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1、上页上页下页下页第第8章章 矩阵特征问题的计算矩阵特征问题的计算8.1 引言引言8.2 幂法及反幂法幂法及反幂法8.3 豪斯霍尔德方法豪斯霍尔德方法8.4 QR方法方法上页上页下页下页8.1 引引 言言 工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识知识.上页上页
2、下页下页 定义定义1 已知已知n阶矩阵阶矩阵A=(aij)，则，则称为称为A的的特征多项式特征多项式.一般有一般有n个根个根(实的或复的，复根按重数计算实的或复的，复根按重数计算)称为称为A的的特征值特征值.用用(A)表示表示A的所有特征值的集合的所有特征值的集合.A的特征方程的特征方程上页上页下页下页 设设为为A的特征值，相应的齐次方程组的特征值，相应的齐次方程组 注：注：当当A为实矩阵时，为实矩阵时，()=0为实系数为实系数n次代数次代数方程，其复根是共轭成对出现方程，其复根是共轭成对出现.的的非零解非零解x称为矩阵称为矩阵A的对应于的对应于的的特征向量特征向量.例例1 求求A的特征值及特
3、征向量，其中的特征值及特征向量，其中上页上页下页下页 解解 矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为求得矩阵求得矩阵A的特征值为：的特征值为：对应于各特征值矩阵对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：的特征向量分别为：上页上页下页下页 定理定理1 设设为为ARnn的特征值的特征值,且且Ax=x(x 0)，则有，则有 -p为为A-pI的特征值，即的特征值，即(A-pI)x=(-p)x；c为的为的cA特征值特征值(c0为常数为常数)；下面叙述有关特征值的一些下面叙述有关特征值的一些结论结论：k为为Ak的特征值，即的特征值，即Akx=kx；设设A为非奇异矩阵，那么为非奇异矩阵，那么0,且且-1为为A-1的的
4、特征值，即特征值，即A-1x=-1x.上页上页下页下页 定理定理2 设设i(i=1,2,n)为为n阶矩阵阶矩阵A=(aij)的特的特征值，则有征值，则有 称为称为A的的迹迹；定理定理3 设设ARnn，则有，则有 定理定理4 设设A 为分块上三角矩阵，即为分块上三角矩阵，即其中每个对角块其中每个对角块Aii均为方阵，则均为方阵，则上页上页下页下页 定理定理5 设设A与与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使使B=P-1AP），则），则 定理定理5说明，一个矩阵说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征经过相似变换，其特征值不变值不变.一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，一
5、个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.A与与B有相同的特征值；有相同的特征值；如果如果y是是B的特征向量，则的特征向量，则Py是是A的特征向量的特征向量.定义定义2 如果实矩阵如果实矩阵A有一个重数为有一个重数为k的特征值的特征值,且对应于且对应于的的A的线性无关的特征向量个数的线性无关的特征向量个数|2|n|，则对任何非零向量则对任何非零向量v0(a1 0)，幂法的算式成立，幂法的算式成立.又设又设A有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，1对应的对应的r个线性个线性无关的特征向量为无关的特征向量为x1,x2,
6、xr，则由，则由(2.2)式有式有 如果如果A的主特征值为实的重根的主特征值为实的重根,即即1=2=r,且且|r|r+1|n|，上页上页下页下页为为A的特征向量，这说明当的特征向量，这说明当A的主特征值是实的重根的主特征值是实的重根时，定理时，定理5的结论还是正确的的结论还是正确的.应用应用幂法幂法计算计算A的主特征值的主特征值1及其对应的特征向及其对应的特征向量时，如果量时，如果|1|1(或或|1|2|n|，则对任意非零初始，则对任意非零初始向量向量v0=u0(a1 0)，有幂法计算公式为，有幂法计算公式为则有则有 上页上页下页下页例例1 用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵的主特征值与其对应的特征
