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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五节第五节 极限运算法则极限运算法则二、极限四则运算法则二、极限四则运算法则四、小结四、小结 思考题思考题一、无穷小的性质一、无穷小的性质三、复合函数的极限三、复合函数的极限1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、无穷小的运算性质【教材上证明的是【教材上证明的是xx0时的情形】时的情形】【定理【定理1 1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【证】【证】考虑两个无穷小之和，且仅证考虑两个无穷小之和，且仅证 的情形的情形1）和的性质）和的性质2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
2、返回返回 结束结束 【注意】【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.n个个【例如】【例如】非无穷小非无穷小3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【证】【证】【定理【定理2】有界函数】有界函数 与无穷小与无穷小 的乘积是无穷小的乘积是无穷小.【分析】【分析】（仅证（仅证 时）时）（注：（注：M为定值）为定值）2）乘积的性质乘积的性质设设又设又设即即当当时时,有有取取则当则当时时,就有就有【证完】【证完】故故即即是是时的无穷小时的无穷小.4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【推论【推论1】有极限的变量与无穷小的
3、乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.【推论【推论2】常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.【推论【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小【例【例1】【解】【解】由定理由定理 2 可知：可知：【说明【说明】y=0 是是的渐近线的渐近线.5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、极限的运算法则【定理【定理3】【证】【证】由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得以下符号以下符号lim表示自变量的同一变化过程表示自变量的同一变化过程推广到推广到有限项有限项【声明】【声明】1.函数极限运算法则函数极限运算法
4、则6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由第三节定理由第三节定理3*得得7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【推论【推论1】常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.【推论【推论2】有界，有界，函数和函数和,差差,积积,商的极限等于极限的和商的极限等于极限的和,差差,积积,商商.8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理【定理4】设数列设数列【注意】【注意】定理定理3及其两个推论成立的前提条件是：及其两个推论成立的前提条件是：“f(x)与与g(x)的极限存在的极限存在”若若则则2.数列极限运算法则数列极
5、限运算法则【提示】【提示】因数列是一种特殊的函数因数列是一种特殊的函数,故此定理故此定理4 可由可由定理定理3（x情形）与海因定理直接得出结论情形）与海因定理直接得出结论.9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【定理【定理5】【证】【证】令令则则由定理由定理3可知可知由第三节函数极限的由第三节函数极限的局部保号性局部保号性的推论可知的推论可知【证完】【证完】3.极限保序性极限保序性10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例2】【解】【解】求极限方法举例求极限方法举例11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【小结】【小
6、结】需特别注意需特别注意12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解】【解】商的法则不能用商的法则不能用【例【例3】【方法】无穷大的倒数法【方法】无穷大的倒数法 x=1 时时 分母分母=0,分子分子0,但因但因13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解】【解】【例【例4】【方法】消去零因子法【方法】消去零因子法在在x1（但（但x1）时是相）时是相同的函数同的函数,故而极限相等故而极限相等14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例5】【解】【解】【方法】【方法】抓大头（以消除不定性）抓大头（以消除不定性）无穷小量分出
7、法无穷小量分出法15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【小结】【小结】以分子、分母中自变量的最高次幂除分子以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限的方法，称之然后再求极限的方法，称之.【无穷小量分出法】【无穷小量分出法】分式求极限一般有如下结果：为非负常数为非负常数)16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例6】【解】【解】先变形再求极限先变形再求极限.【方法】先变形再求极限法【方法】先变形再求极限法17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【小结】无穷多项和或积的极限的
8、一般解法是：【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是：利用夹逼准则（第六节内容介绍）利用夹逼准则（第六节内容介绍）把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之.【特别注意】【特别注意】含无穷多项和或积的极限，不能逐项求含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极限极限.应先写为有限表达式，再求极限应先写为有限表达式，再求极限.18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例7】【解】【解】左右极限存在且相等左右极限存在且相等,【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限.19机动机动
9、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、复合函数的极限法则【分析】【分析】需证需证有有1.【定理【定理6】20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【证明】【证明】有有有有（1）（2）21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【意义】【意义】（换元法求极限）（换元法求极限）（1）（）（2）两式同时成立两式同时成立即即从而从而此即此即【证完】【证完】22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【注意】【注意】为方便记忆，定理为方便记忆，定理6可简单的叙述为可简单的叙述为内层函数极限存在、外层函数极限也存在，内层函数极
10、限存在、外层函数极限也存在，则复合后的函数极限必存在则复合后的函数极限必存在.(.(不严格不严格)若定理若定理6中中则类似可得则类似可得2、【、【方法】方法】直接代入法直接代入法23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例8】【解】【解】【方法】先有理化后可变为【方法】先有理化后可变为定式定式24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、小结1.【极限运算法则】【极限运算法则】(1)无穷小运算性质无穷小运算性质(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件25机动机动 目录目录 上页
11、上页 下页下页 返回返回 结束结束 (4)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量(2)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限(3)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限2.【求函数极限的方法】【求函数极限的方法】(1)多项式、分式函数极限求法多项式、分式函数极限求法1)xx0时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)2)xx0时时,对对型型,消去无穷小公因子消去无穷小公因子3)x时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”无穷小因子分出法无穷小因子分出法26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题】【思考题】在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？为什么？为什么？（提示：用反证法）（提示：用反证法）27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题解答】【思考题解答】没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误28