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1、 7.3 离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值1 1通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望数学期望)的概念和的概念和意义意义2 2能计算简单离散型随机变量的均值能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望数学期望)，并能解决一些实际问题，并能解决一些实际问题1.1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 Xx1x2xnPp1p2pn2.2.离散型随机变量分布列的性质：离散型随机变量分布列的性质：(1)pi 0，i1，2，；(2)p1p2 pi 1 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律离散型随机
2、变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较它们的平均环数或总环数以及稳定性平，一般会比较它们的平均环数或总环数以及稳定性.因此，类似于研究因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征它们统称为随
3、机变量的数字特征.思考：思考：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.环数环数 X7 78 89 91010甲射中的概率甲射中的概率0.10.10.20.20.30.30.40.4乙射中的概率乙射中的概率0.150.150.250.250.40.40.20.2如何比较他们射箭水平的高低呢？如何比较他们射箭水平的高低呢？离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看看稳定性再看看稳定性.假设甲射箭假设甲射
4、箭 n 次，射中次，射中7 7环、环、8 8环、环、9 9环和环和1010环的频率分别为环的频率分别为 ，.则甲则甲 n 次射箭射中的平均环数为次射箭射中的平均环数为当当 n 足够大时，频率稳定于概率，所以足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于稳定于即甲射中平均环数的稳定值为即甲射中平均环数的稳定值为9 9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平箭水平.同理，乙射中环数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为：的概
5、率分布为：则称则称为随机变量为随机变量 X 的的均值或数学期望均值或数学期望，简称期望，简称期望.均值是随机变量可能取值关均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平于取值概率的加权平均数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.Xx1x2xixnPp1p2pipn例例1 1 在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1 1次得次得1 1分，不中得分，不中得0 0分分.如果某运动员罚球命如果某运动员罚球命中的概率为中的概率为0.80.8，那么他罚球，那么他罚球1 1次的得分次的得分 X 的均值是多少？的均值是多少？解：因为解：因为 ，所以所以即该运动员罚
6、球即该运动员罚球1 1次的得分次的得分 X 的均值是的均值是0.8.0.8.1.1.一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，服从两点分布，那么那么X01P1-pp2.2.求离散型随机变量求离散型随机变量 X 的均值的步骤：的均值的步骤：(1)(1)理解理解 X 的意义，写出的意义，写出 X 可能取的全部值；可能取的全部值；(2)(2)求出求出 X 取每个值的概率取每个值的概率P(Xk)；(3)(3)写出写出 X 的分布列；的分布列；(4)(4)利用定义公式利用定义公式 E(X)x1 p1x2 p2xn pn 求出均值求出均值.解：因为解：因为 X 的可能取值为的可能取值为1
7、 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，分布列如表所示分布列如表所示所以所以1.1.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求，求 X 的均值的均值.X1 12 23 34 45 56 6P 如果如果 X 是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其均加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即值会怎样变化？即 和和 (其中其中a，b为常数为常数)分别与有怎样的关分别与有怎样的关系？系？离散型随机变量均值的性质离散型随机变量均值的性质 设设 X 的分布列为的分布列为根据随机变量均值的定义，根据随机变量均值的定义，
8、类似地，可以证明类似地，可以证明 一般地，有下面的结论成立：一般地，有下面的结论成立：准确理解均值的性质准确理解均值的性质(1)(1)当当a0时，时，E(b)b，常数的数学期望是常数本身；，常数的数学期望是常数本身；当当a1时，时，E(Xb)E(X)b；当；当b0时，时，E(aX)aE(X).(2)(2)对于任意实数对于任意实数a，b，X 是随机变量，是随机变量，Y 也是随机变量，一定有也是随机变量，一定有E(aXb)aE(X)+b，E(aXbY)aE(X)bE(Y).例例2 2 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为X1 12 23 34 45 5P0.10.10.30.30.4
9、0.40.10.10.10.1(1)(1)求求 ；(2)(2)求求 .解：解：(1)(1)(2)(2)1 1该类题目属于已知离该类题目属于已知离散型分布列求均值散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式求解方法是直接套用公式E(X)x1 p1x2 p2xn pn求解求解2 2对对于于aXb型型的的随随机机变变量量，可可利利用用均均值值的的性性质质求求解解，即即E(aXb)aE(X)b；也也可可以以先先列列出出aXb的的分分布布列列，再再用用均均值值公公式式求求解解，比比较较两两种种方方式式显显然前者较方便然前者较方便 2.2.已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为X-2-2-1-10
10、 01 12 2Pm若若Y2X，则，则 E(Y)_解：解：由随机变量的分布列的性质，得由随机变量的分布列的性质，得 ，解得，解得所以所以由由 ，得，得X1012P则则 X 的均值为的均值为()A A0 0 B B1 1 C.C.D.D.D D1 1已知已知 X 的分布列为的分布列为2 2某射手射击所得环数某射手射击所得环数 X 的分布列如下：的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知已知 X 的均值的均值E(X)8.9，则，则 y 的值为的值为_0.43.3.在在1010件产品中，有件产品中，有3 3件一等品、件一等品、7 7件二等品从这件二等品从这1010件产品中任取件产品中任取3 3
11、件，求件，求取出的取出的3 3件产品中一等品件数件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望解：从解：从1010件产品中任取件产品中任取3 3件共有件共有 种结果从种结果从1010件产品中任取件产品中任取3 3件，其中恰件，其中恰有有 k 件一等品的结果数为件一等品的结果数为 ，其中，其中 k0 0，1 1，2 2，3.3.所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为：的分布列为：X X0 01 12 23 3P P所以所以4.4.根根据据天天气气预预报报，某某地地区区近近期期有有小小洪洪水水的的概概率率为为0.250.25，有有大大洪洪水水的的概概率率为为0.01.0.01.该该
12、地地区区某某工工地地上上有有一一台台大大型型设设备备，遇遇到到大大洪洪水水时时要要损损失失60 60 000000元元，遇遇到小洪水时要损失到小洪水时要损失10 00010 000元为保护设备，有以下元为保护设备，有以下3 3种方案：种方案：方案方案1 1运走设备，搬运费为运走设备，搬运费为3 8003 800元；元；方案方案2 2建保护围墙，建设费为建保护围墙，建设费为2 0002 000元，但围墙只能防小洪水；元，但围墙只能防小洪水；方案方案3 3不采取措施不采取措施如果你是工地的领导，那么该如何决策呢？如果你是工地的领导，那么该如何决策呢？解解 设方案设方案1 1、方案、方案2 2、方案
13、、方案3 3的总损失分别为的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案采用方案1 1，无论有无洪水，都损失，无论有无洪水，都损失3 8003 800元因此，元因此，X13 800.3 800.采采用用方方案案2，遇遇到到大大洪洪水水时时，总总损损失失为为2 00060 00062 000元元；没没有有大大洪洪水时水时，总损失为总损失为2 000元元因此，因此，采用方案采用方案3，有，有于是于是，E(X1)3 800，E(X2)62 0000.012 0000.992 600，E(X3)60 0000.0110 0000.2500.743 100.因此因此，从期望损失最小的角度从期望损失最小的角度，应采取方案应采取方案2.