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1、学案学案2 任意角的三角函数任意角的三角函数 与诱导公式与诱导公式 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行 考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 任意角的任意角的三角函数三角函数与诱导公与诱导公式式(1)了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义；了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义；了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.（2）了解任意三
2、角函数（正弦、余弦、正切）的定）了解任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦正切角函数线表示任意角的正弦、余弦正切.(3)理解同角三角函数的基本关系式：并会运用它们理解同角三角函数的基本关系式：并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.（4）了解正弦、余弦、正切的诱导公式；能运用这）了解正弦、余弦、正切的诱导公式；能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会
3、运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明等式证明.名师伴你行 考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 主要作为工具对三角函数进行恒等变换，考查恒主要作为工具对三角函数进行恒等变换，考查恒等变形能力等变形能力.题型主要是三角函数的求值，以及三角函题型主要是三角函数的求值，以及三角函数式的化简数式的化简,为研究函数作基础，是本编的重点内容为研究函数作基础，是本编的重点内容.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设是一个任意角是一个任意角,角角的终边上任意一点的终边上任意一
4、点P(x,y),它它与原点的距离为与原点的距离为r(r0),那么角那么角的正弦、余弦、正切分的正弦、余弦、正切分别是：别是：sin=,cos=,tan=,它们都是以角为它们都是以角为 ，以比值为，以比值为 的函数的函数.自变量自变量 函数值函数值 名师伴你行返回目录返回目录 (2)三角函数在各象限内的符号口诀是三角函数在各象限内的符号口诀是:.2.设角设角的顶点在坐标原点的顶点在坐标原点,始边与始边与x轴正半轴重合轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点终边与单位圆相交于点P,过过P作作PM垂直垂直x轴于轴于M,作作PN垂垂直直y轴于点轴于点N,则点则点M,N分别是点分别是点P在在x轴轴,y轴上的轴
5、上的 .由三角函数的定义知由三角函数的定义知,点点P的坐标为的坐标为 ,即即 ,其中其中cos=,sin=,单位圆与单位圆与x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A,单位圆在单位圆在A点的切线与点的切线与的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T(T),则则tan=.我们把轴上向量我们把轴上向量OM,ON,AT(或或AT)分别叫做分别叫做的的 、.二正弦、三正切、四余弦二正弦、三正切、四余弦一全正、一全正、正射影正射影 （cos,sin)P(cos,sin)OM ON AT 余弦线余弦线 正弦线正弦线正切线正切线名师伴你行3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系平方关系:.(2)
6、商数关系商数关系:.(3)倒数关系倒数关系:tancot=1(,kZ).返回目录返回目录 sin2+cos2=1(R)(k+,kZ)名师伴你行-tan 4.六组诱导公式六组诱导公式组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+(kZkZ)+-+正弦正弦余弦余弦正切正切口诀口诀函数名不变函数名不变符号看象限符号看象限函数名改变函数名改变符号看象限符号看象限返回目录返回目录 sin-sin-sin sin cos cos cos -cos cos -cos sin-sin sin tan tan -tan 名师伴你行考点考点考点考点1 1 三角函数的定义三角函数的定义三角函数的定义三角函数的定义
7、 设设为第四象限角，其终边上的一个点是为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,-)，且，且cos=x，求，求sin和和tan.【分析分析】若能求出问题中的未知数若能求出问题中的未知数x，则由定义，则由定义sin和和tan可求，解题技巧即是设法建立关于可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个的一个方程方程.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】是第四象限的角，是第四象限的角，x0,又又P点到坐标原点点到坐标原点O的距离的距离r ,由由cos ，得，得 .x=,r=2 .sin ,tan .名师伴你行返回目录返回目录 容易出错的地方是得到容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑后，不考虑P点点
8、 所在的象所在的象限，限，x的取值分正负两种情况去讨论的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此类问一般地，在解此类问题时，可以优先注意角题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合所在的象限，对最终结果作一个合理的预测理的预测.名师伴你行返回目录返回目录 已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=0上上,求求sin,cos,tan的值的值.【解析解析解析解析】角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=0上，上，在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t,当当t0时时,r=5t,名师伴你行返回目录返回目录 当当t0时，时，sin=,c
