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1、第一节第一节 第二型曲面积分第二型曲面积分一、一、第二型曲面积分的概念和性质第二型曲面积分的概念和性质二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算1 1 定向曲面定向曲面2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念3 3 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质1 1 分面投影法分面投影法2 2 合一投影法合一投影法1 1 定向曲面定向曲面观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧能区分出曲面的侧能区分出曲面的侧 的曲面叫做的曲面叫做双侧曲面双侧曲面.一、一、第二型曲面积分的概念和性质第二型曲面积
2、分的概念和性质典型典型双侧曲面双侧曲面选定了侧的双侧曲面称为选定了侧的双侧曲面称为定向曲面定向曲面或或有向曲面有向曲面.用用表示选定了某个侧的定向曲面，表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相反侧的定向曲面用则选定其相反侧的定向曲面用表示表示.注意注意：与与是不同的曲面是不同的曲面.1 1 定向曲面定向曲面规定规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧是指向曲面取定的侧.例如例如，空间直角坐标系中，空间直角坐标系中 x轴指向轴指向前方前方，y轴指向轴指向右方右方，z轴指向轴指向上方上方。yzO x1 1 定向曲面定向曲面取上侧，取上侧，则它在点则
3、它在点(x,y,z(x,y)处的处的法向量取法向量取S S,),(yxzz=的方程为：的方程为：若光滑曲面若光滑曲面S S即即 与与oz 轴正向交成锐角轴正向交成锐角关于关于oz 轴的方向余弦轴的方向余弦1 1 定向曲面定向曲面取下侧，取下侧，则它在点则它在点(x,y,z(x,y)处的处的法向量取法向量取S S,),(yxzz=的方程为：的方程为：若光滑曲面若光滑曲面S S即即 与与oz 轴正向交角为钝角轴正向交角为钝角关于关于oz 轴的方向余弦轴的方向余弦1 1 定向曲面定向曲面光滑曲面光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为：的右侧和左侧的法向量分别为：光滑曲面光滑曲面x=x(y
4、,z)的前侧和后侧的法向量分别为：的前侧和后侧的法向量分别为：1 1 定向曲面定向曲面光滑曲面光滑曲面由参数方程：由参数方程：则它的则它的侧由法向量：侧由法向量：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).选定选定“+”号或号或“”号确定号确定例例1 在球坐标系下单位球面表示为在球坐标系下单位球面表示为1 1 定向曲面定向曲面典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 设设 表示流体的流速场，表示流体的流速场，为场为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧经曲面经曲面流向正侧的流
5、量。流向正侧的流量。实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.分割分割把曲面把曲面细分成小块细分成小块 任取任取任取一典型的任取一典型的微元微元 在其上在其上任取一点任取一点 设其面积也记成设其面积也记成 曲面曲面在在点点 处的单位法向量处的单位法向量MSdS 单位时间流经曲面微元单位时间流经曲面微元 的流量的流量 可近似地看做可近似地看做一细柱体，底面为一细柱体，底面为 ，高为，高为 故故 求和求和 单位时间流经单位时间流经的流量：的流量：取极限取极限流量流量 的精确值的精确值，取极限得到，取极限得到2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 定义定义1:1:设设 是一向量场，是
6、一向量场，是场是场中的一定向曲面，称中的一定向曲面，称为向量场为向量场 流经曲面流经曲面的的通量通量通量通量.记记当当 是电位移向量，则是电位移向量，则 就是穿过曲面就是穿过曲面的电通量，的电通量，当当 是磁感应强度，则是磁感应强度，则 就是穿过曲面就是穿过曲面的磁通量的磁通量.2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念则则 在单位时间流经曲面在单位时间流经曲面的通量的通量为为为为2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 定义定义2:2:设设是一片光滑的定向曲面，向量函数是一片光滑的定向曲面，向量函数 在在上有界，上有界，是是上点上点(x,y,z)处处的的 单位向量，若曲面积分单
7、位向量，若曲面积分 存在，则称此积分为存在，则称此积分为 沿曲面沿曲面的第二的第二 型积分。其中型积分。其中 称为定向曲面积分微元，称为定向曲面积分微元，(1.2)若记若记2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 则则 这时第二型曲面积分这时第二型曲面积分(1.2)(1.2)也可写成也可写成 第二型曲面积分又称为第二型曲面积分又称为对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分。2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 曲面积分曲面积分 都是第二型曲面积分。例如：都是第二型曲面积分。例如：可理可理解为解为 沿沿的第二型曲的第二型曲面积分。面积分。2 2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概
