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1、第五节：静电场的环路定理与电势 电场力做功、电势电场力做功、电势q静电场性质：静电场性质：1.进入电场的任何带电体都受电场作用力进入电场的任何带电体都受电场作用力2.电场力；电场力；2.带电体在电场中移动时，电场力对带电体带电体在电场中移动时，电场力对带电体3.做功。做功。一一.静电场力的功静电场力的功试验电荷试验电荷q0 在电荷在电荷q 的场中，由的场中，由 a 点点运动至运动至b 点，计算电场力所做的功：点，计算电场力所做的功：q0 在场中受力在场中受力q0 的位移（元）的位移（元）电场力作元功电场力作元功其中其中则则q静电场力对静电场力对点电荷做点电荷做功功静电场力的功静电场力的功q0q
2、abL静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关,只由始末位置决定。只由始末位置决定。故故即：在即：在dl 线元上，电场力做功的有效位移为线元上，电场力做功的有效位移为dr q 考虑闭合积分路径：考虑闭合积分路径：环量描述了流场的环量描述了流场的旋转程度。旋转程度。q 场强环路定理场强环路定理则则即即 场强环路定理场强环路定理 静电力是保守力静电力是保守力,静电场是有势场。静电场是有势场。由于静电场做功的环路积分只与初、末态相关，由于静电场做功的环路积分只与初、末态相关，当环路循环一周时，初、末态值相等。当环路循环一周时，初、末态值相等。由斯托克斯公式由斯托克斯公式静电场是无旋场静电场是无旋
3、场q 静电场的旋度静电场的旋度 则则 旋度旋度耐普拉算子耐普拉算子 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 的散度的散度(divergence)的旋度的旋度(rotation)III静电力是保守力静电力是保守力 即即q0在静电力作用下，从在静电力作用下，从P点沿路径点沿路径I到到Q和沿路径和沿路径II到到Q的结果一样，与路径的选取无关，只与起点的结果一样，与路径的选取无关，只与起点P和终点和终点Q的位置相关，则静电场为保守力场。的位置相关，则静电场为保守力场。保守力场可定义势能。保守力场可定义势能。二二.电势能电势能保守力做功等于势能增量的负值。保守力做功等于势能增量的负值。即系统做功，系统势能减少。即系统
4、做功，系统势能减少。一般令参考点为一般令参考点为远处，即远处，即q0 在在远时，电势能远时，电势能W=0，则则a点的电势能点的电势能 设试验电荷设试验电荷q0 在电场力作用下，在电场力作用下，自场中自场中a 点点运动至运动至b 点，势能减少：点，势能减少：系统做功分为：正功、负功。系统做功分为：正功、负功。当选定零势能点后，可以定义各点的势能。当选定零势能点后，可以定义各点的势能。1.Wa 等于电荷等于电荷q0自自a点移至点移至远电场力的功；远电场力的功；1.电势能属于电场（电势能属于电场（q 激发）和电荷（激发）和电荷（q0）共有；共有；2.电势能是标量，但是有正、有负；电势能是标量，但是有
5、正、有负；3.电势能的参考点是可任选的。电势能的参考点是可任选的。或或【讨论讨论】：依此依此2.Wa 等于电荷等于电荷q0自自远移至远移至a点外力作的功。点外力作的功。三三.电势电势 Wa 不仅与电场有关，还与不仅与电场有关，还与q0 有关，不是仅描述电场的量。有关，不是仅描述电场的量。定义：定义：电势电势1.电势电势Ua 等于单位正电荷自等于单位正电荷自a点移至点移至远远电场力电场力的功，的功，或等于单位正电荷自或等于单位正电荷自远移至远移至a点点外力外力的功；的功；2.电势是电势是标量标量，但是有正、有负；，但是有正、有负；3.原则上，零电势点是可原则上，零电势点是可任选任选的；的；理论上
6、，一般取理论上，一般取远处远处电势为零；电势为零；实际中，一般选实际中，一般选大地大地为零；为零；【讨论讨论】：4.电势差（电压）电势差（电压）5.电场力的功电场力的功a、b两点之间电势差：两点之间电势差：单位正电荷从单位正电荷从a点移动到点移动到b点过程中，电场力做的功。点过程中，电场力做的功。电力线方向为电势降落最快的方向电力线方向为电势降落最快的方向三个引理三个引理引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。引引理二：若所有导体的电势为理二：若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势，则导体以外空间的电势处处为处处为0。推广：推
