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1、导数及圆曲易错题导数双胞胎函数应用注意1奇偶结合2三项构造圆曲易错双曲线1过焦点两种情况2离心率或其他双解一选择题（共20小题）1已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）F（2x1）的实数x的取值范围是（）A（2，1）B（1，）C（，2）D（1，2）2函数y=f（x）在R上为偶函数且在0，+）单调递减，若x1，3时，不等式f（2mxlnx3）2f（3）f（lnx+32mx）恒成立，则实数m的取值范围（）ABCD3设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（
2、x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）4设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+）=f（x），当0x时，f（x）=cosx1，则2x2时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A48B24C2D365定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x0时，不等式f（x）xf（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A1B2C3D46已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（0，+）时，都有不等式f（x）xf（x）0成立，若a=f（1），b=20.
3、4f（20.4），c=（log4）f（log4），则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbcaDcab7已知f（x）为定义在上的函数，f（x）是它的导函数，且恒成立，则（）ABCD8已知偶函数f（x）（x0）的导函数为f（x），且满足f（1）=0，当x0时，xf（x）2f（x），则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（0，1）C（1，0）（1，+）D（，1）（1，+）9已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+2）f（x）+xf（x）0，则（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）为减函数Df（x）为增函数10设函数f（x）的导函数为f（x），且满足
4、，f（1）=e，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值11若函数f（x）满足：x3f（x）+3x2f（x）=ex，f（1）=e，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）Af（1）f（3）f（5）Bf（1）f（5）f（3）Cf（3）f（1）f（5）Df（3）f（5）f（1）12已知函数f（x）的导数f（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf（x）0，对x0，+）恒成立，则下列不等式一定成立的是（）Aef（1）f（2）Bf（1）0Cef（e）2f（2）Df（1）2ef（2）13过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲
5、线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）ABC或 D或14已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AFFB，设ABF=且，则双曲线离心率的取值范围是（）ABCD（2，+）15设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+u（，R），2+u2=，则双曲线的离心率为（）ABCD16已知双曲线C为：=1（a0，b0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，kPA、kPB分别为直线PA、PB的斜率，且kPAkPB=3，过左焦点的直线l
6、与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1和=1D=1或=117已知双曲线C：=1（a0，b0）的两焦点为F1，F2，A是该双曲线上一点，满足：2|AF1|2|AF2|=|F1F2|，直线AF2交双曲线C于另一点 B，且5=3，则直线 AF2的斜率为（）ABCD18直线与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有（）A1个B2个C3个D4个19直线y=x与双曲线=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB等于（）ABCD与P的位置有关20已知双曲线C：=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相
7、交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（）ABC2D2导数及圆曲易错题参考答案与试题解析一选择题（共20小题）1已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）F（2x1）的实数x的取值范围是（）A（2，1）B（1，）C（，2）D（1，2）【分析】根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可【解答】解：f（x）是奇函数，不等式xf（x）f（x），等价为xf（x）f（x），即xf（x）+f（x）0，F（x）=xf（x），F（x）=xf（x）+f（x），即当x（，0
8、时，F（x）=xf（x）+f（x）0，函数F（x）为减函数，f（x）是奇函数，F（x）=xf（x）为偶数，且当x0为增函数即不等式F（3）F（2x1）等价为F（3）F（|2x1|），|2x1|3，32x13，即22x4，1x2，即实数x的取值范围是（1，2），故选：D【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用2函数y=f（x）在R上为偶函数且在0，+）单调递减，若x1，3时，不等式f（2mxlnx3）2f（3）f（lnx+32mx）恒成立，则实数m的取值范围（）ABCD【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不
9、等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围【解答】解：函数f（x）为偶函数，若不等式f（2mxlnx3）2f（3）f（2mx+lnx+3）对x1，3恒成立，等价为f（2mxlnx3）2f（3）f（2mxlnx3）即2f（2mxlnx3）2f（3）对x1，3恒成立即f（2mxlnx3）f（3）对x1，3恒成立f（x）在0，+）单调递减，32mxlnx33对x1，3恒成立，即02mxlnx6对x1，3恒成立，即2m且2m对x1，3恒成立令g（x）=，则g（x）=，在1，e上递增，在e，3上递减，则g（x）的最大值为g（e）=，h（x）=，则h（
10、x）=0，则函数h（x）在1，3上递减，则h（x）的最小值为h（3）=，则，得，即m，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，函数的导数的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键3设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（3）=0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（3，0）（0，3）C（，3）（3，+）D（，3）（0，3）【分析】先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）
11、与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0F（x）在当x0时为增函数F（x）=f （x）g （x）=f （x）g （x）=F（x）故F（x）为（，0）（0，+）上的奇函数F（x）在（0，+）上亦为增函数已知g（3）=0，必有F（3）=F（3）=0构造如图的F（x）的图象，可知F（x）0的解集为x（，3）（0，3）故选：D【点评】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习4
