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1、主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第二十九讲1微分方程 第七章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 2微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 3引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C=1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.4引例引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知由前一次积分,可得利用后两式可得因
2、此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).再积分5常微分方程(未知数是一元函数)偏微分方程(未知数是多元函数)含未知函数及其导数(微分）的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或6引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:
3、微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.7例例3 二阶微分方程试问下列函数是否是方程的解,是通解还是特解?解解:分别将四个函数代入方程,均 左边=右边则这四个函数均为方程的解.是方程的特解.是方程的特解.其中有两个任意常数是方程的通解.其中只有一个常数,则即不是方程的通解,也不是特解.8求曲线所满足的微分方程.例例4 已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q解解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标即曲线上的点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,设法线上的任一点为(X,Y),9内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;说明说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 10(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:例1，4)2)根据物理规律列方程(如:例2)3)根据微量分析平衡关系列方程(P298,6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.2.解微分方程应用题的方法和步骤书上 例2 例4 自学11作业作业 P298 1（1）（5）口答;2(3);5;12