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1、运筹学Operations Research陈志松陈志松陈志松陈志松1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性规划对偶理论p线性规划对偶理论概述p线性规划对偶问题提出p线性规划对偶问题规范形式p线性规划对偶问题一般形式p线性规划对偶问题基本性质p线性规划对偶问题的经济解释2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性规划对偶理论概述 p线性规划对偶理论自1947年提出以来，已经有了很大发展，已成为线性规划的必不可少的重要基础理论。p对偶理论是线性规划中的一
2、个最重要的最有趣的概念。支持对偶理论的基本思想是，每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题。在求出一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。p线性规划对偶问题以及对偶理论中对偶定理的运用是线性规划中主要考点。3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的提出 4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的提出5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的提出pLP1与与L
3、P2两个线性规划问题的两个线性规划问题的表现形式和系数之间存在许多对表现形式和系数之间存在许多对应关系。应关系。并且并且p我们称前者为原问题，后者是前我们称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。者的对偶问题。6篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统规范形式下对偶关系的一般形式 7篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统规范形式下对偶关系的一般形式 8篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统规范
4、形式原问题与对偶问题变换规则 9篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性规划问题对偶问题举例 例例3.1写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题10篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统非规范形式的对偶关系 11篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统如何直接写出非对称形式的对偶问题12篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计
5、分系统是一种得分类型的系统如何直接写出非对称形式的对偶问题13篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统原问题（或对偶问题）原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）对偶问题（或原问题）目标函数目标函数max目标函数系数（资源限量）目标函数系数（资源限量）约束条件系数矩阵约束条件系数矩阵A(AT)目标函数目标函数min资源限量（目标函数系数）资源限量（目标函数系数）约束条件系数矩阵约束条件系数矩阵AT(A)变变量量n个变量个变量第第j个变量个变量0第第j个变量个变量0第第j个变量无约束个变量无约束约约束束n个约束个约束第第j个约束
6、为个约束为第第j个约束为个约束为第第j个约束为个约束为=约约束束m个约束个约束第第i个约束个约束第第i个约束个约束第第i个约束为个约束为=变变量量m个变量个变量第第i个变量个变量0第第i个变量个变量0第第i个变量无约束个变量无约束 表表3-114篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统如何直接写出非对称形式的对偶问题只要记住规范形式下的对偶关系以及上述规则，就可以准确只要记住规范形式下的对偶关系以及上述规则，就可以准确无误并很快写出其对偶问题。无误并很快写出其对偶问题。15篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜
7、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例3.3】写出下列线性规划的对偶问题】写出下列线性规划的对偶问题【解解】目目标标函函数数求求最最小小值值，应应将将表表31的的右右边边看看作作原原问问题题，左左边边是是对对偶偶问问题题，原原问问题题有有3个个约约束束4个个变变量量，则则对对偶偶问问题题有有3 个个变变量量4个约束，对偶问题为：个约束，对偶问题为：=y10，y20，y3无约束16篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性规划对偶问题的基本性质 下面下面介绍介绍对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系
8、。对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。对偶问题是（记为对偶问题是（记为DP）：）：这这里里A是是mn矩矩阵阵X是是n1列列向向量量，Y是是1m行行向向量量。假假设设Xs与与Ys分别是（分别是（LP）与（）与（DP）的松驰变量。）的松驰变量。设原问题是（记为设原问题是（记为LP）：）：17篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性质【性质1】对称性对称性 对偶问题的对偶是原问题。对偶问题的对偶是原问题。【证】设原问题是【证】设原问题是它与下列线性规划问题是等价的：它与下列线性规划问题是等价的：再写出它的对偶问题。再写出
