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1、变 化 率 问 题与导数的概念问题问题1.1.气球平均膨胀率气球平均膨胀率.吹气球时吹气球时,会发现会发现:随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢,能从数能从数学的角度解释这一现象吗学的角度解释这一现象吗?解解:可知可知:V(rV(r)=r)=r3 3 即：即：r(Vr(V)=)=当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)=0.62 r(0)=0.62 气球平均膨胀率：气球平均膨胀率：问题问题1.1.气球平均膨胀率气球平均膨胀率.当空气容量从加时，半径增加了当空气容量从加时，半径增加了 r(
2、r()r(r()=0.)=0.气球平均膨胀率：气球平均膨胀率：可以看出，随着气球体积变大，它的平均可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小膨胀率变小 思考：当空气容量从思考：当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2 时时,气气球的平均膨胀率是多少呢球的平均膨胀率是多少呢?问题问题2.2.平均速度平均速度.物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是:S(tS(t)=gt)=gt2 2,12求求s s到到s s时的平均速度时的平均速度 解：解：S S2 2S S1 1=14.7=14.7t t2 2t t1 1=1=1V=V=问题问题2.2.平均速度平均速度.思考：求思考：求t
3、 t1 1s s到到t t2 2s s时的平均速度时的平均速度 V=V=平均变化率平均变化率如果上述的两个函数关系用如果上述的两个函数关系用f(xf(x)表示表示那么当自变量那么当自变量x x从从x x1 1变化到变化到x x2 2时，时，函数值就从函数值就从y y1 1变化到变化到y y2 2则函数则函数f(xf(x)从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率：平均变化率：它的几何意义是什么呢？它的几何意义是什么呢？问题：瞬时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是:S(tS(t)=gt)=gt2 2,12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时
4、速度呢？能否用求平均速度的方法求某一时刻能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？的瞬时速度？（我们可以取（我们可以取t=3t=3临近时间间隔内的临近时间间隔内的平均速度当作平均速度当作t=3t=3时刻的平均速度，时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）不过时间隔要很小很小）问题：瞬时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是:S(tS(t)=gt)=gt2 2,12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t=g(3+t)g(3+t)2 2g gV=V=t(6+t)问题：瞬时速度问题：瞬时速
5、度解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t=g(3+t)g(3+t)2 2g gV=V=t(6+t)当当t 0t 0时，时，v 3g=29.4v 3g=29.4（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度）瞬时速度：瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度）即：即：limlimt 0t 0S(3S(3+t)t)S(3)S(3)t t=29.4=29.4 思考：在思考：在t t0 0时刻的瞬时速度呢？时刻的瞬时速度呢？limlimt 0t 0S(tS(t0 0+t)t)S(tS(t0 0)t t瞬时变化率：瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极
6、限求得思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数瞬时速度，那么如何求函数f(xf(x)在在x=xx=x0 0点的瞬时变化率呢？点的瞬时变化率呢？可知可知:函数函数f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x xlimlimx 0 x 0f fx x=导数导数函数函数f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x xlimlimx 0 x 0f fx x=我们称它为函数我们称它为函数f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数记作：记作：f(xf(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x小结：由定义知，求小结：由定义知，求f(xf(x)在在x x0 0处的导数步骤为：处的导数步骤为：例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：小结：小结：平均速度瞬时速度；平均速度瞬时速度；平均变化率瞬时变化率；平均变化率瞬时变化率；导数导数f(xf(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x