学案3等比数列(教育精品).ppt

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1、学案学案3 等等 比比 数数 列列 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 等比数列等比数列(1)理解等比数列的概念理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前掌握等比数列的通项公式与前n项和公项和公式式.能用公式解决一些简单问题能用公式解决一些简单问题.(3)能在具体的问题情境中，发现数列为等能在具体的问题情境中，发现数列为等比数列比数列

2、,并能用有关知识解决相应的问题并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系.返回目录返回目录 名师伴你行 考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 在高考客观题中在高考客观题中,对等比数列的考查主要是涉及对等比数列的考查主要是涉及到通项公式和前到通项公式和前n项和公式项和公式,以中低档题为主以中低档题为主,在主观在主观题特别是解答题中题特别是解答题中,对等比数列的考查对等比数列的考查,近几年题目近几年题目难度大大降低难度大大降低,与三角、函数、方程及不等式联系的与三角、函数、方程及不等式联系的综合题难度较大但考的较少综合题难度较大但考的较少,201

3、2年复习主要放在通年复习主要放在通项公式、求和公式的应用上项公式、求和公式的应用上.返回目录返回目录 1.1.等比数列的定义等比数列的定义 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从 起，每一起，每一项与它的项与它的 的比等于的比等于 常数，常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母，公比通常用字母 表示表示.其数学表达式为：其数学表达式为：（q为常数）或为常数）或 （q为常数）（为常数）（n2）,常用定义判断或证明一个数列是等常用定义判断或证明一个数列是等比数列比数列.第第2项项 前一项前一项 同一同一 公比公比

4、 q(q0)名师伴你行返回目录返回目录 2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，则它的通项，则它的通项公式公式an=.通项公式的变形为通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为，也可写为qn-m=常常用此求通项公式中的公比用此求通项公式中的公比q.当公比当公比q1时时an=可以可以看成函数看成函数y=cqx，是一个不为零的常数与指数函数的乘，是一个不为零的常数与指数函数的乘积积.因此，数列因此，数列an各项所对应的点都在各项所对应的点都在y=cqx图象上图象上.3.3.等比中项等比中项 如果三个数如果三个数x，G，y组成组

5、成 ，则，则G叫叫做做x和和y的等比中项，那么的等比中项，那么 ，即，即G2=.xy a1qn-1 等比数列等比数列 名师伴你行返回目录返回目录 4.4.等比数列的单调性等比数列的单调性 等比数列等比数列an中，公比为中，公比为q，则，则 当当a10,q1,或或a10，0q1时，数列时，数列an为为 ；当当a10,0q1,或或a10，q1时，数列时，数列an为为 ；当当q=1时，数列时，数列an为为 ；当；当q0时，时，数列数列an为为 .5.5.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 如果等比数列如果等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，当当q=1时，时，Sn=；当当q

6、1时，时，Sn=.其推导其推导 方法为方法为 .递增数列递增数列 递减数列递减数列 常数列常数列 摆动数列摆动数列 na1 错位相减法错位相减法 名师伴你行 6.6.等比数列的性质等比数列的性质 若数列若数列an为等比数列，为等比数列，m，n，p，qN*,且且m+n=p+q，则，则aman=.an是等比数列，则是等比数列，则an,|an|成成 数列数列,公比分别是公比分别是 ；按顺序抽出间隔相；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列成同的项组成的新数列成 .an成等比数列，则成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m ，公比为，公比为 .返回目录返回目录 qm apaq 等比等比 q和和|q

7、|等比数列等比数列 成等比数列成等比数列 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算名师伴你行2010年高考浙江卷改编设年高考浙江卷改编设Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项项和和,8a2+a5=0,则则 =.返回目录返回目录 名师伴你行【分析分析】建立关于建立关于a1,q的方程求解的方程求解.【解析解析】设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1,公比为公比为q,由已知由已知q1,又又8a2+a5=0,8a1q+a1q4=0,q3=-8,q=-2.返回目录返回目录 名师伴你行(1)等比数列等比数列