9、它的对偶问题。它与下列线性规划问题是等价的它与下列线性规划问题是等价的即是原问题。即是原问题。可知，它的对偶问题是可知，它的对偶问题是18篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【证】因为【证】因为X、Y是可行解，故有是可行解，故有AXb,X0及及YAC，Y0,将不等式将不等式 AXb【性质【性质2】弱对偶性弱对偶性 设设X、Y分别为分别为LP(max)与与DP(min)的可行解，则的可行解，则 两边左乘两边左乘Y，得，得Y0AXY0b再将不等式再将不等式YAC两边右乘两边右乘X，得，得C XYAX故故 C XYAXYb这这一
10、一性性质质说说明明了了两两个个线线性性规规划划互互为为对对偶偶时时，求求最最大大值值的的线线性性规规划划的的任任意意目目标标值值都都不不会会大大于于求求最最小小值值的的线线性性规规划划的的任任一一目目标值，标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。19篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性质【性质3】无界性无界性 若原问题（对偶问题）有无界若原问题（对偶问题）有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。解，则其对偶问题（原问题）无可行解。可可理理解解为为：在在互互为
11、为对对偶偶的的两两个个问问题题中中，若若一一个个问问题题可可行行且且具具有有无无界解，则另一个问题无可行解界解，则另一个问题无可行解证：假定原问题有无界解，对偶问题有可行解证：假定原问题有无界解，对偶问题有可行解 Y，Yb。原问题有无界解，即存在。原问题有无界解，即存在C X，根据若对偶性，根据若对偶性有，有，Yb C X ，显然矛盾，故命题成立。，显然矛盾，故命题成立。注意注意：（：（1）这个定理的逆定理不成立，即若一个问题无可这个定理的逆定理不成立，即若一个问题无可行解，另一问题不一定有无界解，也可能无可行解；行解，另一问题不一定有无界解，也可能无可行解；（2）若原问题可行且另一个问题不可
12、行，则原问题具）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解有无界解20篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例如：例如：无可行解，而对偶问题无可行解，而对偶问题有可行解，由性质（有可行解，由性质（3）知必有无界解。）知必有无界解。21篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性性质质4】最最优优性性定定理理 设设X0与与Y0分分别别是是（LP）与与（DP）的的可可行解，则当行解，则当C X0=Y0b 时，时，X0、Y0是（是（LP）与（）与（DP）的
13、最优解）的最优解【证证】若若C X0=Y0b，由由性性质质2，对对偶偶问问题题的的所所有有可可行行解解Y都都存存在在 Y b CX。因因为为C X0=Y0b，所所以以Y b Y0b，可可见见Y0是是使使目目标标函函数数取取值值最最小小的的可可行行解解，因因而而Y0是是最最优优解解。同同理理可可证，证，X0是最优解是最优解22篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性性质质5】弱弱对对偶偶性性若若互互为为对对偶偶的的两两个个问问题题其其中中一一个个有有最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。最优解，则另一个也有最优解，且最优
14、值相同。【证证】设设（LP）有有最最优优解解X0,那那么么对对于于最最优优基基B必必有有C-CBB-1A0与与CBB-10，即即有有YAC与与Y0，这这里里Y=CBB-1，从从而而Y是是可可行解，对目标函数有行解，对目标函数有由性质由性质4知知Y是最优解。是最优解。由由性性质质 5 还还可可推推出出另另一一结结论论：若若（LP）与与（DP）都都有有可可行行解解，则则两两者者都都有有最最优优解解，若若一一个个问问题题无无最最优优解解，则则另另一一问问题题也也无无最最优优解。解。23篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例
15、3.4】证明下列线性规划无最优解：证明下列线性规划无最优解：【证证】容容易易看看出出X=（4，0，0）是是一一可可行行解解，故故问问题题可可行行。对对偶问题偶问题将三个约束的两端分别相加得将三个约束的两端分别相加得而第二个约束有而第二个约束有y21，矛盾，故对偶问，矛盾，故对偶问题无可行解，题无可行解，因而原问题具有无界因而原问题具有无界解，即无最优解。解，即无最优解。24篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性性质质6】互互补补松松弛弛定定理理 设设X0、Y0分分别别为为（LP）与与（DP）的的可可行行解解，XS和和YS
16、是是它它的的松松弛弛变变量量的的可可行行解解，则则X0和和Y0是是最最优优解解当当且且仅当仅当YSX0=0和和Y0XS=0【证证】设设X和和Y是是最最优优解解,由由性性质质4，C X0=Y0b，由由于于XS和和YS是是松弛变量，则有松弛变量，则有A X0XSbY0AYS=C将第一式左乘将第一式左乘Y0，第二式右乘，第二式右乘X0得得Y0A X0Y0XSY0bY0A X0YS X0=C X025篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统显然有显然有 Y0XS=YS X0又因为又因为Y、Xs、Ys、X0，所以有，所以有YXS=0和和
17、YS X=0成立。成立。反之，反之，当当YXS=0和和YS X=0时，有时，有YA XYbYA X=C X显显然然有有Y0b=C X,由由性性质质4知知Y与与X是是（LP）与与（DP）的的最最优优解解。证毕。证毕。26篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统性性质质6告告诉诉我我们们已已知知一一个个问问题题的的最最优优解解时时求求另另一一个个问问题题的的最最优优解解的方法，即已知的方法，即已知Y*求求X*或已知或已知X*求求Y*。Y*XS=0和和YS X*=0两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式两式称为互补松弛条件。将