7、向量的主特征值与其对应的特征向量.解解取取 v0=u0=(0,0,1)T ,则则上页上页下页下页直到直到k=8 时的计算结果见下表时的计算结果见下表k1 2,4,1,4 0.5,1,0.252 4.5,9,7.75 90.5,1,0.86113 5.7222,11.4444,8.36111.44440.5,1,0.73604 5.4621,10.9223,8.2306 10.92230.5,1,0.75365 5.5075,11.0142,8.2576 11.01420.5,1,0.74946 5.4987,10.9974,8.2494 10.99740.5,1,0.75017 5.5002,
8、11.0005,8.2501 11.00050.5,1,0.75008 5.5000,11.0000,8.2500 11.00000.5,1,0.7500从而从而见书见书p303-例例3.上页上页下页下页8.2.2 幂法的加速方法幂法的加速方法1、原点平移法、原点平移法 由前面讨论知道，应用幂法计算由前面讨论知道，应用幂法计算A的主特征值的的主特征值的收敛速度主要由比值收敛速度主要由比值 r=|2/1|来决定，但当来决定，但当r 接近于接近于1时，收敛可能很慢时，收敛可能很慢.这时，一个补救办法是采用加速这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法收敛的方法.其中其中p为参数，设为参数，设A的特征值
9、为的特征值为 i，则对矩阵，则对矩阵B的特征的特征值为值为 i-p，而且，而且A,B的特征向量相同的特征向量相同.引进矩阵引进矩阵 B=A-pI.上页上页下页下页 如果要计算如果要计算A的主特征值的主特征值 1,只要只要选择合适的数选择合适的数p，使使 1-p为矩阵为矩阵B=A-pI 的主特征值，且的主特征值，且 那么，对矩阵那么，对矩阵B=A-pI应用幂法求其主特征值应用幂法求其主特征值 1-p,收收敛速度将会加快敛速度将会加快.这种通过求这种通过求B=A-pI的主特征值和特的主特征值和特征向量，而得到征向量，而得到A的主特征值和特征向量的方法叫的主特征值和特征向量的方法叫原原点平移法点平移
10、法.对于对于A的特征值的某种分布，它是十分有的特征值的某种分布，它是十分有效的效的.上页上页下页下页例例4 设设AR44有特征值有特征值比值比值r=|2/1|0.9.做变换做变换B=A-12I (p=12),则则B的特征值为的特征值为应用幂法计算应用幂法计算B的主特征值的主特征值1的收敛速度的比值为的收敛速度的比值为 虽然常常能够选择有利的虽然常常能够选择有利的p值值,使幂法得到加速使幂法得到加速,但设计一个自动选择适当参数但设计一个自动选择适当参数p的过程是困难的的过程是困难的.上页上页下页下页 下面考虑当下面考虑当A的特征值是实数时，怎样选择的特征值是实数时，怎样选择p使采使采用幂法计算用
11、幂法计算1得到加速得到加速.且使且使收敛速度的比值收敛速度的比值 设设A的特征值都是实数，且满足的特征值都是实数，且满足则对实数则对实数p，使矩阵，使矩阵A-pI的主特征值为的主特征值为 1-p或或 n-p时，时，当当我们计算我们计算 1及及x1时，首先应选取时，首先应选取p使使上页上页下页下页显然，当显然，当 2-p=-(n-p)时，即时，即 P=(2+n)/2P*时时为最小值，这时为最小值，这时收敛速度的比值收敛速度的比值为为 当希望计算当希望计算 n时，应选取时，应选取 p=(1+n-1)/2P*使得应用幂法计算使得应用幂法计算 n得到加速得到加速.当当A的特征值都是实数，满足的特征值都