8、an中中,an=a1qn-1,Sn=中有五中有五个个量量,可以知三求二可以知三求二.(2)注意分类讨论的应用注意分类讨论的应用.返回目录返回目录 名师伴你行设等比数列设等比数列an的公比的公比q1,前前n项和为项和为Sn.已知已知a3=2,S4=5S2,求求an的通项公式的通项公式.【解析解析】由题设知由题设知a10,Sn=,则则 a1q2=2,由由得得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,即即(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,返回目录返回目录 名师伴你行因为因为q1,解得解得q=-1或或q=-2.当当q=-1时，代入时，代入得得a1=2，通项公式通项公式an=2

9、(-1)n-1;当当q=-2时，代入时，代入得得a1=，通项公式通项公式an=(-2)n-1.返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 通项公式与前通项公式与前通项公式与前通项公式与前n n项和公式及应用项和公式及应用项和公式及应用项和公式及应用 名师伴你行2010年高考陕西卷已知年高考陕西卷已知an是公差不为零的等差数是公差不为零的等差数列列,a1=1,且且a1,a3,a9成等比数列成等比数列.(1)求数列求数列an的通项的通项;(2)求数列求数列 的前的前n项和项和Sn.返回目录返回目录 名师伴你行【分析分析】根据题列出方程求根据题列出方程求an的公差的公差,则通项则通项an可求可求;研究

10、数列研究数列 的特点的特点,化归等差或等比数列并求化归等差或等比数列并求和和Sn.【解析解析】(1）由题设知公差）由题设知公差d0,由由a1=1,a1,a3,a9成等比数列成等比数列,得得 解得解得d=1或或d=0（舍去）（舍去）.故故an的通项的通项an=1+(n-1)1=n.(2)由由(1)知知 =2n,由等比数列前由等比数列前n项和公式项和公式,得得Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.返回目录返回目录 名师伴你行 数列的通项公式和前数列的通项公式和前n项和公式是数列中应用最项和公式是数列中应用最广泛广泛,最重要的公式最重要的公式,应熟记公式掌握应用应熟记公式掌握应用.返回目录返回目

11、录 2010年高考四川卷已知等差数列年高考四川卷已知等差数列an的前的前3项和为项和为6,前前8项和为项和为-4.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=(4-an)qn-1(q0,nN*),求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】(1)设数列设数列an的公差为的公差为d,由已知由已知,得得3a1+3d=6 a1=38a1+28d=-4,d=-1.故故an=3-(n-1)=4-n.(2)由由(1)可得可得bn=nqn-1,于是于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn-1.若若q1,将上式两边同乘将上式两边同乘q,得得qSn=

12、1q1+2q2+(n-1)qn-1+nqn.两式相减两式相减,得得解得解得 返回目录返回目录 名师伴你行(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-qn-1=nqn-.于是于是,Sn=.若若q=1,则则Sn=1+2+3+n=.(q=1)(q1).所以所以,Sn=返回目录返回目录 2009年高考陕西卷已知数列年高考陕西卷已知数列an满足满足a1=1，a2=2，an+2=，nN*.（1）令）令bn=an+1-an，证明：，证明：bn是等比数列；是等比数列；（2）求）求an的通项公式的通项公式.【分析分析分析分析】由已知建立由已知建立bn与与bn-1的关系的关系,由定义作出证由定义作出证明明.考点考点考

13、点考点3 3 等比数列的证明等比数列的证明等比数列的证明等比数列的证明 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】(1)证明：证明：b1=a2-a1=1，当当n2时，时，bn=an+1-an=bn是以是以1为首项，为首项，-为公比的等比数列为公比的等比数列.（2）由（）由（1）知）知bn=an+1-an=，当当n2时，时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）返回目录返回目录 名师伴你行当当n=1时，时，=1=a1,an=（n N*）.证明数列证明数列an是等比数列一般有两种方法是等比数列一般有两种方法:定义法定义法:an+1=qan(nN*,q是常数是常数);

