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1、数学课堂教学设计研究数学课堂教学设计研究鲍建生鲍建生华东师范大学数学系华东师范大学数学系欢迎投稿欢迎投稿编辑部电子信箱：编辑部电子信箱：在线视频介绍（忻重义）：在线视频介绍（忻重义）：研究者与研究者与实践者合实践者合作分析实作分析实践中的问践中的问题题在现有设在现有设计原理的计原理的基础上探基础上探讨创新设讨创新设计计通过反思通过反思改进设计改进设计原理并推原理并推动设计的动设计的应用应用在实践中在实践中对设计进对设计进行反复的行反复的试验与修试验与修正正对问题、策略、途径及设计原理的调整对问题、策略、途径及设计原理的调整设计研究（设计研究（Design Research）的基本流程）的基本流
2、程一、一、数学教育是一门设计科学数学教育是一门设计科学(Lesh,R.&Sriraman,B.2005)设计研究的六个特点设计研究的六个特点v干预：干预：设计的核心是对实际问题设计的核心是对实际问题/环境的干预；环境的干预；v循环：循环：研究过程是分析、设计、发展、评价、修正之研究过程是分析、设计、发展、评价、修正之间的多重循环间的多重循环v实践：实践：在研究的各个阶段和活动中，都有实践者的参在研究的各个阶段和活动中，都有实践者的参与与v过程：过程：强调理解和改进干预的过程（避免黑箱式的、强调理解和改进干预的过程（避免黑箱式的、只考虑输入只考虑输入-输出的测量）输出的测量）v效用：效用：研究的
3、功效必须在实践中检验研究的功效必须在实践中检验v理论：理论：设计必须（至少部分）基于概念框架和理论假设计必须（至少部分）基于概念框架和理论假设，通过对一系列干预原型（设，通过对一系列干预原型（prototype）的系统评）的系统评价来建构理论价来建构理论(Van den Akker,et al.,2006:5)数学课堂教学设计研究的论文体例数学课堂教学设计研究的论文体例大体上可以分以下四节：大体上可以分以下四节：1.问题的提出（问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和深刻性深刻性）2.策
4、略筛选与创意设计（策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教学设计，设计方案应有创意学设计，设计方案应有创意）3.教学实施与效果评价（教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问题题）4.反思与改进（反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学原理；具体的教学设计；教师本身的教学行为设计；教师本身的教学行为）走进课堂，
5、解决学与教中的实际问题走进课堂，解决学与教中的实际问题课堂教学课堂教学.目标定位任务设计过程与行为监控与调节教教学学的的有有效效性性.知能结构发展阶段研修方式行为跟进教教师师专专业业发发展展案例研究案例研究教学实验教学实验设计研究设计研究数学课堂教学设计研究的基本问题数学课堂教学设计研究的基本问题v效率：事半功倍还是事倍功半？效率：事半功倍还是事倍功半？v数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？v数学认知水平：发展层次，差异性数学认知水平：发展层次，差异性v数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳）数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳
6、）v超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？如何培养高层次的数学认知？如何培养高层次的数学认知？v建模与应用：类型、功能与价值（建模与应用：类型、功能与价值（APEC项目）项目）v情境的创设：什么样的问题情境是有效的？情境的创设：什么样的问题情境是有效的？v技术的介入：如何有效的运用技术？技术的介入：如何有效的运用技术？v区分教学：学困生和资优生怎么办？区分教学：学困生和资优生怎么办？主题研究工作坊：高中数学十大主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究难点概念的设计研究阮晓明阮晓明,王琴王琴.高中数学十大难点概念的调查研究高中数学十大难
7、点概念的调查研究.数学教育数学教育学报学报,2012年第年第5期期不同性别教师比较不同职称教师比较不同学校的学生的比较不同学校的学生的比较二、数学学习的基本原理与策略二、数学学习的基本原理与策略1.良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移迁移理论理论）；）；2.结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进(教学层次论教学层次论)3.典型例题是数学认知结构的重要成分（典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习样例学习）；）；4.同化和顺应是改变认知结构的基本途径同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知
8、冲突与心理挣（认知冲突与心理挣扎）扎）5.保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基）（四基）6.在较大的信息单元上工作（在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源聚焦认知根源/核心概念和思想方核心概念和思想方法法）7.多向思考与变式教学多向思考与变式教学8.双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（件（精致练习精致练习）；）；9.不同的任务不同的任务需要需要/引发引发不同的认知活动；不同的认知活动；10.数学能力的发展需要合适的（分析）框架和任务（抓手）。数学能力的发展需要合适的（分析
9、）框架和任务（抓手）。理论与经验的互动理论与经验的互动经验经验理论理论z支持预测支持预测z为研究提供分析框架为研究提供分析框架z具有解释的能力具有解释的能力z能应用于广泛的现象能应用于广泛的现象z有助于对复杂现象的思考有助于对复杂现象的思考z作为资料分析的工具作为资料分析的工具z提供一种深层次交流的语言提供一种深层次交流的语言z源于实践源于实践z实用实用z个人化个人化z嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z比较模糊，不易表征、比较模糊，不易表征、把握和传授把握和传授z难以跨领域的交流。难以跨领域的交流。解释解释建构建构1.良好的认知结构在良好的认知结构在知识丰富领域的知识丰富领域的问问题解决中
10、有重要的作用（迁移理论）题解决中有重要的作用（迁移理论）数学双基典型例题数学思想方法2.结构化的知识需要按照知识的主干结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进有层次的推进大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教之所陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而无勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六友，则孤陋而寡闻；燕朋
11、逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。者，教之所由废也。君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而弗抑，以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣。则思；和易以思，可谓善喻矣。学记学记中学数学课程发展的九条主线中学数学课程发展的九条主线1.整数整数有理数有理数实数实数复数和向量复数和向量2.数的表示数的表示代数表达式代数表达式作为关系的函数作为关系的函数作为对象的函作为对象的函数数3.
