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1、参数估计方法及其应用为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益数理统计的基本概念 总体总体个体个体样本样本常常用用统统计计量量的的分分布布分位点分位点统计量统计量常用统计量常用统计量t分布分布 F分布分布分分布布为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一、总体与个体 一个统计问题总有它明确的研究对象一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体研究对象的全体称为总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡
2、的质量研究某批灯泡的质量考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益然而在统计研究中，人们往往关心每个个体然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指标在总数量指标和该数量指标在总体中的分布情况体中的分布情况.这时，每个个体具有的数这时，每个个体具有的数量指标的全体就是量指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所
3、有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益总体就是一个概率分布.由于每个个体的出现带有随机性，即相由于每个个体的出现带有随机性，即相 应的数量指标值的出现带有随机性。从而可应的数量指标值的出现带有随机性。从而可 把此种数量指标看作随机变量，我们用一个把此种数量指标看作随机变量，我们用一个 随机变量或其分布来描述总体。为此常用随随机变量或其分布来描述总体。为此常用随 机变量的符号或分布的符号来表示总体。机变量的符号或分布的符号来表示总体。如如:研究某批灯泡的寿命时，我们
4、关心的数量指研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、随机样本的定义1.样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量样本容量.(X1,X2,Xn)为了规范事业单位聘用关系
5、，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.简单随机样本抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性这就要求样本能很好的反映总体的特性,且且便于处理便于处理.为此为此,需对抽样提出一些要求需对抽样提出一些要求,通常有通常有两条两条:满足上述两条性质的样本称为简单随机样本简单随机样本.1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体中每一个与所考察的总体2.X有相同的分布有相同的分布.2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机
6、变量.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定义定义1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.简单随机样本的分布为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例1解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例2解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用
7、制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益三、统计量1.统计量的定义统计量的定义 使用样本推断总体特征使用样本推断总体特征,需要对样本值进行需要对样本值进行“加加工工”,“提炼提炼”.这就需要构造一些样本的函数这就需要构造一些样本的函数,它它把样把样本中所含的信息集中起来本中所含的信息集中起来.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例1是是不是不是为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事
8、业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.几个常用统计量(样本矩)的定义(1)样本平均值样本平均值(2)样本方差样本方差其观察值其观察值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益其观察值(3)样本标准差样本标准差其观察值其观察值(4)修正修正样本方差样本方差为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益其观察值(5)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩其
9、观察值其观察值(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩其观察值其观察值为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益样本矩具有下列性质:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.经验分布函数为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益四、常见分布常用统计量的分布常用统计量的分布(一一)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单
10、位和职工的合法权益常用统计量的分布(二)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益常用统计量的分布(三)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益常用统计量的分布的分位点1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益常用统计量的分布的分位点2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益关于正态总体的样本和方
11、差的定理定理一定理一定理二定理二为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益关于正态总体的样本和方差的定理定理三定理三为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益关于正态总体的样本和方差的定理定理四定理四为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益参数估计方法方法矩估
12、计量矩估计量估估计计量量的的评评选选最大似然最大似然估计量估计量似似然然函函数数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间求置信区间的步骤的步骤相合性相合性为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一、参数的点估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计废品率估计新生儿的平均体重估计新生儿的平均体重估计
13、湖中鱼数估计湖中鱼数 估计平均降雨量估计平均降雨量为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益参数估计问题的一般提法设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数为为 F(x，)，其中，其中为未知参数。为未知参数。在参数估计问题中，假定总体分布形在参数估计问题中，假定总体分布形式已，未知的仅仅是一个或几个参数式已，未知的仅仅是一个或几个参数.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益现从该总体中抽取样本现从该总体中抽取样本X1,X2
14、,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数这类问题称为参数估计这类问题称为参数估计.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1、点估计问题的提法 设总体设总体X 的分布函数形式已知的分布函数形式已知,但它的一个或但它的一个或多个参数为未知多个参数为未知,借助于总体借助于总体X的一个样本来估计的一个样本来估计总体未知参数的问题称为总体未知参数的问题称为点估计问题点估计问题.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保
15、障用人单位和职工的合法权益例1解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故故对不同的样本值对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,求估求估计量的问题是关键问题计量的问题是关键问题.估计量的求法估计量的求法:(两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益矩估计法 其基本思想是用样本矩估计
16、总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩.它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方思想建立起来的一种估计方法法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益记总体记总体k阶矩为阶矩为样本样本k阶矩为阶矩为 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法这种估计法称为矩估计法.为了规范事业单位聘用关
