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1、第二讲第二讲数学是什么数学是什么一、数学的一、数学的“定义定义”二、数学的特点二、数学的特点三、数学与教育三、数学与教育1一、数学的一、数学的“定义定义”恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学间形式的一门科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量数量关系关系”和和“空间形式空间形式”具备了更丰富的内涵和更广具备了更丰富的内涵和更广泛的外延泛的外延。（工科类本科数学基础课程教学基本要求工科类本科数学基础课程教学基本要求）进入信息时代，数学迅猛发展。进入信息时代，数学迅猛发展。“混沌混沌 Chaos
2、Chaos”、”分形几何分形几何 Fractal Fractal GeometryGeometry”、“数理逻辑数理逻辑 （mathematicallogic）等新的数学分支，似等新的数学分支，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义定义”。但是，但是，要给数学下个定义，并不那么容易。要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于至今难以有关于“数学数学”的、大家取得共识的的、大家取得共识的“定义定义”。21古今数学家的说法古今数学家的说法（1）（美）（美）R柯朗柯朗（什么是数学什么是数学）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反数学，作为人
3、类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。觉，分析和推理，共性和个性。”34（2）（法）（法）E波莱尔波莱尔:“数学是我们确切知道我们在数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”（3）（英）罗素：）（英）罗素：“数学是所有形如数学是所有形如p蕴含蕴含q的命题的命题的类的类”，而最前面的命题而最前面的命题p是否对，却无法判断。是否对，却无法判断。因此因此“数学是我们永远
4、不知道我们在说什么，也不数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。知道我们说的是否对的一门学科。”针锋相对！针锋相对！5罗素英(Russell,Bertrand,18721970)E波莱尔波莱尔法法(Borewer,18721970)6数学是一种语言，是一切科学的语言数学是一种语言，是一切科学的语言数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙数学是一种工具，一种思维的工具数学是一种工具，一种思维的工具数学是一门艺术，一门创造性艺术数学是一门艺术，一门创造性艺术2.王元明（东南大学）：王元明（东南大学）：数学是什么数学是什么7l1）万物皆
5、数）万物皆数l2）符号说符号说l3）哲学说哲学说l4）科学说科学说l5）逻辑说逻辑说l6）集合说集合说l7）结构说（关系说）结构说（关系说）l8）模型说模型说l9）工具说工具说l10）直觉说直觉说l11）精神说精神说l12）审美说审美说l13）活动说）活动说l14）艺术说艺术说3.数学的数学的14个个“定义定义”814个个“定义定义”来自方来自方延明的延明的数学文化数学文化l方延明（南京大学）方延明（南京大学）9l是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。与整数比。l“万物皆数万物皆数”可追溯到毕达哥拉斯（公元前约可追溯到毕达
6、哥拉斯（公元前约580500）。）。l他精通数学，热心探讨数与现实世界的关系。他发现发出他精通数学，热心探讨数与现实世界的关系。他发现发出谐音的琴弦长度之比是整数比。他认为球和圆是最完美的谐音的琴弦长度之比是整数比。他认为球和圆是最完美的几何形体，所以大地应该是球形的，行星应该作圆周运动。几何形体，所以大地应该是球形的，行星应该作圆周运动。毕达哥拉斯学派主张：数是万物之本源，有了数才有点，毕达哥拉斯学派主张：数是万物之本源，有了数才有点，有了点才有线、面、体，有了这些几何形体才有宇宙万物。有了点才有线、面、体，有了这些几何形体才有宇宙万物。总之，万物皆数！总之，万物皆数！万物皆数说：万物皆数说
7、：10万物皆数代有传人l古希腊的另一位先哲柏拉图（公元前427347）认为：造物主是数学家，根据几何原理建造宇宙。当时已知五种正多面体，柏拉图将构成万物的四元素火、土、气、水分别对应于四面体、六面体、八面体、二十面体，宇宙则对应于最接近球形的十二面体。l天文学家开普勒（15711630）说：“几何学在上帝创造万物前就已存在，为上帝创世提供了模型。”开普勒提出：金木水火土加上地球这六大行星，其圆形轨道位于六个以太阳为中心的同心球面上，以上述五种正多面体之表面作为六个球面之间的支撑，构成太阳系的几何模型。他根据第谷（15461601）对行星运动的观测数据，试图证实这个上帝创造的完美模型未果。十六年