12、个别图形的性质个别图形的性质某一类图形的一般性质某一类图形的一般性质4.归纳推理归纳推理演绎推理（局部的演绎）演绎推理（局部的演绎）数学系统内的演绎数学系统内的演绎（整体的演绎）（整体的演绎）5.数的应用数的应用运算的应用运算的应用建立函数模型建立函数模型6.对一次测量的估计对一次测量的估计一组数的统计；描述性统计一组数的统计；描述性统计推断性推断性统计统计7.简单几何图形的全等与相似简单几何图形的全等与相似所有图形全等与相似以及几所有图形全等与相似以及几何变换何变换8.计算器计算器图形计算器图形计算器计算机代数系统计算机代数系统9.把数学看作是对一堆事实的记忆把数学看作是对一堆事实的记忆把数
13、学看作是可以通过把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想不同方式得到的一些相互关联的思想(Z.Usiskin)3.典型例题是数学认知结构的重要成分典型例题是数学认知结构的重要成分数学思维的特征之一：划归；数学思维的特征之一：划归；平面几何中的基本图形分析法；平面几何中的基本图形分析法；样例学习（样例学习（Learning by sample）问题解决的变式化归问题解决的变式化归未知问题未知问题已知问题已知问题化归化归变式变式1化归化归变式变式2化归化归推出推出推出推出推出推出基本图形分析法基本图形分析法乌鲁木齐市第十三中学乌鲁木齐市第十三中学 胡玉社胡玉社4.同化和顺应是改变认知结
14、构的基本途径同化和顺应是改变认知结构的基本途径认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。历程。专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发）专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发）在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。的问题。长作业的运用长作业的运用子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，子曰：不愤不启，不悱不
15、发，举一隅不以三隅反，则不复也则不复也（论语）（论语）5.保持概念理解、技能训练、问题解保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡决之间的平衡三个馒头的故事三个馒头的故事数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究）菲尔德的研究）美国加州的数学课程标准：美国加州的数学课程标准：这三个要素都重这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它
16、时候则专注于两个或三注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。个全部。概念理解：多角度的理解（悟）概念理解：多角度的理解（悟）技能训练：精致练习（做）技能训练：精致练习（做）认知性认知性技能技能程序程序特征特征变式变式活用活用问题解决：变式化归（用）问题解决：变式化归（用）多步化归多步化归变异空间大变异空间大背景简单背景简单变式教学变式教学题型训练题型训练构建体系构建体系一题多解一题多解一题多变一题多变一法多用一法多用双双 基基化归的基础化归的基础典型例题典型例题化归的台阶化归的台阶经验系统经验系统化归的保证化归的保证推理与论证推理与论证形式化形式化数学内部的联系数学内部的联系6.在较大的
17、信息单元上工作在较大的信息单元上工作1.有利于提高工作记忆的效能；有利于提高工作记忆的效能；2.大的信息单元的激活水平也比较高，容易大的信息单元的激活水平也比较高，容易产生联想；产生联想；3.国际象棋大师头脑中的国际象棋大师头脑中的5万张棋谱。万张棋谱。提高工作记忆的效能提高工作记忆的效能工作记忆（工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大量研究表明，工的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。
18、成起关键作用。在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元工作记忆的容量有限，一般为工作记忆的容量有限，一般为7 2个信息单元。为扩大短个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将小的记忆单位组时记忆的容量，可采用组块的方法，即将小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节：工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节：信息贮存（信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消）过程，其中的信息一般很容易消退；退；信息维持或复述（信
19、息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所贮存的信息；器中正在消退的信息，即不断地重复所贮存的信息；执行（执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。的控制与协调。增加信息的激活水平增加信息的激活水平ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产生式规则。提取用于提取某些陈述性知识并解决问题的产生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进过程的成败与速度取决