17、系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益矩估计法的具体步骤:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益设总体设总体X服从泊松分布服从泊松分布求参数求参数的估计量的估计量.解：解：设设是总体是总体 X 的一个的一个样本样本,由于由于,可得可得例 2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例 3解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位
18、和职工的合法权益例3续解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例4解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.一般地一般地:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益矩法的优点是简单易行,缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分
19、利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息.一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益最大（极大）似然估计法最最大大似似然然法法是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的一种参数估计方法的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯在高斯在1821年提出的年提出的.GaussFisher 英国统计学家费歇在英国统计学家费歇在1922年年重新发现了这一方法，并首先重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质研究了这种方法的一些
20、性质.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1.似然函数（或分（或分设总设总体体X的分布律的分布律为为，其中，其中是未知参数，是未知参数，是是总总体体X的一个的一个样样为为 布密度为布密度为 ）本，则样本本，则样本，当，当给给定定样样本本值值后，它只是参数后，它只是参数的函数，的函数，记为记为即即的分布律的分布律为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.最大似然估计法定义设总体设总体 的分布密度（或分布律）为的分布密度（或分布律）为 ，其中
21、，其中 为未知参为未知参数。又设数。又设 是总体是总体 的一个样的一个样本值，如果似然函数本值，如果似然函数为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 替替换换成成样样本本分分别为别为似然估似然估计值计值。需要注意的是，最大似然估需要注意的是，最大似然估计值计值依依赖赖于于样样本本值值，即，即 若将上式中若将上式中样样本本值值则则所得的所得的 的最大的最大为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益称称为为参数参数的最大似然估的最大似然估计计量。量。
22、由于由于而而与与在同一在同一 处达到处达到最大最大值值，为为最大似然估最大似然估计计的必要条件的必要条件为为 称它称它为为似然方程，其中似然方程，其中因此，因此，为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例6解解似然函数似然函数为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.例6续为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二
23、、估计量的评价标准 从前一节可以看到从前一节可以看到,对于同一个参数对于同一个参数,用用不同的估计方法求出的估计量可能不相同不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那么那一个估计量好？好坏的标准是什么那一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.无偏性、有效性无偏性、有效性 、相合性相合性为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无偏估计无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义:无系统误差无系统误差.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用
24、人单位和职工的合法权益例7证证为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例8证证为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例8续(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益最小方差无偏估计最小方差无偏估计 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方
25、差小者为好.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益设总体设总体X的期望的期望E(X)与方差与方差D(X)均存在，均存在，例9是是X的一个样本，试证明下列统的一个样本，试证明下列统计量都是计量都是E(X)的无偏估计，并说明哪个有效。的无偏估计，并说明哪个有效。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例9解1可见上统计量都是可见上统计量都是E(X)的无偏估计的无偏估计为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘
26、用制度，保障用人单位和职工的合法权益例9解2由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益三、参数的区间估计前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计.它是它是用样本算得的一个值去估计未知参数用样本算得的一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大使用起来把握不大.区间估计正好弥补区间估计正好
27、弥补了点估计的这个缺陷了点估计的这个缺陷.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1.置信区间的定义为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益关于定义的说明为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益区间估计的两个要求2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.1.要求要
28、求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.求置信区间的一般步骤(共3步)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一般有为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场
29、经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益四、正态总体均值与方差的区间估计（1）单个正态总体）单个正态总体的情况的情况为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1.1.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益期望的置信区间这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例10 包糖机
30、某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖,称得重量称得重量(单单位位:克克)分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布,解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例10解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例10解2查表得查表得为了规
31、范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（2）注意注意为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例11解解(续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益II.推导过程如下推导过程如下:由第
32、六章定理二知由第六章定理二知为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益进一步可得:注意注意:在密度函数不对称时在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例12 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得称得重量重量(克克)如下如下:设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体试求总体标准标准差的置信度为差的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间.解解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间标准差的置信区间