8、后，开普勒终于发现行星运动三定律，证明行星轨道不是圆而是椭圆。11几何化即数学化l爱因斯坦创立广义相对论，揭示引力本质是空间（及时间）的弯曲，是为引力几何化；他继而致力于统一场论，试图将电磁作用几何化。寻求“万物之理”者继承了几何化的基本思想，弦论、圈论、旋子论、扭子论、先子论等诸论者，均试图以不同形式将四种作用力连同宇宙万物几何化。几何论形，数形一体，几何化即数学化，万物皆数触及宇宙万物之本原。万物皆数触及宇宙万物之本原。12“数之现实”l最近，麻省理工学院物理学教授泰格马克（MaxTegmark）著文题为“数之现实”（见2007年9月15日新科学家），提出“数之宇宙假说”：物理现实是数学结
9、构，不是数学描述宇宙，而是宇宙即数学。他将物理学理论分为两部分，一是数学方程，二是人根据自己的理解将方程与现实相联系。泰格马克认为后者是无用的累赘，他说：宇宙中一切都是数学方程，包括你在内！将想象力发挥到极致，也不明白血肉之躯怎么会变成数学方程。万物皆数者辩解道：“万物之理找到后，宇宙万物统统都几何化了，你就会明白：血肉之躯无非是按数学方程构成的几何形体之组合。”言之过早，容后再议。13801=79，汞就变为金l“数代表量，除量以外还有质，万物皆数岂不是否定了质。”l切中要害！l万物皆数论者并不服气，辩解说：“关键在于质是什么。炼金术家试图将汞化为金，他们失败了，因为两者之质不同。查元素周期表
10、可知：金的原子核具有79个质子，汞的具有80个质子。用加速器在汞原子核中击出一个质子来，801=79，汞就变为金，这是科学的现代炼金术。汞和金质的差别，其实只是80和79数的差别。可见万物皆数已包含了质。”14爱情无非是两串互相契合的0与1数码而已l驳者忽发奇想冒出一句：“爱情也可以数量化吗？”辩者笑道：“当然可以！爱情是大脑中的信息过程，两情相悦即双方的信息过程合拍。大脑包含约一千亿个神经元，每个神经元有一千到一万个突触与其他神经元相连接，构成无比复杂的神经网络，大脑中的信息过程体现为由0和1组成的二元数码在网络中环流。爱情无非是两串互相契合的0与1数码而已。15辩论并未结束l万物究竟是否皆
11、数？涉及科学哲学和社会人文的方方面面，许多问题值得深究。16符号说：符号说：是说数学是一种高级语言，是说数学是一种高级语言，是符号的世界。是符号的世界。l符号说（希尔伯格）：“算术符号是文化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。”l人总想给客观事物赋于某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、文化、艺术、l符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号正是这样产生的。l文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。17符号,增加了人们的思维能力l符号
12、对于数学的发展更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象的约束，集中精力于主要环节，从而增加了人们的思维能力。没有符号，数学的发展是不可想象的。l数学是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。l古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上也都与数学符号的运用有关。简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是十分重要的。18古埃及的数学符号l古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，可是记数他们却是用下面的符号
13、(这里面多是写真，显然包含着美但不方便)进行的：19埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850前前1650年之间，相当于中国的夏代。年之间，相当于中国的夏代。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从从5到到101)型的分数分解成单
14、位分型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的之后再平方。计算的结果相当于用结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积科纸草书，推测
15、他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。2021数学符号对数学发展起重要作用！l现代的数学符号，由于它含义确定，表达简明，使用方便，从而极大地推动了数学的发展。在数学里，有人把十七世纪叫做天才的时期，把十八世纪叫做发明的时期，在这两个世纪里，为什么数学有较大的发展并取得较大成就呢？究其原因，恐怕与创造了大量的数学符号密切相关。甚至有的专家指出，中国古代数学领先，近代数学落后了，原因之一就是中国没有使用先进的数学符号，从而阻碍了数学的发展。这话虽然有偏颇的一面，但的确道出了数学符号对数学发展