12、是实数，满足且且 2,n能初步估计出来，我们就能确定能初步估计出来，我们就能确定P*的近似值的近似值.上页上页下页下页 例例2 用原点平移加速法求用原点平移加速法求例例1中矩阵中矩阵A的主特征值的主特征值与其对应的特征向量与其对应的特征向量.对对B应用幂法，仍应用幂法，仍取取 v0=(0,0,1)T ,则则 解解 取取p=-2.5,做平移变换做平移变换B=A-pI，则，则上页上页下页下页迭代迭代5步的计算结果见下表步的计算结果见下表k1 2,4,3.54 0.5,1,0.8752 7,14,10.5625 140.5,1,0.75453 6.76,13.5179,10.1406 13.5179
13、0.5,1,0.75074 6.7503,13.5007,10.1256 13.50070.5,1,0.75005 6.7500,13.5000,10.1250 13.50000.5,1,0.7500可得到可得到B的主特征值为的主特征值为 1 13.5000,主特征向量为主特征向量为 v1 (0.5,1.0,0.7500)T,因此，因此，A的主特征值为的主特征值为 1=1+p 11.0000,主特征向量仍为主特征向量仍为 x1=(0.5,1,0.7500)T.上页上页下页下页 原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法.这这种变换容易计算，又不破坏矩阵种变换容
14、易计算，又不破坏矩阵A的稀疏性，但的稀疏性，但p的的选择依赖对选择依赖对A的特征值分布的大致了解的特征值分布的大致了解.见书见书p306-例例5.上页上页下页下页 设设ARnn为为对称矩阵对称矩阵，称，称为向量为向量x的的瑞利商瑞利商，其中，其中(x,x)=xTx为内积为内积.由定理由定理11知道，实对称矩阵知道，实对称矩阵A的特征值的特征值 1及及 n可用可用瑞利商瑞利商的的极限值表示极限值表示.下面我们将下面我们将瑞利商瑞利商应用到用幂法计算应用到用幂法计算实对称矩阵实对称矩阵A的主特征值的加速上来的主特征值的加速上来.2、瑞利商、瑞利商(Rayleigh)加速加速上页上页下页下页 定理定
15、理14 设设ARnn为为对称矩阵对称矩阵，特征值满足，特征值满足对应的特征向量对应的特征向量xi满足满足(xi,xj)=ij (单位正交向量单位正交向量)，应用幂法公式，应用幂法公式(2.9)计算计算A的主特征值的主特征值 1，则规范，则规范化向量化向量uk的的瑞利商瑞利商给出给出 1的较好的近似值为的较好的近似值为 由此可见，由此可见，R(uk)比比k更快的收敛于更快的收敛于 1.上页上页下页下页 证明证明 由由(2.8)式及式及得得上页上页下页下页 幂法的幂法的瑞利商加速迭代公式瑞利商加速迭代公式可以写为可以写为其中其中A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵.对给定的误差限对给定的误差限，当，当
16、|kk-1|时，取近似时，取近似值值上页上页下页下页8.2.3 反幂法反幂法 反幂法是用于求非奇异矩阵反幂法是用于求非奇异矩阵A的的按模最小的特征值按模最小的特征值和对应特征向量和对应特征向量的方法的方法.而结合原点平移法的反幂法而结合原点平移法的反幂法则可以求矩阵则可以求矩阵A的任何一个的任何一个具有先了解的特征值和对应具有先了解的特征值和对应的特征向量的特征向量。设矩阵设矩阵A非奇异非奇异,其特征值其特征值 i (i=1,2,n),满足满足其相应的特征向量其相应的特征向量x1,x2,xn线性无关，则线性无关，则 A-1 的特的特征值为征值为1/i，对应的特征向量仍为，对应的特征向量仍为xi
17、(i=1,2,n).上页上页下页下页此时此时,A-1的特征值满足的特征值满足因此因此,对对A-1应用幂法应用幂法,可求出其可求出其主特征值主特征值1/n k 和和特征向量特征向量 xn uk.从而求得从而求得A的的按模最小按模最小特征值特征值 n 1/k 和对应的和对应的特征向量特征向量 xn uk，这种求这种求A-1的方法就称的方法就称为为反幂法反幂法.上页上页下页下页为了避免求为了避免求A-1,可通过解线性方程组可通过解线性方程组Avk=uk-1得到得到vk，采用采用LU分解法，即先对分解法，即先对A进行进行LU分解分解A=LU,此时此时反幂反幂法的迭代公式法的迭代公式为为 反幂法的迭代公