7、广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为（设为U0），则空间电势等于常量），则空间电势等于常量U0。引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等。引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等。引理二引理二(+)引理三可推论：引理三可推论：所有导体都不带电的情况下所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量。空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量。三个引理的证明三个引理的证明l引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值大值和极小值l证明（反证）若有极大，则证明（反
8、证）若有极大，则极大极大极小极小n若有极小，同样证明若有极小，同样证明l引理二：若所有导体的电势引理二：若所有导体的电势为为0，则导体以外空间的电，则导体以外空间的电势处处为势处处为0n证明（反证）证明（反证）在无电荷空间里电势分布连续在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于变化，若空间有电势大于0（或小于（或小于0）的点，而边界上）的点，而边界上电势又处处等于零电势又处处等于零必出现必出现极大值或极小值极大值或极小值矛盾矛盾n推广：若完全由导体所包围的空间里各导推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为体的电势都相等（设为U0），则空间电势等则空间电势等于常量于常量U0
9、即即意味着空间电势意味着空间电势有极大值，违背引有极大值，违背引理一理一引理三：若所有导体都不带电，引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等则各导体的电势都相等l l证明（反证）证明（反证）l l若不相等，必有一个最高，若不相等，必有一个最高，若不相等，必有一个最高，若不相等，必有一个最高，如图设如图设如图设如图设U U1 1UU2 2、U U3 3，导体导体导体导体1 1是电场线的起点是电场线的起点是电场线的起点是电场线的起点其表面只有正电荷其表面只有正电荷其表面只有正电荷其表面只有正电荷导体导体导体导体1 1上的总电量不为上的总电量不为上的总电量不为上的总电量不为0 0与前提矛盾与
10、前提矛盾与前提矛盾与前提矛盾n引理二引理二()引理三可推论：所有导体都不带电的引理三可推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量量叠加原理叠加原理在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，给予两组边界条件：给予两组边界条件：l1 1：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk（或总电量或总电量Qk）l2 2：给定每个导体的电势给定每个导体的电势Uk（或总电量或总电量Qk)设电势设电势U、U分别分别满足上述边界条件，则它们的满足上述边界条件，则它们的线性组合线性组合 U=a U+b U必
11、满足条件必满足条件:每个导体的电势为每个导体的电势为 Uk=a Uk+b U k （或总电量（或总电量Qk=a Qk +b Q k）特例特例 ：取取Uk U k及及(a=1,b=-1)，则则U=UU=0，每个导体的电势为每个导体的电势为0 0 。2.点荷系场的电势点荷系场的电势 电势叠加原理电势叠加原理 1.点电荷场的电势点电荷场的电势 四四.电势的计算电势的计算 所以所以3.连续电荷场的电势连续电荷场的电势 线电荷分布线电荷分布面电荷分布面电荷分布体电荷分布体电荷分布由由可得可得【例题例题】：计算电偶极子在任意一点计算电偶极子在任意一点P 处的电势。处的电势。+【解解】：【例题例题】：计算均