18、互补松弛条件写成下式由由于于变变量量都都非非负负，要要使使求求和和式式等等于于零零，则则必必定定每每一一分分量量为为零零，因而有下列关系：因而有下列关系：27篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)当yi*0时，,反之当 时yi*=0；利利用用上上述述关关系系，建建立立对对偶偶问问题题（或或原原问问题题）的的约约束束线线性性方方程程组组，方程组的解即为最优解。方程组的解即为最优解。性性质质6的的结结论论和和证证明明都都是是假假定定（P）与与（D）为为对对称称形形式式，事事实实上上对于非对称形式，性质对于非对称形式，性质6
19、的结论仍然有效。的结论仍然有效。【例【例3.5】已知线性规划已知线性规划的最优解是的最优解是 求对偶问题的最优解。求对偶问题的最优解。28篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【解】对偶问题是【解】对偶问题是因因为为X10，X20，所所以以对对偶偶问问题题的的第第一一、二个约束的松弛变量等于零，即二个约束的松弛变量等于零，即解解此此线线性性方方程程组组得得y1=1,y2=1,从从而而对对偶偶问问题题的的最最优优解解为为Y=（1，1），最优值），最优值w=26。29篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因
20、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例3.6】已知线性规划已知线性规划 的的对对偶偶问问题题的的最最优优解解为为Y=（0，2），求求原原问问题题的的最最优解。优解。【解】对偶问题是【解】对偶问题是30篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解方程组得：解方程组得：x 1=5,x 3=1,所以原问题的最优解为所以原问题的最优解为X=（5，0，1），最优值），最优值Z=12。因为因为y20，所以原问题第二个松弛变量，所以原问题第二个松弛变量 =0，由，由y1=0、y2=-2知，松弛变量知，松弛变量 ，故，故x2=0
21、，则原问题的约束条件为线性方程组：，则原问题的约束条件为线性方程组：31篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统32篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统33篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统34篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统35篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时
22、计分系统是一种得分类型的系统36篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【性性质质6】互互补补对对偶偶性性LP(max)的的检检验验数数的的相相反反数对应于数对应于DP(min)的一组基本解的一组基本解.其其中中第第j个个决决策策变变量量xj的的检检验验数数的的相相反反数数对对应应于于（DP）中中第第j个个松松弛弛变变量量 的的解解，第第i个个松松弛弛变变量量 的的检检验验数数的的相相反反数数对对应应于于第第i个个对对偶偶变变量量yi的的解解。反反之之，（DP）的的检检验验数数（注注意意：不不乘乘负负号号）对应于（对应于（LP
23、）的一组基本解。）的一组基本解。证明略。证明略。37篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例3.9】线性规划线性规划（1）用单纯形法求最优解；）用单纯形法求最优解；（2）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；（3）从最优表中写出对偶问题的最优解；）从最优表中写出对偶问题的最优解；【解】（【解】（1）加入松弛变量）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表后，单纯形迭代如表2-2所示。所示。38篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分
24、类型的系统XBx1x2x3x4x5b表表（1）x4x5211024100124j62100表表（2）x1x5101/21/2131/21/20113j01530表表（3）x1x2100146011246j001122表表3-139篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统最优解最优解X=（4，6，0），最优值），最优值Z=6426=12；（2）设设对对偶偶变变量量为为y1、y2,松松弛弛变变量量为为y3、y4、y5,Y=（y1、y2、y3、y4、y5），由性质），由性质6得到对偶问题的基本解得到对偶问题的基本解 （y1、y2、y
25、3、y4、y5）=（4，5，1，2，3），即），即 表表22（1）中）中=（6，2，1，0，0），），则则Y（1）=（0，0，-6，2，1）表表22（2）中）中=（0，1，5，3，0），），则则Y（2）=（3，0，0，1，5）表表22（3）中）中=（0，0，11，2，2），），则则Y（3）=（2，2，0，0，11）（3）因为表）因为表31（3）为最优解，故）为最优解，故 Y（3）=（2，2，0，0，11）为对偶问题最优解；）为对偶问题最优解；40篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的基本性质应用举例41篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的基本性质应用举例42篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对偶问题的经济解释-影子价格 43篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对影子价格的进一步讨论 44篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对影子价格的进一步讨论45