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1、高数差分方程本讲稿第一页，共四十五页5.1.1差分差分 微分方程是自变量连续取值的问题微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的有些变量不是连续取值的.例如例如,经济变量收入、储蓄等都是时间经济变量收入、储蓄等都是时间序列序列,自变量自变量 t 取值为取值为0,1,2,数学上把这种变量称为离散型数学上把这种变量称为离散型变量变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.本讲稿第二页，共四十五页1.差分的定义差分的定义定义定义5.1.1 设函数设函数我们称我们称为函数为函数的的一阶差分一阶差分；一、一、差
2、分方程的基本概念差分方程的基本概念本讲稿第三页，共四十五页 称称为函数为函数的的二阶差分二阶差分.为为三阶差分三阶差分.同样，称同样，称本讲稿第四页，共四十五页依此类推，函数的依此类推，函数的 n 阶差分定义为：阶差分定义为：且有且有二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分本讲稿第五页，共四十五页性质性质5.1.1 当当 是常数，是常数，是函数时，是函数时，有以下结论成立：有以下结论成立：本讲稿第六页，共四十五页例例1 求求则则解解 设设例例2 设设求求解解 本讲稿第七页，共四十五页 有某种商品有某种商品 t 时期的供给量时期的供给量St与需求量与需求量Dt都都是这
3、一时期价格是这一时期价格Pt 的线性函数：的线性函数：5.1.2 5.1.2 差分方程差分方程一个例子：一个例子：设设 t 时期的价格时期的价格Pt由由 t 1时期的价格时期的价格 与供给量与供给量及需求量之差及需求量之差 按如下关系确定按如下关系确定.（为为常数），常数），即即 这样的方程就是这样的方程就是差分方程差分方程.本讲稿第八页，共四十五页定义定义5.1.2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就方程就称为称为差分方程差分方程.例如例如差分方程的不同形式之间可以相互转化差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与
4、最小值之差差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为数称为差分方程的阶差分方程的阶.5.1.2 差分方程差分方程本讲稿第九页，共四十五页是一个二阶差分方程，是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为如果将原方程的左边写为则原方程还可化为则原方程还可化为例如，例如，可以化为可以化为本讲稿第十页，共四十五页又如：又如：可化为可化为 定义定义5.1.3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中其中A为任意常数为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的恒等，则称此函数为差分方程的解解.本讲稿第十一页，共四十五页 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，我们往
5、往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件初始条件.满足初始条件的解称之为满足初始条件的解称之为特解特解.如果差分如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的分方程的阶数，则称它为差分方程的通解通解.其中其中A为任意常数为任意常数.本讲稿第十二页，共四十五页(3)为常数，为常数，为已知函数为已知函数.时，称方程时，称方程(4)则则(3)称为称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系
6、数线性差分方程的一般形式为其中其中当当为为一阶常系数齐次线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程.若若差分方程差分方程.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程本讲稿第十三页，共四十五页3.常系数线性差分方程及解的性质常系数线性差分方程及解的性质 的差分方程称为的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程，其中，其中为常数，且为常数，且为已知函数为已知函数.时，差分方程时，差分方程(1)称为称为齐次的齐次的，对应的对应的齐次差分方程齐次差分方程为为(2)定义定义A 形如形如(1)当当否则称为否则称为非齐次的非齐次的.当当时，与差分方程时，与差分方程(1)本讲稿第十四页，共四十五
7、页 定理定理A 设设的的k个特解，则线性组合个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中也是该差分方程的解，其中是是n阶常系数齐次线性差分方程阶常系数齐次线性差分方程为任意常数为任意常数.本讲稿第十五页，共四十五页的的n个线性无关的解，则方程个线性无关的解，则方程 的通解为的通解为 其中其中为任意常数为任意常数定理定理B n阶常系数齐次线性差分方程一定存在阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性个线性无关的特解若无关的特解若是方程是方程本讲稿第十六页，共四十五页 定理定理C n阶非齐次线性差分方程阶非齐次线性差分方程 的通解与它自己本身的一个特解之和，的通解与它自己本身的一个特解之和，它对应的齐
8、次方程它对应的齐次方程即通解等于即通解等于其中其中是它自己本身的一个特解是它自己本身的一个特解.本讲稿第十七页，共四十五页 以上三个定理揭示了以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构的通解结构,它们是求解线性差分方程非常重要的基础它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识知识在本书中在本书中我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法本讲稿第十八页，共四十五页(1)迭代法求解迭代法求解：一般地一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法通常有如下两种解法.5.2.1 一阶常系数齐次