12、设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+）=f（x），当0x时，f（x）=cosx1，则2x2时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A48B24C2D36【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+）=f（x）得f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，若x0，则0x，即f（x）=cos（x）1=cosx1，f（x）是R上的奇函数，f（x）=cosx1=f（x），即f（x）=1cosx，x0，函数的周期是2，当x2时，x20，即f（x）=f（x2）=1cos（x2）=1cosx，当x时，x0，即f（x）=f（x）=co
13、s（x）1=cosx1，当x时，0x，即f（x）=f（x）=cos（x）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当2x2时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8|=8（xsinx）|=48故选：A【点评】本题主要考查利用积分求面积，根据函数的奇偶性和周期性分别求出对应的解析式是解决本题的关键运算量较大，有一定的难度5定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x0时，不等式f（x）xf（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A1B2C3D4【分析】由不等式f（x）xf（x）在（0，+）上恒成立，得到函数h（x）=
14、xf（x）在x0时是增函数，再由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，结合f（0）=f（3）=f（3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=lg|x+1|的大致图象，即可得出答案【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：f（0）=0=f（3）=f（3），且f（x）=f（x），又x0时，f（x）xf（x），即f（x）+xf（x）0，xf（x）0，函数h（x）=xf（x）在x0时是增函数，又h（x）=xf（x）=xf（x），h（x）=xf（x）是偶函数；x0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（3）=0，可得函数y1=xf（x）与
15、y2=lg|x+1|的大致图象如图所示，由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个故选：C【点评】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目6已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（0，+）时，都有不等式f（x）xf（x）0成立，若a=f（1），b=20.4f（20.4），c=（log4）f（log4），则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbcaDcab【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数单调性的性质进行比较即可【解答】解：当x（0，+）时不等式f（x）xf（x）0成立
16、，（）=0，g（x）=在 （0，+）上是增函数则b=20.4f（20.4）=g（20.4），c=log4f（log4）=f（2）=g（2），a=f（1）=g（1），又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=是定义在R上的偶函数，则g（2）=g（2），020.41，20.412，g（x）在 （0，+）上是增函数，g（20.4）g（1）g（2），即g（20.4）g（1）g（2），则bac，故选：D【点评】本题考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度7已知f（x）为定义在上的函数，f（x）是它的导函数，且
17、恒成立，则（）ABCD【分析】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）g（）g（1）g（ ），整理后即可得到答案【解答】解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0，由f（x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx，即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=，x（0，），则g（x）=0，所以函数g（x）在x（0，）上为增函数，则g（）g（）g（1）g（），对照选项，变形得A正确；故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数
18、构造法，属中档题型8已知偶函数f（x）（x0）的导函数为f（x），且满足f（1）=0，当x0时，xf（x）2f（x），则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（0，1）C（1，0）（1，+）D（，1）（1，+）【分析】构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）0的解集【解答】解：根据题意，设函数，当x0时，所以函数g（x）在（0，+）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（1，0）（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（1，0）（
19、0，1）的函数值大于零故选：B【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决9已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+2）f（x）+xf（x）0，则（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）为减函数Df（x）为增函数【分析】令G（x）=x2exf（x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数G（x）的最小值，从而求出f（x）的符号即可【解答】解：令G（x）=x2exf（x），G（x）=xex（x+2）f（x）+xf（x），（x+2）f（x）+xf（x）0，x0时，G（x）0，x0时，G（x）0，故G（x）在（，0）递
20、减，在（0，+）递增，故G（x）G（0）=0，又x=0时，（0+2）f（0）+0f（0）0，故f（0）0，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2exf（x）是解题的关键，本题是一道中档题10设函数f（x）的导函数为f（x），且满足，f（1）=e，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【分析】求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性判断出f（x）递增，从而求出f（x）无极值【解答】解：f（x）=，令g（x）=exxf（x），g（x）=ex（xf（x）+f（x）=ex（1），若x1
21、，则g（x）0，g（x）g（1）=0，f（x）递增，若0x1，则g（x）0，g（x）g（1）=0，f（x）递增，函数f（x）既无极大值又无极小值；故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题11若函数f（x）满足：x3f（x）+3x2f（x）=ex，f（1）=e，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）Af（1）f（3）f（5）Bf（1）f（5）f（3）Cf（3）f（1）f（5）Df（3）f（5）f（1）【分析】首先由已知的等式构造x3f（x）ex=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案【解答】解：由x3f（x）+3x2f（x）=ex，得到x3f（
