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1、 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题Tuesday,April 25,2023材料力学第12章 能量法与超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 第十二章第十二章 能量法能量法12-1 概述概述12-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算12-3 卡氏定理卡氏定理 12-4 能量法解超静定问题能量法解超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题12-1 概述概述 一、能量方法一、能量方法一、能量方法一、能量方法二、基本原理二、基本原理二、基本原理二、基本原理能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意
2、点沿任意能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。方向的位移。方向的位移。方向的位移。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题12-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算1 1 1 1、轴向拉压的变形能、轴向拉压的变形能、轴向拉压的变形能、轴向拉压的变形能2 2 2 2、扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲
3、3 3 3 3、弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能MMe e MMe eMMe e MMe e 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题4 4 4 4、组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能 二、二、二、二、变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 克拉贝隆原理克拉贝隆原理克拉贝隆原理克拉贝隆原理（只限于线性结构）（只限于线性结构）（只限于线性结构）（只限于线性结构）F F-广义力广义力广义力广义力包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶-广义位移广义位移广义位移广义位移包括
4、线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 2 1 3设弹性结构在支座的约束下无任何设弹性结构在支座的约束下无任何设弹性结构在支座的约束下无任何设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移刚性位移刚性位移刚性位移.作用有外力：作用有外力：作用有外力：作用有外力：F F1 1，F F2 2，F Fi i ，相应的位移为：相应的位移为：相应的位移为：相应的位移为：1 1，2 2，i i ，12-3 卡氏定理卡氏定理F1F2F3结构的变形能结构的变形能结构的变形能结构的变形能 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第
5、12章 能量法与超静定问题只给只给只给只给 F Fi i 一个增量一个增量一个增量一个增量 F Fi i .2 1 3F1F2F3原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为结构应变能的增量为结构应变能的增量为结构应变能的增量为(a)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题(b)由由式式(a)=(b),可得可得：，而，而总的变形能总的变形能应为：应为：如如先作用先作用 而后作用而后作用 F1、F2。由于由于 的作用，的作用，弹性体内所产生的变形能为弹性体内所产生的变形能为：在在 的作用过程中，由的作用过程中，
6、由 不因先前作用了不因先前作用了 而有所改变，而有所改变，同时由于同时由于 在这一过程中在这一过程中始终作用在弹性体上始终作用在弹性体上，因此该过程中，因此该过程中，弹性体内再次弹性体内再次产生的变形能应为产生的变形能应为：对弹性体的作用效果并对弹性体的作用效果并F1、F2F1、F2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题略去二阶微量：略去二阶微量：，求得：求得：卡氏定理。卡氏定理。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题(1)(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体卡氏第二定理只适用于线性弹性体卡氏第二定理只适用于线性弹性体卡氏第二定理只适用于线
7、性弹性体说明说明说明说明 (2)(2)F Fi i 为广义力为广义力为广义力为广义力，i i 为相应的位移为相应的位移为相应的位移为相应的位移一个力一个力一个力一个力一个力偶一个力偶一个力偶一个力偶一对力一对力一对力一对力一对力偶一对力偶一对力偶一对力偶一个一个一个一个线位移线位移线位移线位移一个一个一个一个角位移角位移角位移角位移相对线位移相对线位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移相对角位移相对角位移 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题(3)(3)卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用 轴向拉、压轴向拉、压轴向拉、压轴向
8、拉、压 扭转扭转扭转扭转 弯曲弯曲弯曲弯曲 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架 组合变形组合变形组合变形组合变形 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例12-112-1 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数E、G。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为lCBAFaxxzyO（0 x l），直接求位移 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 A 端的铅垂位移为，BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别
9、为lCBAFax 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题例题例题例题例题12-2 12-2 圆截面杆圆截面杆圆截面杆圆截面杆ABCABC，（，（，（，（ABCABC=90=90）位于水平平面内，位于水平平面内，位于水平平面内，位于水平平面内，已知杆截面直径已知杆截面直径已知杆截面直径已知杆截面直径 d d 及材料的弹性常数及材料的弹性常数及材料的弹性常数及材料的弹性常数 E E,G G.求求求求C C 截面处的铅截面处的铅截面处的铅截面处的铅垂位移垂位移垂位移垂位移.不计剪力的影响。不计剪力的影响。不计剪力的影响。不计剪力的影响。A ABCalq 附加力法求位移 河南
10、理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题BCBC：弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形xA ABCalqFxABAB：弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题A ABCalq 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例 12123 图 a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角 。不计剪力对位移的影响。相对位移的计算 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 在中间铰B两侧截面处各
