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1、问题问题 1:1:大球中有大球中有5 5个小球，如何证明它们都是个小球，如何证明它们都是 绿色的？绿色的？问题问题 2:2:完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 问题问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境一问题情境一费马费马(Fermat)曾经提出一个猜想：曾经提出一个猜想：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数的数都是质数100100年后年后问题情境二问题情境二 ：由一系列有限的特殊事例得出：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法 结论一定可靠结论一定
2、可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示（2）验证前一问题与后一问题）验证前一问题与后一问题有递推关系；有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌）如何解决不完全归纳法存在的问题呢如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于
3、）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）推倒第一块骨牌）问题情境三问题情境三 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：的正确性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题时命题成立成立;【归纳奠基】【归纳奠基】（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.这种证明方法这种证明方法叫做叫做
4、 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳递推】框图表示框图表示例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：3.用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n=a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nN*nN*都成立。都成
5、立。证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=a=a1 1,右边右边=a=a1 1+（1-11-1）d=ad=a1 1,当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立，时结论成立，即即 a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时 a ak k+1+1=a=ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知,等式对于任何等式对于任何n
6、NnN*都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什有什么变化么变化4.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时命题成立时命题成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据1.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】【归纳奠基】（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推】【归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整归纳小结归纳小结