22、x）ex=0，设x3f（x）ex=c，因为f（1）=e，所以c=0，x=0不满足题意，x0时，f（x）=，f（x）=，所以f（3）f（5）f（1）故选：D【点评】本题考查了函数的单调性与导数的关系，关键是由已知得到函数的解析式12已知函数f（x）的导数f（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf（x）0，对x0，+）恒成立，则下列不等式一定成立的是（）Aef（1）f（2）Bf（1）0Cef（e）2f（2）Df（1）2ef（2）【分析】根据条件构造函数F（x）=xexf （x），求出函数的导数，得到F（x）=ex（x+1）f（x）+xf（x）0对x0，+）恒成立，得出函数F（x）=
23、xexf （x）在0，+）上单调递增，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F（x）=ex（x+1）f（x）+xf（x），（x+1）f（x）+xf（x）0，F（x）0对x0，+）恒成立，函数F（x）=xexf （x）在0，+）上单调递增，F（1）F（2），f（1）2ef（2），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小，结合条件，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键13过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）ABC或 D或
24、【分析】设出双曲线的右焦点，令x=c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，ABD为直角三角形，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=c，可得y=，可得A（c，），B（c，），又设D（0，b），ABD为直角三角形，可得DBA=90，即b=或BDA=90，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e=；由=0，可得：（c，）（c，）=0，可得c2+b2=0，可得e44e2+2=0，e1，可得e=，综上，e=或故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题14已知双曲线右支上
25、非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AFFB，设ABF=且，则双曲线离心率的取值范围是（）ABCD（2，+）【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF则四边形AFBF为矩形因此|AB=|FF|=2c|AF|=2csin，|BF|=2ccos可得e=，求出即可【解答】解：如图所示，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BFAFFB，四边形AFBF为矩形因此|AB=|FF|=2c则|AF|=2csin，|BF|=2ccos|AF|AF|=2a2ccos2csin=2a即c（cossin）=a，则e=，（，），则cos（）（0，），cos（）（0，），则=，即e，故双曲
26、线离心率的取值范围是，故选：C【点评】本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意利用数形结合进行求解15设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+u（，R），2+u2=，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由2+u2=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得【解答】解：双曲线的渐近线为：y=x，设焦点F（c，0），则当x=c时，yc=，即A（c，），B（c，），P
27、（c，），因为=+，所以（c，）=（+）c，（），所以+=1，=，解得：=，=，2+u2=，（）2+（）2=，即=，即c2=4b2则c2=4（c2a2），则3c2=4a2c=2a，则e=，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键16已知双曲线C为：=1（a0，b0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，kPA、kPB分别为直线PA、PB的斜率，且kPAkPB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1和=1D=1或=1【分析】设P（m，n），代入双曲线的方程，由A（a，
28、0），B（a，0），kPAkPB=3，运用直线的斜率公式化简可得b=a，讨论M，N均在左支和分别在两支，由最小值为=4，和2a=4，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程【解答】解：设P（m，n），可得=1，即有=，由A（a，0），B（a，0），kPAkPB=3，可得=3，即为b=a，由过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，可得当M，N都在左支上，即有MN垂直于x轴时取得最小值，且为=4，解得a=，b=，可得双曲线的方程为=1；当M，N分别在两支上，即有MN的最小值为2a=4，即a=2，b=2，可得双曲线的方程为=1综上可得，双曲线的方程为=1或=1故选：D【点评】本题
29、考查双曲线的方程的求法，注意运用讨论的思想方法，考查直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，以及双曲线的性质，属于中档题和易错题17已知双曲线C：=1（a0，b0）的两焦点为F1，F2，A是该双曲线上一点，满足：2|AF1|2|AF2|=|F1F2|，直线AF2交双曲线C于另一点 B，且5=3，则直线 AF2的斜率为（）ABCD【分析】根据2|AF1|2|AF2|=|F1F2|，得到c=2a，b=a，设出A，B的坐标，利用向量关系，联立方程组求出A的坐标，即可得到结论【解答】解：A是该双曲线上一点，满足：2|AF1|2|AF2|=|F1F2|，2（|AF1|AF2|）=|F1F2|，即4a=2c，
30、则c=2a，b=a则双曲线的方程等价为=1，即3y2x2=3a2，设A（x，y），B（m，n），F2（0，c），5=3，5（x，cy）=3（mx，ny），即，得，即B（，），代入3y2x2=3a2，得（）2（）2=3a2，3y2x2=3a2，消去x得y=，代入3y2x2=3a2，得3（）2x2=3a2，得x=，即A（，），则AF2的斜率k=，故选：A【点评】本题主要考查直线斜率的计算，根据双曲线的性质和定义，建立方程组求出的坐标是解决本题的关键综合性较强，运算量较大18直线与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有（）A1个B2个C3个D4个【分析】将直线方程与曲线方程联立，化简得，再进行分
31、类讨论【解答】解：联立得，即当时，满足题意；当时，=0有两解故选：D【点评】直线与双曲线的交点问题通常是联立方程组求解，应注意二次项系数为0时，直线与曲线也只有一个公共点19直线y=x与双曲线=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB等于（）ABCD与P的位置有关【分析】根据题意求出直线与双曲线的交点坐标，设出点P的坐标，求出直线PA、PB的斜率，计算kPAkPB的值【解答】解：由，消去y得x2=1，解得x=，y=；设A点（，），B点（，），P为双曲线上不同于A，B的点，设P（x，y），并且满足=1，则kPA=，kPB=，kPAk
32、PB=故选：C【点评】本题考查两条直线斜率乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的合理运用20已知双曲线C：=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（）ABC2D2【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），则=3，cx1=3（cx2），3x2x1=2cx1a，x2a，3x2x14a，2c4a，e=2，双曲线离心率的最小值为2，故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题第24页（共24页）