16、所能起的重要作用！22我国在辛亥革命之后系统采用现代数学符号我国在辛亥革命之后系统采用现代数学符号l中国的古代数学也有自己的一套符号，在历史上曾起过积极的作用。但与西方相比，自显繁复，不便于应用。例如，在普通新代数教科书中，仍把未知数x,y,z写成天，地，人，把已知数a,b,c写成甲，乙，丙，把数字1,2,3写成一，二，三。在这样的符号系统下，本来很普通的代数式写成了十分繁琐生涩的形式。这样的符号当然属于淘汰之列。我国系统地采用现代数学符号，是在辛亥革命之后。1919年“五四”运动以后才完全普及。23数学数学是一种科学的共同语言是一种科学的共同语言l语言是表达思想、相互交流、认识与描述外语言是
17、表达思想、相互交流、认识与描述外部世界的的工具。部世界的的工具。l数学语言则是人们用数学表达和交流的科学数学语言则是人们用数学表达和交流的科学的语言，具有鲜明的特点与巨大作用。的语言，具有鲜明的特点与巨大作用。24l例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但如果采用数长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但如果采用数学语言，只要写出一个学语言，只要写出一个4行行6列的矩阵，每行表示一种产
18、品，列的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。为单位）。l所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。（1）数学语言是科学语言数学语言是科学语言25伽利略（Galeleo）：享有“近代自然科学之父”尊称的大物理学家l“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清”26费因曼RichardFeynman物理Nobel奖获得者（1965）若是没有数学语言,宇宙似乎是不可描述
19、的27牛顿（Newton）定律：l他想用一理论框架-牛顿定律来表示在重力作用下物体的运动，这包括Kepler天上的行星运动法则和伽利略的地面的运动法则l这种渴望使他建立了万有引力定律和微积分学,这是科学史上伟大成就。没有数学语言微积分学是无法完成的。28爱因斯坦（Einstein）的传说。l据说Einstein研究广义相对论时曾花了数年时间试图形成引力实际上只是空间的曲率引力实际上只是空间的曲率这种可能性，但他不知道如何表述。一天，他求助于他的密友格洛斯曼（Grossman）时说：“你必须帮助我，否则我会发疯的。”Grossman就将黎曼（Riemann）关于弯曲空间的工作（后称为Rieman
20、n几何）告诉他，这才使广义相对论的研究得以继续。其实，Riemann几何在Einstein需要它之前60年已经产生了。l意大利的数学家Levi-Civita在Riemann几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他的回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。29优先发明权之争。lEinstein构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多大数学家做过几次报告，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程。以至于后来出现了优先发明权之争。l
21、狭义相对论，大数学家Poincare和Einstein也存争议。将时空连在一起并用坐标不变性来理解似乎是Poincare所创。Poincare还为Einstein写了很好的推荐信。没有Poincare这样有洞察力的人帮助，很难想象Einstein能在很年轻的时候作出狭义相对论。30陈省身杨振宁佳话l“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古存心事，欧高黎嘉陈。”l陈省身和杨振宁，一位是20世纪的数学大师，一位是物理学巨匠，分别耕耘了几十年后，竟然发现彼此的工作之间有深刻的联系：陈省身（1946）建立的整体微分几何学，恰为杨振宁（1954）所创立的规范场论提供
22、了合适而精致的数学框架。31规范场理论与纤维丛理论l“我跟纤维丛本来没有关系，可是在1954年，我跟米尔斯（MILLS）合作发表了文章同位旋守恒和同位旋规范不变性后，并没有跟陈先生讨论过，因为隔行如隔山，彼此并不看见彼此的文章。可是到了60、70年代，我才突然了解到，原来数学家讨论过规范理论。有一个数学家告诉我有关纤维丛的研究，而这个纤维丛跟规范场有密切的关系。等到我对纤维丛比较了解以后，我才知道，原来规范场的物理是建筑在一个数学的结构-纤维丛上的，这正是陈先生做主导发展出来的数学上极为重要的一个观念。”32诺贝尔经济学奖：诺贝尔经济学奖：用数学的语言阐释经济理论用数学的语言阐释经济理论诺贝尔
23、经济学奖已经颁发了35届,53位经济学家获此殊荣.其中,有52.8%的经济学家都有数学或者理工学位,84.7%的获奖者具有较强的数学运用能力,90%以上的获奖经济学家都是运用数学方法阐释经济理论.33温伯特格（Weinberg）：另一Nobel物理学奖获得者（1979）l“这是不可思议的，当一个物理学家得到一个思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。”34（2）.数学语言的特点数学语言的特点A准确、严谨准确、严谨数学语言是准确的，是从不含糊的，数学语言是准确的，是从不含糊的，l“大于大于”与与“大于等于大于等于”的涵义，是明确不同的；的涵义，是明确不同的；l“都属于集合都属于集合A”与与“
