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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第三十四讲第三十四讲第三十四讲第三十四讲 常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分
2、方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第三节第三节 几种可降阶的高阶常微分方程几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为分方程进行求解的方法，称为“降阶法降阶法”。“降阶法降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。是解高阶方程常用的方法之一。这是变量可分离的方程，两边积分，得这是变量可分离的方程，两边积分，得即即 只需连续进行只需连续进行
3、n 次积分即可求解这类方程，但请注意：次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。每次积分都应该出现一个积分常数。例解解 例解解这是一个一阶微分方程。设其通解为这是一个一阶微分方程。设其通解为连续积分即可求解。连续积分即可求解。例解解两边积分，得两边积分，得即即再积分，得原方程的通解再积分，得原方程的通解 例解解分离变量，得分离变量，得积分，得积分，得连续积分连续积分 4 次，得原方程的通解为次，得原方程的通解为于是，原方程化为于是，原方程化为这是一个一阶微分方程。设其通解为这是一个一阶微分方程。设其通解为这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。这是一个变量分离方
4、程，它的通解就是原方程的通解。例解解于是，原方程化为于是，原方程化为两边积分，得两边积分，得运用分离变量法，得此方程的通解为运用分离变量法，得此方程的通解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 例解解什么类型？什么类型？什么类型？什么类型？即即从而从而即即运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：形如形如的方程称为克莱罗方程，其中函数的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。为可微函数。可以直接写出该方程的通解：可以直接写出该方程的通解：并且由下列方程组可求得该方程的奇解：并且由下列方程组可求得该方程的奇解：证证将克莱罗方程两边关于将克莱罗方程两边关于 x 求导，得求导，得(通解通解)例解解原方程即原方程即由题意由题意这是一个克莱罗方程，故其通解为这是一个克莱罗方程，故其通解为故原方程有奇解故原方程有奇解综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为且方程还有奇解且方程还有奇解