9、os=,tan=;当当t0,A(0,),cosA=3sinA.又又sin2A+cos2A=1,sinA=,cosA=.由由cosB=,得得sinB=.cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=.故故cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-.返回目录返回目录 本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式，同本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式，同时考查了诱导公式，同角三角函数的关系等基础知时考查了诱导公式，同角三角函数的关系等基础知识及运算能力识及运算能力.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知01;(2)sinOP,cos+sin1.(2)连结连结PA,则则SOPA S扇形扇形O
10、PA SOTA,即即 OAMP OA OAAT,即即sintan.名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系 已知已知 x0,sinx+cosx=.(1)求求sinx-cosx的值；的值；(2)求求 的值的值.【分析分析分析分析】(1)由由sinx+cosx=及及sin2x+cos2x=1可可求出求出sinx,cosx的值的值,从而求出从而求出 sinx-cosx 的值的值;另外另外 ,由由 x0,可求出可求出sinx0,从而判定从而判定sinx-cosx的的符号符号,只需求只需求(sinx-cosx)2
11、即可即可.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)解法一解法一:联立方程联立方程:sinx+cosx=,sin2x+cos2x=1,由由得得sinx=-cosx,将其代入将其代入,整理得整理得25cos2x-5cosx-12=0.sinx=-cosx=,(2)由由(1)可求出可求出tanx,而而想法使分子、分母都出现想法使分子、分母都出现tanx即可即可.x0,sinx-cosx=-.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcos
12、x+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.又又 x0,sinx0,sinx-cosx0.由由可知，可知，sinx-cosx=-.名师伴你行返回目录返回目录(2)由已知条件及由已知条件及(1)可知可知 sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,tanx=-.解得解得又又名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 (1)方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用要的作用,一定要注意其应用一定要注意其应用.(2)注意注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相三者间的相互转化互转化,若令若令sin
13、x+cosx=t,则则sinxcosx=.返回目录返回目录 已知已知sin+cos=,(0,).求值求值:(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.名师伴你行返回目录返回目录 解法一解法一:sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos,sincos=0,cos0,cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=1+=.返回目录返回目录 考点考点考点考点4 4 求值问题求值问题求值问题求值问题已知已知 ，求下列各式的值：，求下列各式的值：（1）；（2）sin2+sincos+2.【分析分析分
14、析分析】由已知可以求出由已知可以求出tan，再由同角三角函，再由同角三角函数关系式可以求得数关系式可以求得sin和和cos，进而求出，进而求出(1)、(2)的值的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件整体考虑使用条件.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】由已知得由已知得tan=.（1）（2）sin2+sincos+2=sin2+sincos+2(cos2+sin2)名师伴你行 形如形如asin+bcos和和sincos+ccos2的式子分别称为关于的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次的一次齐次式和二次齐次式，
15、对涉及它们的三角式的变换常有如上的整齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用体代入方法可供使用.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知tan =2,求：求：（1）tan(+)的值；的值；（2）的值的值.名师伴你行返回目录返回目录（1）名师伴你行返回目录返回目录（2）由（）由（1）得）得tan=,名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点5 5 诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式 化简化简:【分析分析分析分析】(1)直接利用诱导公式直接利用诱导公式.(2)对对k是偶数还是奇数分类讨论是偶数还是奇数分类讨论.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析】(1)原式原式=(2)当当k为偶
16、数时为偶数时,记记k=2n(nZ),原式原式=名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行当当k为奇数时，记为奇数时，记k=2n+1(nZ),原式原式=综上，原式综上，原式=-1.返回目录返回目录 (1)应用诱导公式，重点是应用诱导公式，重点是“函数名称函数名称”与与“正负正负号号”的正确判断的正确判断.求任意角的三角函数值的问题求任意角的三角函数值的问题,都可以都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤具体步骤为为“负角化正角负角化正角”“正角化锐角正角化锐角”求值求值.(2)使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的使用诱导公式要注意三角函数值在各