24、有的属于集合有的属于集合A”也是明确不同的；也是明确不同的；l“存在左极限存在左极限”与与“存在极限存在极限”也是明确不同的。也是明确不同的。l“象限与卦限象限与卦限”、“条件收敛与绝对收敛条件收敛与绝对收敛”都是不能混都是不能混淆的淆的35数学语言是严谨的，是指数学语言数学语言是严谨的，是指数学语言又是有条理的、逻辑推理必须严格又是有条理的、逻辑推理必须严格和谨慎。它是数学的特点之一，也和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。是数学语言的特点之一。36例如，素数分解定理，或称算术基本定理叙述为：例如，素数分解定理，或称算术基本定理叙述为：任一个大于任一个大于1的自然数，都可以被表
25、示为有限个素的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。表法是唯一的。l这里，这里，“大于大于1”的条件不可少，少了就欠严谨；的条件不可少，少了就欠严谨；l“有限个有限个”三字不可少，少了就欠严谨；三字不可少，少了就欠严谨；l“（可以重复）（可以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨；的注解也不可少，少了就欠严谨；l“如果不计次序如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。的假设也不可少，少了就欠严谨。首先是定理的叙述是严谨的首先是定理的叙述是严谨的37在微积分发展初期在微积分发展初期,牛顿曾用牛顿曾用“0
26、”代表代表无穷小量无穷小量,这无穷小量是什么这无穷小量是什么,是是“固固定量零定量零”,还是还是“趋于零的量的瞬间趋于零的量的瞬间”,牛顿也说不清楚牛顿也说不清楚,引起整个社会的混引起整个社会的混乱与恐慌，导致了数学史上的第二次危乱与恐慌，导致了数学史上的第二次危机。机。“”语言的产生是历史的选择，在语言的产生是历史的选择，在数学发展史上发挥了很大的作用数学发展史上发挥了很大的作用。38其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。l讲话或推理要有条理，先讲什么，再讲什讲话或推理要有条理，先讲什么，再讲什么，然后讲什么，要有次序。语言上的有么，然后讲什么，要有次序。语言上的有序性与思维上
27、的有序性是一致的。推理的序性与思维上的有序性是一致的。推理的步骤，应该表达清楚；每一步的理由是什步骤，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分，容不得半点含糊与么，也应该表达充分，容不得半点含糊与想当然。即使你结论正确，但只要推理不想当然。即使你结论正确，但只要推理不严谨，照样不能承认你的解答时正确的。严谨，照样不能承认你的解答时正确的。39Fermat大定理（大定理（1670-1995）lFermat大定理，也称Fermat最后定理：当整数n3时，关于x,y,z的不定方程x+y=z的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,m,m)或(m,0,m);当n是奇数时：(0,m,m)或(m,
28、0,m)或(m,-m,0).40Fermat大定理的证明经历了大定理的证明经历了300多年才完成多年才完成l1847，法国数学家，法国数学家Cauchy向巴黎科学院递交自向巴黎科学院递交自己的证明，但发现其中有一步用到了一个似乎显己的证明，但发现其中有一步用到了一个似乎显然，但未经证明的结论，结果证明被否决。然，但未经证明的结论，结果证明被否决。l1901年和年和1907年，德国数学家林德曼（年，德国数学家林德曼（F.Lindemann）两次分别发表了）两次分别发表了17页和页和63页的论文，页的论文，结果均被推翻。结果均被推翻。l德国大数学家勒贝格德国大数学家勒贝格(H.L.Lebesgue
29、)与与1938年向年向法国科学院递交的论文法国科学院递交的论文也被枪毙。也被枪毙。41数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句：被秋风催促的枫，红的壮丽，红的引人注目，红得那么义无反顾地去飘落、去回转、去轮回、去盛放。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。l在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。l如果可以用三句话把意思表达清楚，就不要用四句话。l如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少的那种方式。B简洁简洁42l定义定义“平面内到两个定
30、点的距离之和等于平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆常数的点的轨迹叫做椭圆”，极其简要地，极其简要地阐明了椭圆的本质属性，言简意赅，惜字阐明了椭圆的本质属性，言简意赅，惜字如金，没有任何多余成份。如金，没有任何多余成份。l数学语言的简练还表现在它的符号化、公数学语言的简练还表现在它的符号化、公式化和形式化。式化和形式化。l选用小写字母选用小写字母a,b,c表示三角形的边表示三角形的边,对对应的大写字母应的大写字母A、B、C表示相应的角表示相应的角,使使三角形诸公式整齐、简单。三角形诸公式整齐、简单。l微积分符号从开始引入时的繁杂、混乱到微积分符号从开始引入时的繁杂、混乱到Lei
