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1、第二章第二章 非线性方程求根非线性方程求根1根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？定理定理1：设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续，如果如果f(a)f(b)0打打 印印结结 束束否否是是继续扫描继续扫描例例1 1：考察方程：考察方程x00.51.01.5f(x)的的符符号号abx1x2ab或或不能保证不能保证 x 的精度的精度x*2xx*1 1 1 1 二二二二 分分分分 法法法法执行步骤执行步骤1计算计算f(x)在有解区间在有解区间a,b端点处的值端点处的值，f(a)，f(b)。2计算计算f(x)在区间中点处的值在区间中点
2、处的值f(x1)。3判断若判断若f(x1)=0，则则x1即是根，否则检验即是根，否则检验：（1）若若f(x1)与与f(a)异号异号，则知解位于区间则知解位于区间a,x1，b1=x1,a1=a;（2）若若f(x1)与与f(a)同号同号，则知解位于区间则知解位于区间x1,b，a1=x1,b1=b。反复执行步骤反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),(ak,bk),4、当当时时5、则、则即为根的近似即为根的近似简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 定义定义f(x)f
3、(a)f(b)0f(a)f(b)=0f(a)=0打印打印b,k打印打印a,k结束结束是是是是是是否否否否否否m=(a+b)/2|a-b|0打印打印m,ka=mb=m结束结束k=K+1是是是是否否否否输入输入 k=0例例2：求方程求方程kakbkxkf(xk)的符的符号号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-22 迭迭迭迭 代代代代 法法法法1 1简单迭代法简单迭代法x1=0.4771x2=0.3
4、939x6=0.3758x7=0.37582迭代过程的收敛性迭代过程的收敛性f(x)=0 x=g(x)等价变换等价变换例例3：求方程求方程的一个根的一个根迭代格式迭代格式xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1定理定理2：如果：如果 (x)满足下列条件满足下列条件（1 1）当）当x a,b时，时，(x)a,b（2 2）当任意）当任意x a,b，存在，存在0 L 1，使，使 则方程则方程x=(x)在在a,b上有唯一的根上有唯一的根x*,且对任意初值且对任意初
5、值 x0 a,b时，迭代序列时，迭代序列xk+1=(xk)(k=0,1,)收敛于收敛于x*。(2.1)3迭代法的结束条件迭代法的结束条件例例4 4：求方程：求方程 在在0,0.5内的根，精确到内的根，精确到10-5。x1=(0.25)=0.3385416(2.2)x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.34729634 4迭代过程的收敛速度迭代过程的收敛速度 设由某方法确定的序列设由某方法确定的序列xk收敛于方程的根收敛于方程的根x*，如果存在正
6、实数如果存在正实数p，使得，使得（C C为非零常数）为非零常数）定义：定义：则称序列则称序列xk收敛于收敛于x*的收敛速度是的收敛速度是p阶的，或称该方法阶的，或称该方法具有具有p 阶敛速。当阶敛速。当p=1时，称该方法为线性（一次）收敛；时，称该方法为线性（一次）收敛；当当p=2时，称方法为平方（二次）收敛；当时，称方法为平方（二次）收敛；当1 p 2时，时，称方法为超线性收敛。称方法为超线性收敛。3 3 牛顿法牛顿法一、牛顿法的迭代公式一、牛顿法的迭代公式x*x0 x1x2xyf(x)原理：原理：将非线性方程线性化将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f(x)在
7、在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:，在在 x0 和和 x 之间。之间。将将(x*x0)2 看成高阶小量，则有：看成高阶小量，则有：只要只要 f C1，每一步迭代都有，每一步迭代都有f(xk)0，而而 且且，则，则 x*就是就是 f(x)的根。的根。(2.3)二、二、牛顿法的收敛性牛顿法的收敛性定理定理3：设设f(x)在在a,b上满足下列条件上满足下列条件：（1）f(a)f(b)0则由则由（2.3）确定的牛顿迭代序列确定的牛顿迭代序列xk收敛于收敛于f(x)在在a,b上的唯一根上的唯一根x*。注：注：注：注：Newton法的收敛性依赖于法的收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x
8、0 x03牛顿下山法牛顿下山法牛顿下山法计算步骤可归纳如下：牛顿下山法计算步骤可归纳如下：（1）选取初始近似值）选取初始近似值x0；（2）取下山因子）取下山因子 =1；（3）计算）计算（4）计算）计算f(xk+1)，并比较，并比较 与与 的大小，分以下二种情况的大小，分以下二种情况1）若）若 ，则当，则当 时，取时，取x*xk+1，计算过程结束；，计算过程结束；当当 时，则把时，则把xk+1作为新的作为新的xk值，并重复回到（值，并重复回到（3）。）。2）若）若 ，则当，则当 且，取且，取x*xk，计算过程结束；，计算过程结束；否则若否则若 ，而，而 时，则把时，则把xk+1加上一个适当选定的
9、小正数，加上一个适当选定的小正数，即取即取xk+1+作为新的作为新的xk值，并转向（值，并转向（3）重复计算；当）重复计算；当 ；且；且 ，则将下山因子缩小一半，取则将下山因子缩小一半，取/2代入，并转向（代入，并转向（3）重复计算。）重复计算。例例5 5：求方程：求方程f(x)=x3 x 1=0 的根的根k xk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛顿下山法的计算结果：牛顿下山法的计算结果：1 1、单点弦截法单点弦截法 ：牛顿法一步要计算牛顿法一步要计算 f 和和 f，相当于，相当于2个函数值。现用个函数值。现用 f 的值近似的值近似 f :x0 x1切线切线割线割线切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率x22 2、双点弦截法双点弦截法 ：切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率需要需要2个初值个初值 x0 和和 x1。x0 x1x2