18、式反幂法的迭代公式为为上页上页下页下页对给定的误差对给定的误差，当，当|kk-1|n|0，则对任意非零初始向量则对任意非零初始向量u0(an 0)，由反幂法计算公，由反幂法计算公式构造的向量序列式构造的向量序列vk，uk满足满足 上页上页下页下页 在反幂法中也可以用在反幂法中也可以用原点平移法原点平移法加速迭代过程加速迭代过程，或或求其它特征值与其对应的特征向量求其它特征值与其对应的特征向量.如果矩阵如果矩阵(A-pI)-1存在，显然其特征值为存在，显然其特征值为对应的特征向量仍然是对应的特征向量仍然是x1,x2,xn，现对矩阵，现对矩阵(A-pI)-1应用幂法，得到反幂法的迭代公式应用幂法，
19、得到反幂法的迭代公式上页上页下页下页 如果如果p是是A的特征值的特征值 j的一个近似值，且设的一个近似值，且设 j与其它与其它特征值是分离的，即特征值是分离的，即就是说就是说1/(j-p)是矩阵是矩阵(A-pI)-1的主特征值，可用反幂的主特征值，可用反幂法法(2.12)计算特征值及特征向量计算特征值及特征向量.设设ARnn有有 n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 x1,x2,xn，则，则上页上页下页下页其中其中同理可得：同理可得：上页上页下页下页 定理定理16 设设ARnn有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，矩阵矩阵A的特征值及对应的特征向量分别记为的特征值及对应的特征
20、向量分别记为 i 及及xi(i=1,2,n)，而，而p为为 j的近似值，的近似值，(A-pI)-1存在，且存在，且 则对任意非零初始向量则对任意非零初始向量u0(aj 0)，由反幂法计算公，由反幂法计算公式式(2.12)构造的向量序列构造的向量序列vk，uk满足满足且收敛速度为且收敛速度为上页上页下页下页 由该定理知，对由该定理知，对A-pI(其中其中p j)应用反幂法，可应用反幂法，可用来计算特征向量用来计算特征向量xj，只要选择，只要选择p是是 j的一个较好的近的一个较好的近似且特征值分离情况较好，一般似且特征值分离情况较好，一般r很小，常常只要迭代很小，常常只要迭代一二次就可完成特征向量
21、的计算一二次就可完成特征向量的计算.反幂法迭代公式中的反幂法迭代公式中的vk是通过解方程组是通过解方程组求得的求得的,为了节省工作量为了节省工作量,可以先将可以先将A-pI进行三角分解进行三角分解于是求于是求vk相对于解两个三角形方程组相对于解两个三角形方程组上页上页下页下页实验表明实验表明,按下述方法选择按下述方法选择u0是较好的是较好的:选选u0使使用回代求解用回代求解(2.13)即得即得v1,然后再按公式然后再按公式(2.12)进行迭进行迭代代.反幂法计算公式见书反幂法计算公式见书p311.前面已提到前面已提到.见书见书p311-例例6.上页上页下页下页8.3 豪斯霍尔德方法豪斯霍尔德方
22、法 (1)用用初等反射矩阵作正交相似变换初等反射矩阵作正交相似变换约化一般约化一般实矩阵实矩阵A为为上海森伯格矩阵上海森伯格矩阵.8.3.1 引言引言 本节讨论本节讨论两个问题两个问题 (2)用用初等反射矩阵作正交相似变换初等反射矩阵作正交相似变换约化对称约化对称矩阵矩阵A为为对称三对角矩阵对称三对角矩阵.于是，于是，求原矩阵特征值问题求原矩阵特征值问题，就，就转化为转化为求上求上海森伯格矩阵海森伯格矩阵或或对称三对角矩阵的特征值对称三对角矩阵的特征值问题问题.上页上页下页下页8.3.2 用正交相似变换用正交相似变换 约化一般实矩阵为上海森伯格矩阵约化一般实矩阵为上海森伯格矩阵 设设ARnn，
23、下面来说明，可选择初等反射矩阵，下面来说明，可选择初等反射矩阵U1,U2,Un-2使使A经正交相似变换约化为一个上海森经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵伯格阵.(1)设设上页上页下页下页其中其中c1=(a21,an1)TRn-1,不妨设不妨设c10，否则这一步，否则这一步不需要约化不需要约化.于是于是,可选择初等反射阵可选择初等反射阵 使使 ，其中，其中令令上页上页下页下页则则其中其中上页上页下页下页(2)第第k步约化：重复上述过程，设对步约化：重复上述过程，设对A已完成第已完成第1步步,第第k-1步正交相似变换，即有步正交相似变换，即有或或且且上页上页下页下页其中其中 为为k阶上海森伯格阵