14、等比中项法等比中项法:an+12=anan+2(nN*).做题时应根据题目中的已知条件来确定用哪一种方法做题时应根据题目中的已知条件来确定用哪一种方法.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 数列数列an的前的前n项和为项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*).(1)设设bn=an+1-2an,求证求证:bn是等比数列是等比数列;(2)设设cn=,求证求证:cn是等比数列是等比数列.名师伴你行返回目录返回目录 【证明证明】an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.(1)数列数列bn是公比为是公比为2的等比数列的等比数列,首项为首项为a2-2

15、a1.S2=a1+a2=4a1+2,a2=5.b1=a2-2a1=3.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行(2)由由(1)知知bn=32n-1=an+1-2an,.数列数列 是等差数列，公差为是等差数列，公差为3，首项为，首项为2.an=(3n-1)2n-=2n-2.=2.数列数列cn为等比数列，公比为为等比数列，公比为2.返回目录返回目录 考点考点考点考点4 4 等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质 名师伴你行已知等比数列前已知等比数列前n项和为项和为2,其后其后2n项的和为项的和为12,求再往求再往后后3n项的和项的和.【分析分析】由已知条件由已知条件,根据前根据前n

16、项和公式列出关于首项项和公式列出关于首项a1和和公比公比q及及n的两个方程的两个方程,应能解出应能解出a1和和q关于关于n的表达式的表达式,这样这样可能较繁琐又不便于求出结果可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路若采用整体处理的思路,问问题就会变得简单题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化也可采用等比数列的性质使问题简化.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】利用等比数列的性质利用等比数列的性质.由已知由已知a1+a2+an=2,an+1+an+2+a2n+a2n+1+a2n+2+a3n=12.注意到注意到(a1+a2+an),(an+1+an+2+a2n),(a2n+1

17、+a2n+2+a3n),(a3n+1+a3n+2+a4n),也成等比数列也成等比数列,其公比为其公比为qn,于是于是,问题转化为已知问题转化为已知:A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值的值.返回目录返回目录 名师伴你行由由A1=2,A1qn+A1q2n=12,q2n+qn-6=0,则则qn=2或或qn=-3.由得由得A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+qn+q2n)=2q3n7=14q3n 112 (qn=2)-378 (qn=-3).=返回目录返回目录 名师伴你行 在解决等比数列的有关问题时在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘

18、隐含条要注意挖掘隐含条件件,利用性质利用性质,可以减少运算量可以减少运算量,提高解题速度提高解题速度,常用的性常用的性质有质有(1)若若m+n=p+q,m,n,p,qN*，则，则aman=apaq;(2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列成等比数列.返回目录返回目录 名师伴你行(1)已知等比数列已知等比数列an中中,有有a3a11=4a7,数列数列bn是等差数是等差数列列,且且b7=a7,求求b5+b9的值的值;(2)在等比数列在等比数列an中中,若若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求求a41a42a43a44.【解析解析】(1)a3a1

19、1=4a7,a70,a7=4,b7=4,bn为等差数列为等差数列,b5+b9=2b7=8.返回目录返回目录 名师伴你行(2)解法一解法一:a1a2a3a4=a1a1qq1q2a1q3=q6=1,a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15=q54=8,:=q48=8 q16=2,a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43=q166=q6q160=(q6)(q16)10=1210=1 024.返回目录返回目录 名师伴你行解法二解法二:由性质可知由性质可知,依次依次4项的积为等比数列项的积为等比数列,设公比为设公比为p,设设T1=a1a2a3a4=1,

20、T4=a13a14a15a16=8,T4=T1p3=1p3=8 p=2.T11=a41a42a43a44=T1p10=210=1 024.返回目录返回目录 考点考点考点考点5 5 等比数列综合问题等比数列综合问题等比数列综合问题等比数列综合问题 名师伴你行2010年高考安徽卷如图年高考安徽卷如图,设设C1,C2,Cn,是坐标平是坐标平面上的一列圆面上的一列圆,它们的圆心都在它们的圆心都在x轴的正半轴上轴的正半轴上,且都与直且都与直线线y=x相切，对每一个正整数相切，对每一个正整数n,圆圆Cn都与圆都与圆Cn+1相相互外切互外切.以以rn表示表示Cn的半径的半径,已知已知rn为递增数列为递增数列