31、bniz的最后简化的最后简化，历经历经100多年。多年。43M.Kline，西方文化中的数学西方文化中的数学中的一中的一个例子，说明数学语言的言简意赅。个例子，说明数学语言的言简意赅。l当一个12世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对她说她是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋我指另外一个人的脑袋于是那就证明了他的前面那个小伙子姑娘是个漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋不是他自己的，你知道，而是另外那个人的对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子
32、那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他l瞧：如果A打破了B的脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果B打破了A的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。44C规范规范l自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出学语言则更加鲜明地表现出“规范规范”的特点。的特点。l一句话说出来，不能有任何歧义。一句话说出来，不能有任何歧义。l一个词作为一个概念被定义以后，这个定义一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何改就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何
33、改变。变。45一些数学语言中常用的词语，都有其特定一些数学语言中常用的词语，都有其特定的涵义，长期以来形成了规范。的涵义，长期以来形成了规范。l例如例如“任一个任一个”，“有一个有一个”，“没有没有”表达的是三种不同的意思；表达的是三种不同的意思；l“最多最多”、“至少至少”、“全都全都”表达的也是三种不同的意思；表达的也是三种不同的意思；l“必定必定”，“可能可能”、“不可能不可能”表达的也是三种不同的意思；表达的也是三种不同的意思；l“开区间开区间”、“闭区间闭区间”、“左开右闭的区间左开右闭的区间”表达的也是三种不同表达的也是三种不同的意思。的意思。l再例如，再例如，“包含包含”是用来说
34、明两个集合之间的关系，是用来说明两个集合之间的关系，“属于属于”是用来是用来说明元素与集合之间的关系，说明元素与集合之间的关系，“包含包含”与与“属于属于”不能混用。不能混用。46l长期以来，不少人对长期以来，不少人对f与与f(x)一直一直混淆不清混淆不清,其实其实f表示对应法则表示对应法则,即即函数，而函数，而f(x)是按对应法则在是按对应法则在x处处的函数值。的函数值。47D.数学语言的通用性数学语言的通用性:l数学语言与一般语言相比，它具有无民族性、无数学语言与一般语言相比，它具有无民族性、无区域性，它世界上唯一的通用语言区域性，它世界上唯一的通用语言l目前世界上的语言就多达目前世界上的
35、语言就多达25003000种，其中仅种，其中仅美洲语言即有美洲语言即有1000多种，非洲语言也近多种，非洲语言也近1000种。种。100万以上人口使用的文字则只有万以上人口使用的文字则只有140种。其中，种。其中，以汉语为母语的人最多，约占世界人口的以汉语为母语的人最多，约占世界人口的20%；其次是英语，约占其次是英语，约占6%；再次是俄语、西班牙语、；再次是俄语、西班牙语、法语，使用这五种语言的人占世界人口的法语，使用这五种语言的人占世界人口的40%以以上。上。48但数学语言没有地区性、民族性。但数学语言没有地区性、民族性。l全世界的数学语言只有一种。这种语言符全世界的数学语言只有一种。这种
36、语言符号，全世界的学生都认识，同一种书写、号，全世界的学生都认识，同一种书写、同一个含义，只是读音一般有所不同而已。同一个含义，只是读音一般有所不同而已。49寻找寻找“外星人外星人”l上个世纪上个世纪70年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目的是年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的与可能存在的“外星人外星人”取得联系。宇宙飞船带去了地球取得联系。宇宙飞船带去了地球上山川、河流、海洋的照片，各种动物、植物、微生物的上山川、河流、海洋的照片，各种动物、植物、微生物的照片，以及各种人的照片；还带去了许多声音，如狂风暴照片，以及各种人的照片；还带去了许多声音，如狂风暴雨的声音、以及不同民