24、，阶上海森伯格阵，设设ck0,于是可选择初等反射阵于是可选择初等反射阵Rk使使 其其中，中，Rk计算公式为计算公式为上页上页下页下页令令则则上页上页下页下页其中其中 为为k+1阶上海森伯格阵，第阶上海森伯格阵，第k步约化只需计算步约化只需计算 及及 (当当A为对称矩阵时，只需要计算为对称矩阵时，只需要计算 ).(3)重复上述过程，则有重复上述过程，则有上页上页下页下页 定理定理17 (豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵)设设ARnn则存在初等反射矩阵则存在初等反射矩阵U1,U2,Un-2 使使为为上海森伯格矩阵上海森伯格矩阵.总结上述结论，有总结上述结论，有 算法
25、算法1 (豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵)设设ARnn，本算法计算，本算法计算U0TAU0=H(上海森伯格型上海森伯格型)，其中其中U0=U1U2Un-2为初等反射阵的乘积为初等反射阵的乘积.1.U0I上页上页下页下页2.对于对于k=1,2,n-2(1)计算初等反射阵计算初等反射阵Rk使使本算法约需要本算法约需要5n3/3次乘法运算，要明显形成次乘法运算，要明显形成U0还需要附加还需要附加2n3/3次乘法次乘法.(2)约化计算约化计算(3)U0U0Uk上页上页下页下页例例7 用用豪斯霍尔德方法豪斯霍尔德方法将矩阵将矩阵约化为约化为上海森伯格阵上海森伯格阵.解解
26、 选取初等反射阵选取初等反射阵R1使使 ,其中其中c1=(2,4)T.(1)计算计算R1:上页上页下页下页则有则有(2)约化计算约化计算:则得到则得到上海森伯格阵上海森伯格阵为为上页上页下页下页8.3.3 用正交相似变换用正交相似变换 约化对称矩阵为对称三对角矩阵约化对称矩阵为对称三对角矩阵 定理定理18 (豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵角矩阵)设设ARnn为对称矩阵，则存在初等反射矩为对称矩阵，则存在初等反射矩阵阵U1,U2,Un-2使使为为对称三对角矩阵对称三对角矩阵.上页上页下页下页 证明证明 由定理由定理17,存在初等反射矩阵存在初等反射矩阵U1
27、,U2,Un-2 使使 为上海森伯格阵，且为上海森伯格阵，且An-1亦是对称阵，因此，亦是对称阵，因此，An-1为对称三对角阵为对称三对角阵.由上面讨论可知，当由上面讨论可知，当A为对称阵时，由为对称阵时，由AkAk+1=Ak Uk Ak一步约化计算中只需计算一步约化计算中只需计算Rk及及Rk A22(k)Rk.又由于又由于A的对称性，故只需计算的对称性，故只需计算Rk A22(k)Rk的对角线的对角线以下元素以下元素.注意到注意到上页上页下页下页引进记号引进记号则有则有对对称阵对对称阵A用初等反射阵正交相似约化为对角三用初等反射阵正交相似约化为对角三对角阵大约需要对角阵大约需要2n3/3次乘
28、法次乘法.用正交矩阵进行相似约化有一些特点，如构造的，用正交矩阵进行相似约化有一些特点，如构造的，Uk容易求逆，且容易求逆，且Uk的元素数量级不大，这个算法是十的元素数量级不大，这个算法是十分稳定的分稳定的.算法算法2见书见书p318.上页上页下页下页8.4 QR 方方 法法8.4.1 QR算法算法Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出了计利用矩阵的三角分解提出了计算矩阵特征值的算矩阵特征值的LR算法，算法，Francis(1961,1962)利用矩利用矩阵的阵的QR分解建立了分解建立了计算矩阵特征值计算矩阵特征值的的QR算法算法.QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵方法是