20、于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这影响到操作的流畅性。行提取的产生式的强度，这影响到操作的流畅性。三种记忆的生理过程理论：三种记忆的生理过程理论：(1)(1)信息信息乃物理性地被纪录在神经元中。乃物理性地被纪录在神经元中。(2)(2)信息信息以电以电子信号子信号方式被传导与储存。方式被传导与储存。(3)(3)信息信息改变了神经元的结构。改变了神经元的结构。7.多向思考与变式教学多向思考与变式教学1.数学中的多元表征；数学中的多元表征；2.变式教学；变式教学；3.解题三部曲。解题三部曲。多元表征多元表征数学教学中的各种变式数学教学中的各种变式 概念性变式概念性变式 过程性变式
21、过程性变式 概念变式概念变式 非概念变式非概念变式 标准变式标准变式 非标准变式非标准变式 问题解决的变式化归问题解决的变式化归 解题三部曲解题三部曲 铺垫教学铺垫教学 精致练习精致练习 变式三部曲变式三部曲原始问题原始问题通过改变条通过改变条件或结论得件或结论得到多种变式到多种变式问题问题一题多变一题多变用多种方用多种方法解决同法解决同一个问题一个问题一题多解一题多解将解法应用将解法应用于多种情形于多种情形一法多用一法多用8.精致练习精致练习ACT-RACT-R对对教教学学的的建建议议，那那就就是是练练习习、练练习习、再再练练习习。大大量量的的研研究究都都表表明明，高高层层次次的的能能力力只
22、只能能通通过过高高强强度度的的练练习习。特特别别地地，研研究究表表明明，学学生生花花在在数数学学上上的的时时间与他们的数学能力有很高的相关性间与他们的数学能力有很高的相关性。但但是是，并并不不是是练练习习的的次次数数越越多多越越好好，研研究究表表明明有有一一个临界值，应该在达到这个临界值时个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收见好就收”Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的一样的，而只有所谓的“精致的练习精致的练习”（deliberate practice）才能导致真正的学习。他们把才能导致真正的学习。他们把“精致的精致
23、的练习练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。及仔细的不断的指导与监督。9.不同的任务需要不同的任务需要/引发不同的认知活动引发不同的认知活动影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个：影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个：1.学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动不同的数学认知活动；2.针对高认知层次数学任务的教学策略针对高认知层次数学任务的教学策略(Quasar)。保持高认知水平的七个教学要素：保持高认知水平的七个教学要素：给思维和推理搭给思维和推理搭“脚手
24、架脚手架”；为学生提供元认知方法；为学生提供元认知方法；示范高水平的操作行为；示范高水平的操作行为；维持对证明、解释或意义的强调；维持对证明、解释或意义的强调；任务建立在已有知识基础上；任务建立在已有知识基础上；在概念间建立联系；在概念间建立联系；适当的探索时间。适当的探索时间。10.数学能力的分析框架数学能力的分析框架中小学生数学能力结构中小学生数学能力结构 1.获得数学信息获得数学信息 A.对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2.数学信息加工数学信息加工A.在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对在数
25、量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。数学符号进行思维的能力。B.迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C.缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。思维的能力。D.在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E.力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F.迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推
26、理中心理过程的可逆性）。思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3.数学信息保持数学信息保持A.数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。题方法及探讨原则的概括性记忆）。4.一般综合性组成成分一般综合性组成成分 A.数学气质。数学气质。1.1.概念理解：理解数学概念、运概念理解：理解数学概念、运算及关系算及关系2.2.流畅的运算能力：灵活地、准流畅的运算能力：灵活地、准确地、有效地及适当地实施数确地、有效地及适当地实施数学程序学程序3.3.选择策略的能力：能形成、表选择策略的能力：能形成、表
27、征及解决数学问题征及解决数学问题4.4.适当的推理能力：逻辑思维、适当的推理能力：逻辑思维、反思、解释及辩证的能力反思、解释及辩证的能力5.5.数学的鉴赏力：相信数学是合数学的鉴赏力：相信数学是合理的、有用的和有价值的理的、有用的和有价值的美国美国2061计划：五种核心数学能力计划：五种核心数学能力PISA数学素养（数学素养（2012）37情境情境个人个人：购物、饮食购物、饮食职业职业：预算预算表使用表使用社会社会：选举选举、经济经济科学科学：医学医学、天气天气內容領域改變與關係：函數、代數、方程式空間與形狀：座標系統、幾何測量數量：數與單位、四則計算、百分比不確定性：抽樣、機率、資料變異性交流建模表征推理探究策略符号演算工具使用青浦实验的目标分类青浦实验的目标分类38110F2F1分析分析运用运用领会领会概念概念计算计算数学核心能力的七个成分数学核心能力的七个成分经验材料的数学组织数学材料的逻辑组织数学理论的应用从数学角度从数学角度提出问题提出问题数学表数学表征征数学符数学符号变换号变换数学推理数学推理与论证与论证数学建模数学建模数学地解决数学地解决问题问题数学交流数学交流谢 谢！