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1、勾股定理求最短路径北漳淮学校北漳淮学校陈翠娥考考你的记性：1、勾股定理的文字及符号语言2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高长、宽和高分分别等于别等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是这个台阶的两个相对是这个台阶的两个相对的端点，的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路
2、是多少？点，最短线路是多少？BAABC5cm3cm1cm512一、创设情境，提出问题BA蚂蚁怎么蚂蚁怎么走最近走最近?例例1 如图如图 在一个底面周长为在一个底面周长为20cm,高高AA为为4cm的圆柱石凳的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一上，若小明在吃东西时留下了一点食物在点食物在B处，恰好一只在处，恰好一只在A处处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从想从A 处爬向处爬向B处，你们想一想，处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？蚂蚁怎么走最近？A问题一圆柱中的最值问题问题一圆柱中的最值问题 蚂蚁蚂蚁ABAB的路线的路线BAAAd dABAAABBAO OBAArO4 4怎
3、样计算怎样计算AB？在在RtAARtAAB B中，利用勾股定理可得，中，利用勾股定理可得，侧面展开图侧面展开图其中其中AAAA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB,AB是底面圆周长的一半是底面圆周长的一半(rr)（变式1）有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6 1=5，BC=24 =12，在RtABC由勾股定理得 AB2=AC2+
4、BC2=169,AB=13(m).21BAC（变式（变式2）如图，以）如图，以A点点环绕环绕油罐建油罐建梯子，使它正好落到梯子，使它正好落到A点的正上方点的正上方B点处，问梯子最短要多少米？点处，问梯子最短要多少米？(已知已知油罐底面周长为油罐底面周长为12m，AB为为5m)AB 如图，在棱长为如图，在棱长为1010厘米的正方体厘米的正方体的一个顶点的一个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向处有一只蚂蚁，现要向顶点顶点B B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是是1 1厘米厘米/秒，且速度保持不变，问蚂秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在蚁能否在2020秒内从秒内从A A爬到爬到B B？
5、B食物A问题二问题二 正方体中的最值问题正方体中的最值问题 如图，在棱长为如图，在棱长为1010厘米的正方体厘米的正方体的一个顶点的一个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向处有一只蚂蚁，现要向顶点顶点B B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是是1 1厘米厘米/秒，且速度保持不变，问秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在蚂蚁能否在2020秒内从秒内从A A爬到爬到B B？BAB两条两条线路线路,看明白看明白了吗了吗?543AB 在在长为长为5 5、宽为、宽为3 3、高为高为4 4的长方体的右下的长方体的右下角角A A处有一只蚂蚁，欲处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬从长方体的外表面爬行去吃
6、右上角行去吃右上角B B处的食处的食物，问怎样爬行路径物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多最短，最短路径是多少？少？问题三问题三 长方体中的最值问题长方体中的最值问题合作探究，规划思路 B BA A前面前面右面右面上面上面后面后面左面左面下面下面标注六个表面标注六个表面思维分析思维分析1 1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同点呢？什么相同和不同点呢？和和A A相连的面是左面、前面和下面；相连的面是左面、前面和下面；和和B B相连的面是上面、右面和后面相连的面是上面、右面和后面.共有六种不同的选择路径共有六种不同的选择路径这六种不同选择的路径大
7、小相同吗？这六种不同选择的路径大小相同吗？思维方法和过程思维方法和过程A A点点前面前面左面左面下面下面上面上面右面右面后面后面B B点点从从A A到到B B走走最短路径要走几个面？最短路径要走几个面？前面和右面；前面和右面；前面和上面；前面和上面；左面和上面；左面和上面；后面和左面后面和左面；后面和下面后面和下面；右面和下面右面和下面.5 5A AB BB B情况一情况一展开前面和右面，连接展开前面和右面，连接ABAB，此时路径最短，此时路径最短.3 345 54 43 3A AB BB B情况二情况二 展展开前面和上面，连开前面和上面，连接接ABAB，此时路径最短，此时路径最短.5 53
8、35 54 43 3A AB BB BA A情况三情况三展展开左面和上面，连接开左面和上面，连接ABAB，此时路径最短，此时路径最短.3 35 54 4比较和总结比较和总结比较三种情况的最短路径比较三种情况的最短路径且另三种情况与上述三种情况结果分别相同且另三种情况与上述三种情况结果分别相同因此爬行的最短路径为因此爬行的最短路径为实际问题实际问题直角三角直角三角形的问题形的问题数学问题数学问题利用勾利用勾股定理股定理已知两边求第三边已知两边求第三边抽象抽象归类归类解决解决已知一边设未已知一边设未知数列方程知数列方程如如图图，长长方方体体的的长长为为15cm，宽宽为为10cm，高高为为20cm，点点B离离点点C5cm,一一只只蚂蚂蚁蚁如如果果要要沿沿着着长长方方体体的的表表面面从从点点A爬爬到到点点B，需需要要爬爬行行的的最最短短距距离离是是多多少少？1020BAC155课后作业