两个性质 是否都能推广到是否都能推广到 （，m m是正整数）的是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；出证明；若不能，则说明理由；已知组合数已知组合数 是正整数，证明：当是正整数，证明：当 是正整数时，是正整数时，2.3 2.3 注重对数学能力的考查注重对数学能力的考查 例例5 5（2000200

37、0年上海）在等差数列年上海）在等差数列 中，中，若若 ，则有等式，则有等式 成立成立.类比上述性质，相类比上述性质，相应地：在等比数列应地：在等比数列 中，有中，有 例例6.(2008 6.(2008 全国全国 16)16)平面内的一个四平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地，写出空如两组对边分别平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：充要条件充要条件 ;充要条件充要条件 (写出你认为正确的两个充要条件写出你认为正确的两个充要条件)等差数列等差数列等比数列等比数

38、列定义定义递推公递推公式式中项中项通项公通项公式式性质性质a a、b b的等差中项的等差中项a a、b b的等比中项的等比中项3 3知识学习中的类比思想知识学习中的类比思想例例7 7等比数列与等差数列的类比等比数列与等差数列的类比“+”“”；“”“”；“”“乘方乘方”；“”“开方开方”为什么？课本为什么？课本P138例例2例例8 8线段、三角形与四面体的类比线段、三角形与四面体的类比 性质性质零维零维元素元素一维一维元素元素二维二维元素元素三维三维元素元素线线段段最简单的最简单的一维有界一维有界图形，线图形，线段包含在段包含在直线上，直线上，线段是三线段是三角形的组角形的组成部分成部分2 2（

39、点）（点）1 1（边）（边）三三角角形形最简单的最简单的多边形，多边形，三角形在三角形在平面上，平面上，三角形是三角形是四面体的四面体的组成部分组成部分3 3（点）（点）3 3（边）（边）1 1（面）（面）四四面面体体最简单的最简单的多面体，多面体，四面体在四面体在空间中空间中4 4（点）（点）6 6（棱）（棱）4 4（面）（面）1 1（体）（体）不难看出，该表中排列的数字是不难看出，该表中排列的数字是“杨辉三角杨辉三角”的一部分它表现了线的一部分它表现了线段、三角形与四面体之间相似联系的和谐美段、三角形与四面体之间相似联系的和谐美 四面体四面体PABCPABC中，中，P PABCABC为三直

40、三面角，为三直三面角，H H是是P P在对面在对面ABCABC上的射影，则上的射影，则定理定理定理定理（以下各定理的条件不变）（以下各定理的条件不变）（以下各定理的条件不变）（以下各定理的条件不变）ABPABP中，中，APBAPB为直角，为直角，H H是是P P在斜边在斜边ABAB上的射影，则上的射影，则 注：表中注：表中、为四面体为四面体PABCPABC的三个侧面与底面所成的角的三个侧面与底面所成的角例例9.9.直角三角形与三直四面体的类比直角三角形与三直四面体的类比第三篇融会贯通的策略第三篇融会贯通的策略高考数学试题的来源主要有五个方面：高考数学试题的来源主要有五个方面：1.课本是试题的基

41、本来源；课本是试题的基本来源；2.历届高考试题是新试题的重要借鉴，特别是历届高考试题是新试题的重要借鉴，特别是全国试题；全国试题；3.课本与新课标的交集是高考试题的创新地带；课本与新课标的交集是高考试题的创新地带；4.初等数学与高等数学的衔接处、高等数学的初等数学与高等数学的衔接处、高等数学的基本问题和基本思想是试题的重要背景；基本问题和基本思想是试题的重要背景；5.竞赛试题是高考试题的重要参考竞赛试题是高考试题的重要参考融会贯通就是将融会贯通就是将“三基三基”、“四能四能”在应在应试策略这个制高点处进行融会贯通。试策略这个制高点处进行融会贯通。1技能技能掌握知识是形成技能的前提；掌握知识是形

42、成技能的前提；反复训练是形成技能的关键；反复训练是形成技能的关键；活动自动化是形成技能的标志。活动自动化是形成技能的标志。运用已有的知识在反复训练的基础上运用已有的知识在反复训练的基础上形成的自动化活动方式形成的自动化活动方式 例例1.“1.“倒写相加倒写相加”技巧的融会贯通技巧的融会贯通 等差数列前等差数列前 项和公式的推导项和公式的推导设等差数列设等差数列 的前的前 项和为项和为 ，由通项公式有，由通项公式有 再把项的次序反过来，又可以写成再把项的次序反过来，又可以写成 把把、两边分别相加，得两边分别相加，得 2 2将将“三基三基”在训练的制高点处在训练的制高点处实现融会贯通实现融会贯通方

43、法的提炼方法的提炼 “将原数列的项的次序倒写然后相加将原数列的项的次序倒写然后相加”是关键步骤这种求和的方法叫做是关键步骤这种求和的方法叫做“倒写相加法倒写相加法”是数列求和常用的重要是数列求和常用的重要方法方法 巩固练习巩固练习练练1.1.求和：求和：.练练2.2.求证：求证：练练3.3.设设 ，则，则练练4 4设设 ，求和：，求和：练练5 5设设 是等差数列是等差数列 的前项和，已的前项和，已知知 ，,若若 ，则，则 等于（等于（）.15 .16 .17 .18 .15 .16 .17 .18提示提示:+，得，得练练6 6已知函数已知函数 ，是函数是函数 图象上的两点，当线段图象上的两点，