9、线性差分方程的通解一阶常系数齐次线性差分方程的通解本讲稿第十九页，共四十五页(2)特征方程法求解特征方程法求解：设：设化简得：化简得：即即本讲稿第二十页，共四十五页分别称为方程分别称为方程和和是方程是方程(4)的解的解.再由解的结构及通解的定义知：再由解的结构及通解的定义知：的的特征方程特征方程和和特征根特征根.是齐次方程的通解是齐次方程的通解.为任意常数为任意常数)故故本讲稿第二十一页，共四十五页例例4 求求的通解的通解.从而特征根为从而特征根为于是原方程的通解为于是原方程的通解为其中其中C为任意常数为任意常数.解解 特征方程为特征方程为本讲稿第二十二页，共四十五页的右端项为某些特殊形式的函
10、数时的特解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程考虑差分方程(c为任意常数为任意常数),则差分方程为则差分方程为1)采用迭代法采用迭代法求解：求解：有迭代公式有迭代公式给定初值给定初值5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解一阶常系数非齐次线性差分方程的通解本讲稿第二十三页，共四十五页本讲稿第二十四页，共四十五页2)一般法求解：一般法求解：设差分方程设差分方程的特解的特解.具有形如具有形如(1)当当时，时，(2)当当时，时，本讲稿第二十五页，共四十五页例例5 求差分方程求差分方程 的通解的通解.解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为 由于由于故可设其特解为故可设
11、其特解为：代入方程，解得代入方程，解得：故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：本讲稿第二十六页，共四十五页设差分方程设差分方程(6)具有形如具有形如的特解。的特解。于是于是本讲稿第二十七页，共四十五页即即解得解得于是于是和和本讲稿第二十八页，共四十五页例例6 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为：故可设其特解为：代入方程，解得代入方程，解得：故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：本讲稿第二十九页，共四十五页例例6 6 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于
12、由于故可设其特解为：故可设其特解为：代入方程，解得代入方程，解得：故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：本讲稿第三十页，共四十五页设差分方程设差分方程(7)具有形如具有形如的特解的特解.将特解代入差分方程将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数后比较两端同次项系数确定系数确定系数本讲稿第三十一页，共四十五页例例7 7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程，得代入方程，得比较系数比较系数：本讲稿第三十二页，共四十五页原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为本讲稿第三十
13、三页，共四十五页例例7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程，得代入方程，得比较系数比较系数：本讲稿第三十四页，共四十五页原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为本讲稿第三十五页，共四十五页设差分方程具有形如设差分方程具有形如的特解的特解.综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论：若若本讲稿第三十六页，共四十五页当当 时，时，(*)(*)式左端为式左端为 次多项式，要使次多项式，要使 (*)(*)式成立，则要求式成立，则要求本讲稿第三十七页，共四十五页故可设差分方程故可
14、设差分方程（8）具有形如）具有形如的特解的特解.前面三种情况都是差分方程（前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：）的特殊情形：当当 时，取时，取 否则，取否则，取 本讲稿第三十八页，共四十五页例例8 8 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程消去代入方程消去比较系数比较系数：得得本讲稿第三十九页，共四十五页原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为本讲稿第四十页，共四十五页例例9 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为
15、由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程消去代入方程消去 ，得，得比较系数比较系数：本讲稿第四十一页，共四十五页原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为本讲稿第四十二页，共四十五页例例1010 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为由于由于故可设其特解为故可设其特解为代入方程消去代入方程消去比较系数比较系数：得得本讲稿第四十三页，共四十五页原差分方程通解为原差分方程通解为解得解得故方程特解为故方程特解为本讲稿第四十四页，共四十五页例例8（存款模型（存款模型)为为期存款总额，期存款总额，利率，按年复利计息，则利率，按年复利计息，则与与有如下关系式：有如下关系式：这是关于这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中其中为初始存款总额为初始存款总额.为存款为存款其通解为其通解为设设三、三、差分方程在经济问题中的简单应用差分方程在经济问题中的简单应用本讲稿第四十五页，共四十五页