29、一种变换方法，是计算一般矩阵(中小中小型矩阵型矩阵)全部特征值全部特征值问题的问题的最有效方法之一最有效方法之一.上页上页下页下页 (1)上海森伯格矩阵上海森伯格矩阵的的全部特征值全部特征值问题；问题；(2)计算计算对称三对角矩阵对称三对角矩阵的的全部特征值全部特征值问题，问题，目前目前QR方法方法主要主要用来计算：用来计算：且且QR方法具有收敛快，算法稳定等特点方法具有收敛快，算法稳定等特点.对于一般矩阵对于一般矩阵ARnn(或对称矩阵或对称矩阵)，则首先用，则首先用豪斯霍尔德方法将豪斯霍尔德方法将A化为上海森伯格阵化为上海森伯格阵B(或对称三对或对称三对角阵角阵)，然后再用，然后再用QR方
30、法计算方法计算B的全部特征值的全部特征值.设设ARnn，且，且A对进行对进行QR分解，即分解，即A=QR，上页上页下页下页其中其中R为上三角阵为上三角阵,Q为正交阵为正交阵,于是可得到一新矩阵于是可得到一新矩阵B=RQ=QTAQ.显然，显然，B是由是由A经过正交相似变换得到，因此经过正交相似变换得到，因此B与与A的的特征值相同特征值相同.再对再对B进行进行QR分解，又可得一新矩阵分解，又可得一新矩阵,重复这一过程可得到矩阵序列：重复这一过程可得到矩阵序列：设设A=A1 将将A1进行进行QR分解分解A1=Q1R1 作矩阵作矩阵A2=R1Q1=Q1TR1Q1 QR算法，就是利用矩阵的算法，就是利用
31、矩阵的QR分解，按上述递分解，按上述递推法则构造矩阵序列推法则构造矩阵序列Ak的过程的过程.只要只要A为非奇异矩为非奇异矩阵，则由阵，则由QR算法就完全确定算法就完全确定Ak.上页上页下页下页 定理定理19(基本基本QR方法方法)设设A=A1Rnn,构造构造QR算法算法:证明证明(1),(2)显然，现证显然，现证(3).用归纳法，显然，用归纳法，显然，当当k=1时有时有 ,设设Ak-1有分解式有分解式上页上页下页下页于是于是 由第由第5章定理章定理30或定理或定理31知，将知，将Ak进行进行QR分解分解,即将即将Ak用正交变换用正交变换(左变换左变换)化为上三角矩阵化为上三角矩阵这就是说这就是
32、说Ak+1可由可由Ak按下述方法求得：按下述方法求得：其中其中QkT=Pn-1P2P1，故，故 (1)左变换左变换Pn-1P2P1Ak=Rk(上三角阵上三角阵);(2)右变换右变换RkP1TP2TPn-1T=Ak+1.上页上页下页下页 定理定理20(QR方法的收敛性方法的收敛性)设设A=(aij)Rnn,(1)如果如果A的特征值满足的特征值满足:(2)A有标准型有标准型A=XDX-1,其中其中D=diag(1,2,n),且设且设X-1有三角分解有三角分解X-1=LU(L为单为单位下三角阵，位下三角阵，U为上三角阵为上三角阵)，则由，则由QR算法产生的算法产生的Ak本质上收敛于上三角矩阵，即本质
33、上收敛于上三角矩阵，即若记若记Ak=(aij(k)，则，则上页上页下页下页 (1)(2)当当ij时，时，当当ij时时aij(k)的极限不一定存在的极限不一定存在.证明可参阅证明可参阅1.定理定理21 如果对称矩阵如果对称矩阵A满足定理满足定理20的条件的条件,则由则由QR算法产生的算法产生的Ak收敛于对角阵收敛于对角阵D=diag(1,2,n).证明证明 由定理由定理20即知即知.上页上页下页下页 设设ARnn，且，且A有有完备的特征向量完备的特征向量集合，如果集合，如果A的的等模特征值等模特征值中中只有实重特征值只有实重特征值或或多重共轭复特征多重共轭复特征值值，则由，则由QR算法产生的算法
34、产生的Ak本质收敛于本质收敛于分块上三角分块上三角矩阵矩阵(对角块为一阶和二阶子块对角块为一阶和二阶子块)，且对角块中每一，且对角块中每一个个22子块给出子块给出A的一对共轭复特征值，每一个一阶的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出对角子块给出A的实特征值，即的实特征值，即 关于关于QR算法收敛性的进一步结果为：算法收敛性的进一步结果为：其中其中m+2l=n,Bi为为22子块子块,它给出它给出A一对共轭复特征值一对共轭复特征值.上页上页下页下页8.4.2 带原点位移的带原点位移的QR方法方法 p322-自学自学.8.4.3 用单步用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值方法计算上海森伯格阵特征值 p325-自学自学.