12、匀带电球面内外的电势。计算均匀带电球面内外的电势。【解解】：设球面半径设球面半径R，电量电量Q ROU r 球面电荷球面电荷U-r 线线球外（球外（r R）:均匀带电球面内外电势的分布如图均匀带电球面内外电势的分布如图 U-r 曲线。曲线。球面内为等势体。球面内为等势体。球球内（内（r R）:【例题例题】：计算均匀带电球体内外的电势。计算均匀带电球体内外的电势。【解解】：设设球面半径球面半径R，电量电量Q球外（球外（r R）:均匀带电球面内外电势的分布如图均匀带电球面内外电势的分布如图 U-r 曲线。曲线。球球内（内（r R）:ROU r 球面电荷球面电荷U-r 线线【例例】：求均匀长直线电荷
13、电势的分布。求均匀长直线电荷电势的分布。【解解】：设电荷线密度为设电荷线密度为，任一点任一点P 距线电荷距线电荷r 远，见图。远，见图。如设如设U=0 若设若设U0=0 Pa 直线电荷的电势直线电荷的电势 怎样选择电势零点？怎样选择电势零点？Pa 直线电荷的电势直线电荷的电势 常常取常常取 a=1，则则可设其他任意处电势为零可设其他任意处电势为零，例如令例如令Ua=0，则，则 当当在均匀电场在均匀电场E0中放入一个点电荷中放入一个点电荷q，则空间电势如何？，则空间电势如何？E0q对于均匀电场，不能取无穷远处为零电势，对于均匀电场，不能取无穷远处为零电势，对于点电荷，不能取电荷本身位置（坐标原点
14、）为零电势对于点电荷，不能取电荷本身位置（坐标原点）为零电势若取原点为零电势，若取原点为零电势，均匀电场单独均匀电场单独存在时的电势为：存在时的电势为：对于任意一点对于任意一点p，pq qr若取无穷远处为零电势，若取无穷远处为零电势，点电荷单独点电荷单独存在时的电势为：存在时的电势为：选择除去无穷远处、原点以外的任意一点为零电势，选择除去无穷远处、原点以外的任意一点为零电势，对于任意一点对于任意一点p的电势为：的电势为：E0qpq qr其中其中U0是个定值，当零电势点选定后，是个定值，当零电势点选定后，U0就唯一确定。就唯一确定。U0怎样求得？怎样求得？五五.等势面等势面 等势面（线、体）是电
15、场中电势相等的点的集合。等势面（线、体）是电场中电势相等的点的集合。1.等势面与电力线处处正交；等势面与电力线处处正交；2.场强指向电势降落方向；场强指向电势降落方向；3.等势面密的地方电场强。等势面密的地方电场强。4.电场线不可能穿过等势面两次。电场线不可能穿过等势面两次。【有有】：相邻等势面间电势差相等。相邻等势面间电势差相等。电力线与等势面电力线与等势面 电荷沿等势面（线、体）运电荷沿等势面（线、体）运动时电场力不做功。动时电场力不做功。电力线与等势面电力线与等势面1.大小：大小：等于沿等势面法向的电势增长率等于沿等势面法向的电势增长率2.即沿等势面法向单位距离间的电势差；即沿等势面法向
16、单位距离间的电势差；3.2.方向：方向：是该点电势沿空间增加率最大的方向。是该点电势沿空间增加率最大的方向。六六.电势梯度电势梯度如图如图,相邻等势面相邻等势面a和和 b的的电势依次为电势依次为U 和和U+dU 且且dU0。因为因为pabUU+dU 电势梯度电势梯度所以所以【定义定义】：电势梯度矢量电势梯度矢量【讨论讨论】：或或【注注】：是矢量是矢量在在方向的分量。方向的分量。电势梯度与电场强度电势梯度与电场强度则则即即或或pabUU+dU 电势梯度与电场强度电势梯度与电场强度等势面等势面a与与b之间的电势差之间的电势差分量式分量式矢量式矢量式1.静电场中任一场点的场强方向与电势增长率最大的静
17、电场中任一场点的场强方向与电势增长率最大的方向相反；方向相反；2.静电场中任一场点的场强大小与电势增长率最大值静电场中任一场点的场强大小与电势增长率最大值相等。相等。提供了由空间一点的电势提供了由空间一点的电势求电场的关系式求电场的关系式a+q-q 电偶极子的电场电偶极子的电场 r-r+与与 夹角夹角 由图由图代入上式得代入上式得电场强度电场强度【例例】：求求电偶极子电势与电场的分布。电偶极子电势与电场的分布。【解解】：设电偶极子设电偶极子 ，任一点，任一点a距离中心距离中心r，极角极角。则电势则电势静电场的基本方程的微分形式静电场的基本方程的微分形式l l数学场论公式数学场论公式n对静电场方程积分形式进行变换可以得到对静电场方程积分形式进行变换可以得到一组静电场的一组静电场的基本微分方程基本微分方程有源有源无旋无旋场方程的微分形式场方程的微分形式静电场的基本静电场的基本微分方程微分方程作业：作业：1515，1616，1818，2020