21、.(1)证明证明:rn为等比数列为等比数列;(2)设设r1=1,求数列防治求数列防治 的前的前n项和项和.返回目录返回目录 名师伴你行【分析分析】由题意由题意,第第n个圆的圆心横坐标与半径之间存在关个圆的圆心横坐标与半径之间存在关系系,第第n个圆与第个圆与第n+1个圆的圆心之间因外切也存在联系个圆的圆心之间因外切也存在联系,由由此建立此建立rn,rn+1的关系并求解的关系并求解.【解析解析】(1)证明证明:将直线将直线y=x的倾斜角记为的倾斜角记为,则有则有tan=,sin=.设设Cn的圆心为的圆心为(n,0),则由题意则由题意知知rnn=,得得n=2rn.同理同理n+1=2rn+1.从而从而

22、n+1=n+rn+rn+1=2rn+1.将将n=2rn代入代入,解得解得rn+1=3rn.故故rn为公比为公比q=3的等比数列的等比数列.返回目录返回目录 名师伴你行(2)由于由于r1=1,q=3,故故rn=3n-1,从而从而 .记记Sn=,则有则有Sn=1+23-1+33-2+n31-n,=13-1+23-2+(n-1)31-n+n3-n.-，得，得 =1+3-1+3-2+31-n-n3-n=-n3-n=-（n+）3-n.Sn=返回目录返回目录 名师伴你行 由于数列与函数、方程、三角函数、解析几何之间由于数列与函数、方程、三角函数、解析几何之间存在着密切联系，因此解决这类综合问题也是必须掌握

23、存在着密切联系，因此解决这类综合问题也是必须掌握的，但应控制难度的，但应控制难度.返回目录返回目录 名师伴你行已知数列已知数列an的前三项与数列的前三项与数列bn的前三项对应相同的前三项对应相同,且且a1+2a2+22a3+2n-1an=8n对任意的对任意的nN*都成立都成立,数列数列bn+1-bn是等差数列是等差数列.(1)求数列求数列an与与bn的通项公式的通项公式;(2)问是否存在问是否存在kN*,使得使得bk-ak(0,1)?请说明理由请说明理由.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】(1)已知已知a1+2a2+22a3+2n-1an=8n(nN*),n2时时,a1+2a2+22a3

24、+2n-2an-1=8(n-1)(nN*),-,得得2n-1an=8,求得求得an=24-n,在在中令中令n=1,可得可得a1=8=24-1,an=24-n(nN*).由题意由题意b1=8,b2=4,b3=2,b2-b1=-4,b3-b2=-2.数列数列bn+1-bn的公差为的公差为-2-(-4)=2.bn+1-bn=-4+(n-1)2=2n-6,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+(2n-8)=n2-7n+14(nN*).返回目录返回目录 名师伴你行(2)bk-ak=k2-7k+14-24-k,令令f(k)=k2-7k+14-24-k,当当

25、k4时时,f(k)=（k-）2+-24-k单调递增单调递增,且且f(4)=1,k4时时,f(k)=k2-7k+14-24-k1.又又f(1)=f(2)=f(3)=0,不存在不存在kN*,使得使得bk-ak(0,1).解决等比数列有关问题的常见思想方法解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程的思想方程的思想:等比数列中五个量等比数列中五个量a1,an,n,q,Sn一般可一般可以以“知三求二知三求二”.通过列方程通过列方程(组组)求关键量求关键量a1和和q,问题可问题可迎刃而解迎刃而解.(2)分类讨论的思想分类讨论的思想:利用等比数列前利用等比数列前n项和公式时要分项和公式时要分公比公比q=1和和q1两种情况讨论两种情况讨论;研究等比数列的单调性研究等比数列的单调性时应进行讨论时应进行讨论:当当a10,q1或或a10,0q1时为递增数列时为递增数列;a11或或a10,0q1时为递减数列时为递减数列;当当q0且且q1)常和指数函数相联系常和指数函数相联系.(4)整体思想整体思想:应用等比数列前应用等比数列前n项和时项和时,常把常把qn,当成整体求解当成整体求解.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行