11、加一个外力偶矩 MB，并求 出在一对外力偶 MB 及 q 共同作用下梁的支反力（图 b）。解：解：B 截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶 MB 相应的相对角位移，即 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题（0 x l）梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB 段 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题中间铰B两侧截面的相对转角 为结果为正，表示广义位移的转向和结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。的转向一致。()（0 x l），BC 段 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例 12124 图a所示为一
12、等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（）用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F 的偏导数分别为 解：解：，河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）利用对称性，由卡氏第二定理，得 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例12-
13、512-5 图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求 A截面的铅垂位移DAy。解：解：由于刚架上 A,C 截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2同名力的处理 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题即 AB 段（0 x l）M(x)=FA x,各段的弯矩方程及其对 FA 的偏导数分别为 BC 段（0y1 l/2）M(y1)=FA l,(FA=F)(b)xFAABCDFy1y2 河南理
14、工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 CD 段 （0y2 l/2）M(y2)=FA l F y2,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（）河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题R RB B(1)去掉多余约束代之约束反去掉多余约束代之约束反(2)力，得基本静定系力，得基本静定系RB为多余反力为多余反力例题例题12-6 如图所示，梁如图所示，梁EI为常数，试求支座反力为常数，试求支座反力.A AB Blq qA Aq qB B(2)变形条件：变形条件：B点的点的 挠度为挠度为(a)12-4 用能量法解静不定问题一、解除多余约束法 河南理工大
15、学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题(4)(4)令令 yB=0,得得R RB BA Aq qB Bx x(3)用卡氏定理求用卡氏定理求 yB 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题例例12-7 求图示等截面刚架的支座反力。已知杆的抗弯刚度求图示等截面刚架的支座反力。已知杆的抗弯刚度为为EI，且不计剪切和轴力的影响。，且不计剪切和轴力的影响。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题该刚架是一次静不定，将该刚架是一次静不定，将A支座解除掉，并代之以支座解除掉，并代之以A A的支座的支座反力。根据变形比较，反力。根据变形比较，A点实
16、际的垂直位移等于零点实际的垂直位移等于零 用卡氏定理计算用卡氏定理计算A A点的垂直位移点的垂直位移BC段：段：AB段：段：q 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程求出多余约束后，不难利用刚架的平衡方程得到其他的支座反力。得到其他的支座反力。q 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题二、截断法 将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的将结构中的某杆从中间截开，并以其内力代替截开面上的受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方受力，然后利用两个截面的实际相对位移等于零，便可方便的求解静不
17、定问题。便的求解静不定问题。例例例例12-8 12-8 求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，求解图示静不定问题各杆的轴力，各杆抗拉刚度相同，均为均为均为均为EAEA。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题二、截断法 将将将将3 3杆从中间任意位移截开，并代替以杆从中间任意位移截开，并代替以杆从中间任意位移截开，并代替以杆从中间任意位移截开，并代替以3 3杆的轴力作用在杆的轴力作用在杆的轴力作用在杆的轴力作用在两个截面上（两个截面上（两个截面上（两个截面上（c c
18、）图。由和外力）图。由和外力）图。由和外力）图。由和外力F F，可写出另外两杆的轴，可写出另外两杆的轴，可写出另外两杆的轴，可写出另外两杆的轴力。列表力。列表力。列表力。列表 ：河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题则截面间的相对位移则截面间的相对位移变形比较，即变形比较，即所以所以：其余两其余两轴轴力可通力可通过过平衡方程得到平衡方程得到：河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例12-9 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量
19、法与超静定问题 解：解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (Ve 也将出现 )，必须把CABql l(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql 用 q,X 表示。由 ，得 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题CB,AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为 ，由 ，得 l(b)yFCxxXFAxFAyCABql 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题解得 （）和图示方向相反。（）（）（）由平衡条件得 l(b)yFCxxXFAxFAyCABql 河南理工大学土木工程学
20、院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 例例12-10 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 解：解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。(a)但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第12章 能量法与超静定问题