17、个象限的符号符号,如果出现如果出现k的形式时的形式时,需要对需要对k的值进行分类讨的值进行分类讨论论,以确定三角函数值的符号以确定三角函数值的符号.返回目录返回目录 已知已知cos(+)=-,且且是第四象限角是第四象限角,计算计算:(1)sin(2-);(2)名师伴你行【解析解析】cos(+)=-,-cos=-,cos=.又又是第四象限角是第四象限角,sin=.返回目录返回目录 名师伴你行(1)sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.(2)返回目录返回目录 考点考点考点考点6 6 诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应
18、用 【分析分析分析分析】本题首先利用诱导公式把所给两个等式本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简化简,然后利用然后利用sin2+cos2=1,求出求出cosA的值的值,再利再利用用A+B+C=进行求解进行求解.名师伴你行在在ABC中，若中，若sin(2-A)=-sin(-B),cosA=-cos(-B),求求ABC的三内角的三内角.返回目录返回目录 名师伴你行 sinA=2sinB,3cosA=2cosB.2+2得得2cos2A=1,即即cosA=.(1)当当cosA=时时,cosB=,又又A,B是三角形内角是三角形内角,A=,B=,C=-(A+B)=.【解析解析】由已知得由已知得返回目录返回
19、目录 名师伴你行(2)当当cosA=-时，时，cosB=-.又又A,B是三角形内角是三角形内角,A=,B=,不不合题意合题意.综上知综上知,A=,B=,C=.诱导公式在解三角形时应用广泛诱导公式在解三角形时应用广泛,注意其正确应注意其正确应用用,特别是诱导公式的口诀要记熟会用特别是诱导公式的口诀要记熟会用.返回目录返回目录 在在ABC中中,角角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,其中其中c边最长边最长,并且并且sin2A+sin2B=1.(1)求证求证:ABC为直角三角形为直角三角形;(2)当当c=1时时,求求ABC面积的最大值面积的最大值.【解析解析】(1)证明证明:c边为最长边边
20、为最长边,A,B均为锐角均为锐角.由由sin2A+sin2B=1得得sin2A=cos2B.sinA,cosB均为正数均为正数,sinA=cosB.sinA=sin(-B).名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行又又A,-B(0,),A=-B,A+B=,即即C=.ABC为直角三角形为直角三角形.(2)ABC的面积的面积S=ab=2ab (a2+b2).由于由于a2+b2=c2=1,S .当且仅当当且仅当a=b=时，上式取等号时，上式取等号.ABC面积的最大值为面积的最大值为 .返回目录返回目录 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础同角三角恒等变形是三角恒等变
21、形的基础同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变主要是变主要是变主要是变名、变式名、变式名、变式名、变式.1.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响号的影响号的影响号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时尤其是利用平方关系在求三角函数值时尤其是利用平方关系在求三角函数值时尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行进行进行进行开方时要根据角的象限或范围开方时要根据角的象限或范围开方时要根据角的象限或范围开方时要根据角的象限或范围,判断符号后判断符号
22、后判断符号后判断符号后,正确取舍正确取舍正确取舍正确取舍.2.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：简时，常用方法有：简时，常用方法有：简时，常用方法有：（1 1）弦切互化法主要利用公式）弦切互化法主要利用公式）弦切互化法主要利用公式）弦切互化法主要利用公式tanxtanx=化成正弦、化成正弦、化成正弦、化成正弦、余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数;名师伴你行返回目录返回目录 （2 2）和积转换法：如利用）和积转换法：如利用）和积转换法：如利用）
23、和积转换法：如利用(sincos)(sincos)2 2=12sincos=12sincos的关系进行变形、转化；的关系进行变形、转化；的关系进行变形、转化；的关系进行变形、转化；（3 3）巧用）巧用）巧用）巧用“1”1”的变换：的变换：的变换：的变换：1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=cos=cos2 2(1+tan(1+tan2 2)=sin)=sin2 2(1+)=tan (1+)=tan =.=.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整
24、 式化式化式化式化.3.3.证明三角恒等式的主要思路有证明三角恒等式的主要思路有证明三角恒等式的主要思路有证明三角恒等式的主要思路有:(1):(1)左右互推法左右互推法左右互推法左右互推法:由由由由较繁的一边向简单一边化简较繁的一边向简单一边化简较繁的一边向简单一边化简较繁的一边向简单一边化简;(2);(2)左右归一法左右归一法左右归一法左右归一法,使两端化异使两端化异使两端化异使两端化异为同为同为同为同;把左右式都化为第三个式子把左右式都化为第三个式子把左右式都化为第三个式子把左右式都化为第三个式子;(3);(3)转化化归法转化化归法转化化归法转化化归法:先将先将先将先将要证明的结论恒等变形
25、要证明的结论恒等变形要证明的结论恒等变形要证明的结论恒等变形,再证明再证明再证明再证明.名师伴你行返回目录返回目录 4.4.解三角函数问题时常用方法有解三角函数问题时常用方法有解三角函数问题时常用方法有解三角函数问题时常用方法有:代入法、消元法、代入法、消元法、代入法、消元法、代入法、消元法、转化化归法、方程与分类讨论思想方法等转化化归法、方程与分类讨论思想方法等转化化归法、方程与分类讨论思想方法等转化化归法、方程与分类讨论思想方法等.5.5.已知一个角的某一函数值已知一个角的某一函数值已知一个角的某一函数值已知一个角的某一函数值,求该角的其他三角函数求该角的其他三角函数求该角的其他三角函数求该角的其他三角函数值时值时值时值时,可以利用构造直角三角形可以利用构造直角三角形可以利用构造直角三角形可以利用构造直角三角形,结合该角的范围求值结合该角的范围求值结合该角的范围求值结合该角的范围求值.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行