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1、 等差数列的性质等差数列的性质 吐鲁番市高昌区第二中学 祁俊秀复习引入：1、等差数列的定义：一般的，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，常用字母 d表示；2、等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，即 2A=，则称A为a和b的等差中项；3、等差数列的通项公式为：（nN*）2项 同一个常数 公差 a+b a an n=a a1 1+(n-1)d a am m=a=a1 1+（m-1m-1）d d （mN*）探探 究究在等差数列中，任意两项之间有什么关系呢？（研究an，am之间有什么关系？）等差数列的性质等差数列的性质结论：a an
2、n-a-am m=（n-mn-m）d d（n n、mN*且mn）a an n=a=a1 1+（n-1n-1）d d （nN*）等差数列的性质等差数列的性质速答：在等差数列速答：在等差数列aan n 中，中，1、已知已知 a a2 2，a a9 9，则，则d=d=（）；）；2 2、已知、已知 a a5 5，d d，则，则a a1212=a=a5 5+（）d d；3 3、已知、已知 a a7 7，a a15 15，则，则a a1515=a=a7 7+（）d d；4 4、已知、已知 a a1515，a a7 7，则，则a a7 7=a=a1515+（）d d。变式：变式：或变式：或变式：一、性质一、
3、性质1 1：在等差数列：在等差数列aan n 中，中，对于任意两个对于任意两个不相等的正整数不相等的正整数m m，n n，都有，都有性质性质1 1：例例1 1、在等差数列、在等差数列 aan n 中，若中，若a a1212=5 5,a a4545=38,38,求求d d和和a a7575 ；练习：练习：已知在等差数列已知在等差数列 aan n 中，中，a a5 5=10=10，a a1212=3131，求，求d d和和a a2222解：由等差数列的性质得 a75=a45+30d=38+30=68.等差数列的性质等差数列的性质思考:在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a2 2+a a8
4、8 与与 a a3 3+a a7 7它们有什么关系？相等吗？它们有什么关系？相等吗？猜测：猜测：猜测：猜测：在等差数列中，若在等差数列中，若在等差数列中，若在等差数列中，若 m+n=p+qm+n=p+qm+n=p+qm+n=p+q（m m m m，n n n n，p p p p，q q q qN N N N*），），），），则则则则a a a am m m m+a+a+a+an n n n与与与与a a a ap p p p+a+a+a+aq q q q之间之间之间之间有什么关系？有什么关系？有什么关系？有什么关系？证明:在等差数列中，在等差数列中，(m m，n n，p p，q qN*)a a
5、n n+a+am m=a=a1 1+(n-1d+a+(n-1d+a1 1+(m-1)d=2a+(m-1)d=2a1 1+(n+m)d-2d+(n+m)d-2d a ap p+a+aq q=a=a1 1+(p-1)d+a+(p-1)d+a1 1+(q-1)d=2a+(q-1)d=2a1 1+(p+q)d-2d+(p+q)d-2d 又又m+n=P+qm+n=P+q a an n+a+am m=a=an n+a+am m (m m，n n，p p，q qN*)易知：易知：a a2 2+a a8 8=2a=2a1 1+8d;8d;a a3 3+a a7 7=2a2a1 1+8d 8d 二、二、二、二、
6、性质性质2 2：在等差数列在等差数列aan n 中，中，若若 m+n=p+qm+n=p+q（m m，n n，p p，q qN*），则（），则（）项项数数相同；相同；项的项的下标和相等；下标和相等；对应的项之和相等。对应的项之和相等。推广推广1 1：若：若 m+n=2pm+n=2p（m m，n n，p pN*），则（），则（）推广推广2 2：等差数列的性质等差数列的性质速答：在等差数列速答：在等差数列aan n 中，中，1 1、a a3 3+a+a5 5=（）2 2、a a2 2+a+a6 6+a+a8 8=（）思考：若若3+4=3+4=7 7，则则a a3 3+a a4 4=a=a7 7吗？吗
7、？性质性质2：例例2:2:已知在等差数列已知在等差数列 aan n 中，中，a a6 6+a+a9 9 +a a1212+a+a1515=2020，求，求 a a1 1+a+a2020.练习：练习：已知数列已知数列aan n 是等差数列，且是等差数列，且a a2 2+a+a3 3+a+a1010+a+a1111 =3636，求，求 a a5 5+a+a8 8 的值。的值。解：由等差数列的性质得，a a6 6+a+a1515=a=a9 9+a+a1212=a=a1 1+a+a2020 又aa6 6+a+a9 9+a a1212+a+a1515=20=20 aa1 1+a+a2020=10=10巩
8、巩 固固 提提 升升1 1、在在等等差差数数列列aan n 中中,已已知知a a4 4=10=10，a a7 7=19=19，求求a a2727；2 2、已已知知数数列列aan n 是是等等差差数数列列,且且a a1 1-a-a5 5 +a a9 9-a a1313 +a+a1717=117,117,求求a a3 3+a+a1515的值。的值。小小 结结这节课你学到了什么？小小 结结一、性质一、性质1 1：对于任意两个对于任意两个不相等的正整数不相等的正整数m m，n n，都有，都有 变式：变式：或变式：或变式：二、性质二、性质2 2：若若 m+n=p+qm+n=p+q（m m，n n，p p，q qNN*），则），则 项项数相同；数相同；项的下标和相等；项的下标和相等；对应的项之和相对应的项之和相等。等。推广推广1 1：若：若 m+n=2pm+n=2p（m m，n n，p pN N*），则），则 推广推广2 2：作作 业业一、进一步探究等差数列的性质及其应用；一、进一步探究等差数列的性质及其应用；二、体会蕴含的数学思想和方法；二、体会蕴含的数学思想和方法；三、练习册三、练习册p34p34相关内容；相关内容；