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1、第五节 曲面论的基本定理一些符号注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下标相同的标号求和。5、1 曲面的基本方程与克氏符号 给出了一个 类的曲面S：，可确定三个向量对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令 上式中第一式点乘 ，得到又 ，两边求导得后两式相加并减去第一式得 令 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，ij,k称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133。对（1）中的第二式两边点乘用过去的符号有P133。于是得到 的导
2、向量公式：称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程。5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为2、性质1）反对称性（关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地：性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算）3、定义另一方种黎曼曲率张量为由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质：4、性质1）反对称性：性质2）对称性：性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即 证明：由反对称性 这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到因此16个分量中只有R121
3、2为独立的，它其实就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式命题1）高斯公式 2）科达齐迈因纳尔迪公式 三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212，并且为内蕴量，利用高斯公式得到 所以 对高斯方程求导 上面两式相减，左边为0，而右边为 的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为 的线性组合，可写为 但 线性无关（不共面），故p,q,r均 为0，如 p=0，有即为高斯公式。同理对q=0有：两式合并得（l 改为p）利用 的系数为零得注意：这量共有222=8 个式子，但只有2个是独立的。即为 把克氏符号代入可得到具体表达式，P138。四、高斯曲率的具体表达式（用第一基本量表示）。对于正交网来说有 F=0，所以 设是给定的两个二次微分形式，其中是正定的，若和的系数gij和Lij对称且满足高斯-科达齐公式，则除了空间的位置差别外，存在唯一个曲面，以 和为此曲面的第一和第二基本形式。5.3 曲面论基本定理曲面论基本定理