37、族的人类叫雨的声音、以及不同民族的人类叫“妈妈妈妈”的声音；同时的声音；同时还带去了刻有下面图形的黄金制作（以防锈蚀损毁）的图还带去了刻有下面图形的黄金制作（以防锈蚀损毁）的图板。板。50（3）重视数学语言的训练）重视数学语言的训练l语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性思维语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性思维的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一。的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一。l作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法、数作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法、数学思想的学习，同时也应该重视数学语言的学习和训练。学思想的学习，同时也应该重
38、视数学语言的学习和训练。l现在的大学生，在作业中习惯性地写出现在的大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立等号成立”、“问题得证问题得证”、“对对”等词语的大有人在；其实，相应的等词语的大有人在；其实，相应的规范数学语言应该是规范数学语言应该是“等式成立等式成立”和和“命题得证命题得证”。51哲学说哲学说-来自古希腊亚里士多德、欧几来自古希腊亚里士多德、欧几里得里得等人等人,即从哲学上来定义数学。即从哲学上来定义数学。l亚里士多德：亚里士多德：“新的思想家把数学和新的思想家把数学和哲学看作是相同的。哲学看作是相同的。”l几何原本几何原本：点是没有部分的那种东西；点是没有部分的那种东西；线是没有宽
39、度的长度线是没有宽度的长度52l牛顿在牛顿在自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理的序言中说，的序言中说，他是把这本书他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来来”。53哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部哲学
40、也不是数学的一部分。分。“哲学从一门学科中退出，哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”54哲学说哲学说55l科学说：科学说：是说数学是精密的科学，是说数学是精密的科学，“数学是数学是科学的皇后科学的皇后”。l工具说：工具说：是说是说“数学是其它所有知识工具的数学是其它所有知识工具的源泉源泉”。l逻辑说：逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，是说数学推理依靠逻辑，“数学为数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。其证明所具有的逻辑性而骄傲。”56逻辑说逻辑说l逻辑被看作是哲学的一个分支，起源于亚
41、里士多德时代l哲学系的“逻辑学”对应与数学系的“数理逻辑”（离散数学）l逻辑学的公式化兴起是从20世纪初的维也纳学派开始，主要奠基人是罗素等人l研究的对象主要是语言本身，数学的研究对象则要丰富的多。大数学家希尔伯特（Hilbert）说：“数学具有独立于任何逻辑的可靠内容，因而它不可能建立在唯一的逻辑基础之上”;另一位大数学家魏尔(H.Weyl)说得更明白：逻辑不过是数学家用以保持健康的卫生规则。逻辑是贫乏的,而数学是多产的母亲。57罗素罗素Russell,Bertrand（1872-1970）l罗素，英国人。罗素，英国人。1872年年5月月18日出生于蒙穆日出生于蒙穆斯的一个贵族家庭。祖父约翰
42、斯的一个贵族家庭。祖父约翰罗素在维罗素在维多利亚时代两次出任首相。罗素先在英国多利亚时代两次出任首相。罗素先在英国剑桥大学三一学院学习数学和哲学，后来剑桥大学三一学院学习数学和哲学，后来在英、美许多大学担任教授。在英、美许多大学担任教授。1908年被选年被选为皇家学会会员。为皇家学会会员。1921年曾来中国讲学。年曾来中国讲学。由于反对英国参加第一次世界大战，由于反对英国参加第一次世界大战，1916年被剑桥大学解职，年被剑桥大学解职，1918年被监禁年被监禁6个月。个月。1970年年2月月2日去世。日去世。58罗素罗素“理发师悖论理发师悖论”与第三次数学危与第三次数学危机机l罗素在数学基础方面
43、作出了重大贡献。罗素在数学基础方面作出了重大贡献。1902年他发现了一个悖论，年他发现了一个悖论，1918年又把它通俗化年又把它通俗化解释为众所周知的解释为众所周知的“理发师悖论理发师悖论”。l其实，在罗素发现这个悖论之前，康托已在其实，在罗素发现这个悖论之前，康托已在1899年发现过类似的悖论。由于罗素是由集年发现过类似的悖论。由于罗素是由集合的基本概念着手，论证方法又和康托的著合的基本概念着手，论证方法又和康托的著名的对角线法类似，因此引起了著名数学家名的对角线法类似，因此引起了著名数学家的极大震动。原来相信数学基础已经奠定的的极大震动。原来相信数学基础已经奠定的人们动摇了。人们动摇了。5
