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1、解题教学实践与反思解题教学实践与反思南京南京29中致远校区中致远校区 侯正永侯正永 数学技能就是解题能力数学技能就是解题能力不不仅能解决一般的问题，而且能解决仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、需要某种程度的独立思考、判断力、独创性想象力的问题。所以中学数独创性想象力的问题。所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力学的首要任务就在于加强解题能力的训练。的训练。波利亚波利亚一、问题提出的背景一、问题提出的背景 二、解题教学的实践研究二、解题教学的实践研究三、中考题对解题教学的启示三、中考题对解题教学的启示 四、解题教学理性反思四、解题教学理性反思 一、问题提出的背景一、
2、问题提出的背景 1.亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内三角形的三个内角和等于角和等于_.中考试题中考试题“欣赏欣赏”2.下列事件中是必然事件的是（下列事件中是必然事件的是（）（A）打开电视机，正在播少儿节目）打开电视机，正在播少儿节目（B）中秋节晚上一定能看到月亮）中秋节晚上一定能看到月亮（C）早晨的太阳一定从东方升起
3、）早晨的太阳一定从东方升起（D）小红）小红3岁就加入了少先队岁就加入了少先队中考试题中考试题“欣赏欣赏”4.已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表：系见下表：（）若海拔高度用（米）表示，平均气温用（）若海拔高度用（米）表示，平均气温用（）表示，试写出与之间的函数关系式；表示，试写出与之间的函数关系式；（）若某种植物适宜生长在（）若某种植物适宜生长在1820(包含包含18,也包含也包含20)山区山区,请问该植物适宜种植在海拔为多少请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区米的山区?2020.52121.522平均气温（单位平均气温（单位）400300
4、2001000海拔高度（单位海拔高度（单位“米米”）3.如果如果t0,那么那么a+t与与a的大小关系是的大小关系是()A.a+ta B.a+ta C.a+ta D.不能确定不能确定一、问题提出的背景一、问题提出的背景 1.教学试题与中考考题教学试题与中考考题2.学生解题与教师解题学生解题与教师解题2011鼓楼区二模第鼓楼区二模第28题题 我们将平分三角形的面积，又平分三角形的周长的直线称我们将平分三角形的面积，又平分三角形的周长的直线称为三角形的为三角形的“平分线平分线”在在ABC中，中，ABBC10，AC12（1）乐乐用直尺和圆规作出）乐乐用直尺和圆规作出ABC的一条的一条“平分线平分线”，
5、请你帮，请你帮乐乐在图乐乐在图1中作出这条中作出这条“平分线平分线”（保留作图痕迹，不写作法）；（保留作图痕迹，不写作法）；（2）丁丁在图）丁丁在图2中作出中作出ABC的另一条的另一条“平分线平分线”CD：过点：过点C画画直线直线CD交交AB于点于点D你觉得丁丁的方法正确吗？若正确，说你觉得丁丁的方法正确吗？若正确，说明确定的方法；若不正确，请说明理由；明确定的方法；若不正确，请说明理由；（3）请你找出）请你找出ABC的所有的所有“平分线平分线”，并说明确定的方法，并说明确定的方法ABC备用图备用图（图（图2）（图（图1）ABCABC三角形周积平分线三角形周积平分线一、问题提出的背景一、问题提
6、出的背景 3.解题教学中的缺失解题教学中的缺失1.教学试题与中考考题教学试题与中考考题2.学生解题与教师解题学生解题与教师解题“思路清楚思路清楚”吗吗?能否有效的学习能否有效的学习 “方法有效方法有效”吗吗?将单一知识点串成线、连成将单一知识点串成线、连成 面，把握知识之间的联系面，把握知识之间的联系 “形成系统形成系统”吗吗?答案答案计算过程计算过程思考过程思考过程 一、问题提出的背景一、问题提出的背景 评评价价主主体体4.对对“一题多解一题多解”的理解的理解3.解题教学中的缺失解题教学中的缺失1.教学试题与中考考题教学试题与中考考题2.学生解题与教师解题学生解题与教师解题评评价价主主体体
7、所谓所谓“一题多解一题多解”，就是对于同一问题，就是对于同一问题，由于观察的角度不同、侧重点不同，运用知识由于观察的角度不同、侧重点不同，运用知识的不同，思考方向和思维力度的不同，从而得的不同，思考方向和思维力度的不同，从而得到不同的解法。到不同的解法。寻求最佳解法；寻求最佳解法；“一题多解一题多解”与与“多题一解多题一解”；常规与特殊、简单与麻烦、初等与高等、正常规与特殊、简单与麻烦、初等与高等、正确与错误等。确与错误等。二、解题教学的实践二、解题教学的实践 波利亚：美籍匈牙利数学家、数学教育波利亚：美籍匈牙利数学家、数学教育家在解题方面，是数学启发法家在解题方面，是数学启发法(指关于发现指
8、关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研现代研究的先驱由于他在数学教育方面取得的成究的先驱由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）（国际数学教育大会）聘为名誉主席聘为名誉主席 主要贡献：怎样解题、数学与似主要贡献：怎样解题、数学与似真推理、数学的发现，涉及真推理、数学的发现，涉及“解题理论解题理论”、“解题教学解题教学”、“教师培训教师培训”三个领域三个领域评评价价主主体体 他的著作把传统的单纯解题发展为通过他的著作把传统的单纯解题发展
9、为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的的“万能方法万能方法”，而是希望通过对于解题过程，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用中可以起到启发的作用评评价价主主体体 他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与
10、特殊化方法、从后往前推、设立次一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效尤问题进行变形等，都在解题中行之有效尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义著名数学议表达出来，使得更有启发意义著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应
11、该读这本引人入胜的书师都应该读这本引人入胜的书”弄清问题弄清问题拟定计划拟定计划 实现计划实现计划 回回 顾顾 波利亚波利亚“怎样解题怎样解题”表表:弄清问题弄清问题第一：你必须弄清问题第一：你必须弄清问题 未知是什么未知是什么?已知是什么已知是什么?条件是什么条件是什么?满足条件满足条件是否可能是否可能?要确定未知，条件是否充分要确定未知，条件是否充分?或者它是否不或者它是否不充分充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号画张图，引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来把条件的各个部分分开你能否把它们写下来?拟定计划拟定计划 你以前见过它吗你
12、以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形你是否见过相同的问题而形式稍有不同式稍有不同?你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个你是否知道一个可能用得上的定理可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题相似未知数的熟悉的问题 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题决的问题 你能不能利用它你能不能利用它?你能利用它的结果吗你能利用它的结果吗?你能你能利用它的方法吗利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素某些辅助元素?