44、当线段 的中的中点点 的横坐标为的横坐标为 时，的纵坐标恒为时，的纵坐标恒为 （）求）求 的解析式；的解析式；（）若数列）若数列 的通项公式为的通项公式为 求数列求数列 的前的前 项和项和 ；（）若）若 时，函数时，函数 为增函数，为增函数，求实数求实数 的取值范围的取值范围解：（解：（）由）由 ,两式相加两式相加,得得 即即 （）,由已知条件有由已知条件有 即即 ,倒写相加即可倒写相加即可 3.3.将将“四能四能”在训练的制高在训练的制高点处实现融会贯通点处实现融会贯通3.1 建立四能训练效果表建立四能训练效果表3.2 针对每个小项逐项进行针针对每个小项逐项进行针对性训练对性训练运算能力运算

45、能力运算变形运算变形数据处理数据处理运算思路运算思路运算结果运算结果近似计算近似计算估算估算 类似地，可以建立以下内容的训练效果表：类似地，可以建立以下内容的训练效果表：“常用数学常用数学方法方法”、“数学逻辑方法数学逻辑方法”、“数学思维方法数学思维方法”、“常考的常考的数学思想数学思想”、“常用解题策略常用解题策略”3.3 3.3 掌握十大数学方法掌握十大数学方法 配方法；配方法；待定系数法；待定系数法；比较法；比较法；代入法；代入法；消元法；消元法；换元法；换元法；变量转换法；变量转换法；坐标法；坐标法；构造法。构造法。数学归纳法；数学归纳法；3.4 3.4 掌握六大逻辑方法掌握六大逻辑

46、方法 演绎法；演绎法；归纳法；归纳法；综合法；综合法；分析法；分析法；反证法；反证法；同一法。同一法。3.5 3.5 掌握五对思维方法掌握五对思维方法观察与实验观察与实验比较与分类比较与分类归纳与类比归纳与类比分析与综合分析与综合特殊化与一般化特殊化与一般化3.6 3.6 掌握八个数学思想掌握八个数学思想 函数与方程的思想函数与方程的思想数与形结合的思想数与形结合的思想分类讨论的思想分类讨论的思想归纳与类比的思想归纳与类比的思想化归与转化的思想化归与转化的思想或然与必然的思想或然与必然的思想一般化与特殊化一般化与特殊化的思想的思想有限与无限的思想有限与无限的思想3.7 3.7 掌握求解数学题的

47、十大策略掌握求解数学题的十大策略 模式识别策略；模式识别策略；映射化归策略；映射化归策略；差异分析策略；差异分析策略；分合并用策略；分合并用策略；进退互化策略；进退互化策略；正反相辅策略；正反相辅策略；动静结合策略；动静结合策略；数形结合策略；数形结合策略；有效增设策略；有效增设策略；以美启真策略。以美启真策略。4.4.在题型训练的制高点处实现在题型训练的制高点处实现融会贯通融会贯通4.1 4.1 关注热点问题关注热点问题 08 08北京理北京理1717的背景是奥运志愿者，的背景是奥运志愿者，0808湖北理湖北理1010的背景是嫦娥一号探月，的背景是嫦娥一号探月，0808陕西理陕西理1616的

48、背景是奥运火炬传递，的背景是奥运火炬传递，0808江江西理西理1818的背景是冰雪灾害的背景是冰雪灾害 4.2 关注交汇问题关注交汇问题 立体几何与轨迹的交汇，如立体几何与轨迹的交汇，如0808浙江理浙江理1010；函数及其图象与立体几何的交汇，；函数及其图象与立体几何的交汇，如如0808北京理北京理8 8；等等；等等即时定义题即时定义题 0808上海理上海理1515定义点优于点，定义点优于点，0808湖南理湖南理1010与北京理与北京理1414都是定义取整函数，都是定义取整函数，0808陕西理陕西理1212定义信息间的一种运算，定义信息间的一种运算，0808江西理江西理1010定义球的弦，定

49、义球的弦，0808福建理福建理1616定定义了义了“域域”的概念，的概念，0808湖南理湖南理2020定义定义了相关弦了相关弦4.3 关注创新问题关注创新问题大背景题大背景题 初中的平几与高中知识、初等数学与高初中的平几与高中知识、初等数学与高等数学等，不分学科、不分学段地进行等数学等，不分学科、不分学段地进行整合、嫁接、改造所形成的创新题如整合、嫁接、改造所形成的创新题如0808福建理福建理1616引入了引入了“域域”的概念的概念,如如0505年年全国卷全国卷是十六进制的问题是十六进制的问题合情推理题合情推理题 如如0808湖北理湖北理1515引入和号引入和号“”“”及观察、猜想及观察、猜想

50、的推理题，的推理题，0808重庆理重庆理2222第（第（）问猜想）问猜想 的值，的值，0808全国全国理理1616是由平行四边形到平行是由平行四边形到平行六面体的类比题六面体的类比题4.4 关注图形载体的多种变换关注图形载体的多种变换 一是引进新图形一是引进新图形如如0606年广东是圆柱，年广东是圆柱，0707年安徽年安徽是四棱台，是四棱台，0808年陕西是三棱台，年陕西是三棱台，08 08年浙江是残缺的几年浙江是残缺的几何题（何题（0505年全国年全国，0606年天津，年天津，0707年江西、四川、浙年江西、四川、浙江）等江）等 二是改变几何体的摆放位置二是改变几何体的摆放位置如如0808年