44、9l创新说：创新说：是说数学是一种创新，如发现无理是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。数，提出微积分，创立非欧几何。l直觉说：直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。主要是由那些直觉能力强的人们推进的。l集合说：集合说：是说数学各个分支的内容都可以用是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。集合论的语言表述。l结构说（关系说）：结构说（关系说）：是强调数学语言、符是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，号的结构方面及联系方面，“数学是一种关数学是一种关系学系学”。60l模型说：模型说：是说数学就是研
45、究各种形式的模型，是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。模型，非欧几何是非欧空间的模型。l活动说：活动说：是说是说“数学是人类最重要的活动之数学是人类最重要的活动之一一”。l精神说：精神说：是说是说“数学不仅是一种技巧，更是数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。一种精神，特别是理性的精神。”61l审美说：审美说：是说是说“数学家无论是选择题材还是数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则
46、。判断能否成功的标准，主要是美学的原则。”l艺术说：艺术说：是说是说“数学是一门艺术。数学是一门艺术。”62数学是一门创造性艺术数学是一门创造性艺术l美国当代数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos，1916.3.3-2006.10.2）说：“数学是创造性艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样的思考。”l波莱尔A：“数学是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类脑海深处，只有美学标准才是最后的鉴定者。”63共同特征：抽象、美l数学家和文学家、艺术家在思维方法上是共同的，都需要抽象，也都需要想象和幻想。l具象绘画指的是再现了
47、人物、风景和静物等自然物象的绘画，抽象绘画所描绘的形象则与我们看到的世界中的形象没有联系，正如抽象主义者保罗克利所说，“艺术并不仿造可见的东西，而是把不可见的东西创造出来”。不可见的东西正是抽象绘画描绘的对象。64数学美：和谐性、对称性、简洁性l“美”是艺术家所追求的一种境界。其实，“美”也是数学中公认的一种评价标准。数学中的“美”是体现在和谐性、对称性、简洁性上。l著名数学家庞加莱（H.Poincare）曾说：“科学家研究自然是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解，如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然，这里所说的美，不是那种激发感观的美，也不是质地
48、美和表现美我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻美,是人的纯洁心智所能掌握的美。”65数学能陶冶人的美感，增进理性的审美能力数学能陶冶人的美感，增进理性的审美能力l一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，实际上就是理性的洞察力，也是由美感所驱动的选择力，这种能力有助于使数学成为人们探索宇宙奥秘和揭示规律的重要力量。l德国数学家皮索特（E.Pisot）和萨玛斯基（M.Zaman-sky）在合著的普通数学中所说：“数学是艺术又是科学，它也是一种智力游戏，然而它又是描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。66数学与艺术的融合l古希腊的毕达哥拉斯既是数学家也是艺术家。还有笛卡尔、达.芬奇、埃舍尔等
49、。l数学对艺术的影响由来已久，在文艺复兴时期艺术家利用透视原理创作出不朽的名作，在20世纪荷兰艺术家埃舍尔对无限拼图的探索给人以启迪，萨尔瓦多达利利用四维立方体的展开图画出了使人震撼的作品。艺术家们从斐波那契数列，最小曲面、麦比乌斯带中得到启发。数学家们利用雕塑来宣扬数学的成就。67思思：请你在学习请你在学习“数学文化数学文化”课的过程课的过程中，始终带着下面的问题中，始终带着下面的问题在学完在学完“数学文化数学文化”课后，给出一个你自己对课后，给出一个你自己对“数学数学”的定义。的定义。681.抽象性抽象性2.精确性精确性3.应用的广泛性应用的广泛性二、数学的特点二、数学的特点691抽象性抽
50、象性l数学以抽象的数和形为研究对象，这些数和数学以抽象的数和形为研究对象，这些数和形只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他形只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他l方程方程的正解是的正解是1，l它可能是一头牛或一头驴或一辆轿车等等它可能是一头牛或一头驴或一辆轿车等等l导数导数既可以表示运动速度，也可以表示既可以表示运动速度，也可以表示人口增长速度等人口增长速度等l数学上的球面既可以是足球的面也可以是乒数学上的球面既可以是足球的面也可以是乒乓球的面等等。乓球的面等等。70抽象：抽象：从许多事物中，舍弃个别的、非本从许多事物中，舍弃个别的、非本质的属性，抽出共同的、本质的属性，叫质的属性，抽出共同的、