13、你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同你能不能用不同的方法重新叙述它的方法重新叙述它?回到定义去回到定义去 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题有关问题?一个更普遍的问题一个更普遍的问题?一个更特殊的问题一个更特殊的问题?一一个类比的问题个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分?仅仅仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度数能确定到什么程度?它
14、会怎样变化它会怎样变化?你能不能从已你能不能从已知数据导出某些有用的东西知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确你能不能想出适合于确定未知数的其他数据定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整你是否利用了整个条件个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤实现你的求解计划，检验每一步骤
15、你能否清楚地看出这一步骤是正确的你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能你能否证明这一步骤是正确的否证明这一步骤是正确的?回回 顾顾 你能否检验这个论证你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出你能否用别的方法导出这个结果这个结果?你能不能一下子看出它来你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?例题教学举例例题教学举例例题选讲例题选讲尝试练习尝试练习纠错点评纠错点评拓展提高拓展提高例题选讲例题选讲目的：引导学生初步运用己生成的知识和目的：引导学生初步运用己生成的知识和 策略去分析问题、解决问题。策略去分析问题、解决问题。要求：题目精选，题
16、量适中，要有典型性要求：题目精选，题量适中，要有典型性 和层次性。教师要充分发挥学生的和层次性。教师要充分发挥学生的 主动性，要总结、提升问题解决的主动性，要总结、提升问题解决的 深度和广度。教师必须规范的解题深度和广度。教师必须规范的解题 样式。样式。要关注解题教学要关注解题教学尝试练习尝试练习目的：目的：让学生尝试运用所学知识解决问题。让学生尝试运用所学知识解决问题。要求：课堂练习要有层次，由易到难，全员要求：课堂练习要有层次，由易到难，全员 参与。教师巡视学生练习、个别辅参与。教师巡视学生练习、个别辅 导，及时了解学生掌握知识情况。导，及时了解学生掌握知识情况。如：试题变式如：试题变式纠
17、错点评纠错点评目的：让学生辩明是非，掌握本节课学习目的：让学生辩明是非，掌握本节课学习 的内容及收获。的内容及收获。要求：让学生反思，归纳解决问题时所用要求：让学生反思，归纳解决问题时所用 到的基础知识、基本技能以及方法到的基础知识、基本技能以及方法 规律。同时重视解决问题的易错点。规律。同时重视解决问题的易错点。要关注思想方法的渗透要关注思想方法的渗透如：转化思想如：转化思想总结提高总结提高 目的：以教学目标为依据对本节课的教学目的：以教学目标为依据对本节课的教学 内容进行概括总结，便于学生巩固内容进行概括总结，便于学生巩固 提高。提高。要求：明确这一节课学习了什么？应该掌要求：明确这一节课
18、学习了什么？应该掌 握什么？有哪些注意的地方。握什么？有哪些注意的地方。三、中考题对试题教学的启示三、中考题对试题教学的启示 “改编改编”也精彩也精彩四、解题教学理性反思四、解题教学理性反思 “有效性有效性”的再认识的再认识四、解题教学理性反思四、解题教学理性反思 “有效性有效性”的再认识的再认识 关注试题反思关注试题反思原型原型 如图如图的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度边长为折叠进去的宽度（1）如图）如图，数学课本长为，数学课本长为26 cm，宽为，宽为18.5 cm，厚，厚为为1 cm小明用一张小明用一张1260 cm2的矩形纸包好了这本书，的矩形纸包好了这本书，展开后如图展开后如图所示，求折叠进去的宽度；所示，求折叠进去的宽度；（2）现有一本长为）现有一本长为19 cm，宽为，宽为16 cm，厚为，厚为6 cm的字的字典你能用一张典你能用一张43 cm26 cm的矩形纸，按图的矩形纸，按图所示所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3 cm吗？请说明理由吗？请说明理由素材素材2009浙江绍兴浙江绍兴BBBCCCAAADPE