8、念2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念3 3 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质(1(1)（线性）（线性）其中，其中，和和 为常数为常数.(2(2)（可加性）设（可加性）设 且且 则则 (4(4)（长大不等式）（长大不等式）设设 则则 (3(3)设设 表示相对表示相对 的负侧，则的负侧，则3 3 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质第二型曲面积分主要化为二重积分计算第二型曲面积分主要化为二重积分计算二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算1 1 分面投影法分面投影法 设光滑曲面设光滑曲面是由是由定义在投影区域定义在投影区域 的的单值函数单值函数z=z(x,y)表示表示
9、则则其中，面积微元其中，面积微元 是是dS在在xoy平面的投影平面的投影.因此，在第二型曲面积分，因此，在第二型曲面积分，而，而，二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 若过投影区域若过投影区域 的点作平行于的点作平行于oz轴的直线和曲轴的直线和曲面面的交点多于一的交点多于一个，则可把个，则可把分割成若干个小片，分割成若干个小片，使每个小片均与平行于使每个小片均与平行于oz轴的直线的交点不多于轴的直线的交点不多于一个，然后利用积分可加性计算沿曲面一个，然后利用积分可加性计算沿曲面的积分。的积分。若曲面若曲面由单值函数由单值函数 是它在是
10、它在zox平面的投影区域平面的投影区域；若曲面若曲面由单值函数由单值函数 是是在在yozyoz平面平面的投影区域。的投影区域。都有相类似的结果，参见课本都有相类似的结果，参见课本P260P260页。页。二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算例例3 3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面的外侧并满足的外侧并满足的部分。的部分。解解 把把分成上下两片，即分成上下两片，即位于第一卦限的部分位于第一卦限的部分 和和位于第二卦限的部分位于第二卦限的部分 ，它们在它们在xoy平面的投影区域平面的投影区域O yz x二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算上侧上侧下侧下侧二、二、
11、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算O yz x解：解：例例4 4 设设是由以是由以O O(0,0,0),A A(1,0,0),B B(0,1,0)和和C C(0,0,1)为顶点的四面体为顶点的四面体OABCOABC的表面，取外侧，求向量场的表面，取外侧，求向量场 通过通过的通量的通量 。C(0,0,1)B(0,1,0)A(1,0,0)OABOAB的方程是的方程是二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算由由(1.14)(1.14)和和(1.13)(1.13)知知故故同理同理二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算面面ABC ABC 的方程为的方程为x+y+z=1，上侧单位法
12、向量可取，上侧单位法向量可取 ，故，故所以所以通量通量 由例由例2 2看到，我们可把第二型曲面积分化为相应坐看到，我们可把第二型曲面积分化为相应坐标面的投影区域的二重积分进行计算，称这种方法标面的投影区域的二重积分进行计算，称这种方法为为“分面投影法分面投影法”。二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 注记注记 利用第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系也利用第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系也可以计算沿面可以计算沿面ABC ABC 的积分。的积分。二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算2 2 合一投影法合一投影法 把三种类型的积分转化为对同一坐标面的积分把三种类型的积分转
13、化为对同一坐标面的积分.因因 例如，例如，设曲面设曲面的方程为的方程为它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向量为量为故故二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算于是于是然后化为对然后化为对xoy平面的二重积分平面的二重积分.若若的方程为的方程为 则则二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算故故例如例如，在例，在例3 3中的面中的面ABC ABC 由方程：由方程：表示，沿表示，沿ABC 的积分的积分二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算例例5 5 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中是旋转抛物面是旋转抛物面 介于介
14、于 及及之间的部分，取下侧。之间的部分，取下侧。ozxy解：解：曲面曲面在在xoy平面的投影区域平面的投影区域又又二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算由由(1.16),得得因因 关于关于y y轴对称，轴对称，关于关于x是奇函数，故是奇函数，故 二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 实际上，如果化为二次积分，在利用定积分的性实际上，如果化为二次积分，在利用定积分的性质便有，质便有，又又 关于直线关于直线 y=x 对称对称，故有，故有 因此因此 二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 若曲面若曲面由方程由方程表示，则类似的讨论可知表示，则类似的讨论可知二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 若曲面若曲面由方程由方程表示，则类似的讨论可知表示，则类似的讨论可知二、二、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算