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1、26.1 26.1 反比例函数反比例函数人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册26.1.2 26.1.2 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质(第第2 2课时课时)二、四二、四象限象限一、三一、三象限象限函数函数正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数解析式解析式图象形图象形状状K0 K0位位置置增增减减性性位位置置增增减减性性y=kx (k0)直线直线 双曲线双曲线 y随随x的增的增大而增大大而增大一、三一、三象限象限在每个象限在每个象限,y随随x的的增大而减小增大而减小二、四二、四象限象限 y随随x的增的增大而减小大而减小在每个象限在每个象限,y随随x的的增大而增大增大而增
2、大正比正比例函例函数和数和反比反比例函例函数的数的区别区别用对比的方法用对比的方法去记忆效果如去记忆效果如何何?导入新知导入新知yxoyxooyxoyx3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会体会数形结合数形结合及及转化转化的思想方法的思想方法.1.理解反比例函数的理解反比例函数的系数系数 k 的几何意义的几何意义,并将并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题能解决反比例函数与一次函数的综合问题素养目标素养目标 已知反比例函数的图象经过点已知反比例函数的图象经过点A(2,
3、6).).(1)这个函数的图象分布在哪些象限这个函数的图象分布在哪些象限?y随随x的增大如何变化的增大如何变化?(2)点点B(3,4)、C(）和）和D（2,5）是否在这个）是否在这个函数的图象上函数的图象上?探究新知探究新知知识点知识点 1利用待定系数法确定反比例函数解析式利用待定系数法确定反比例函数解析式解解:（1 1）因为点）因为点A（2,6）在第一象限）在第一象限,所以所以这个函数的图这个函数的图象在第象在第一一、第、第三三象限象限,在每个象限内在每个象限内,y随随x的增大而的增大而减小减小.解解:（2 2）设这个反比例函数的解析式为）设这个反比例函数的解析式为 ,因为点因为点A (2,
4、6)在其图象上在其图象上,所以有所以有 ,解得解得 k=12.因为点因为点 B,C 的坐标都满足该解析式的坐标都满足该解析式,而点而点D的坐标不的坐标不满足满足,所以点所以点 B,C 在这个函数的图象上在这个函数的图象上,点点 D 不在这不在这个函数的图象上个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为所以反比例函数的解析式为 .探究新知探究新知方法总结方法总结:已知反比例函数图象上一点已知反比例函数图象上一点,可以根据坐标确定点所可以根据坐标确定点所在的象限在的象限,然后确定反比例函数的性质然后确定反比例函数的性质.或或用用待定系数法待定系数法求出反求出反比例函数的解析式比例函数的解析式,再判断图
5、象性质再判断图象性质;要判断所给的点是否在该要判断所给的点是否在该图象上图象上,可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中,若满足若满足左边右边左边右边,则在则在;若不满足左边右边若不满足左边右边,则不在则不在 【讨论讨论】已知反比例函数图象上的一点已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性如何确定其图象的性质质?以及所给的点是否在该图象上以及所给的点是否在该图象上?探究新知探究新知 已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过的图象经过点点 A(2,3)(1)求这个函数的表达式求这个函数的表达式;解解:反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点 A(
6、2,3),),把点把点 A 的坐标代入表达式的坐标代入表达式,得得 ,解得解得 k=6.这个函数的表达式为这个函数的表达式为 .巩固练习巩固练习(2)判断点判断点 B(1,6),),C(3,2)是否在这个函数的图象上是否在这个函数的图象上,并说明理由并说明理由;解解:分别把点分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析式的坐标代入反比例函数的解析式,因因为点为点 B 的坐标不满足该解析式的坐标不满足该解析式,点点C的坐标满足该解析的坐标满足该解析式式,所以所以点点 B 不在该函数的图象上不在该函数的图象上,点点C 在该函数的图在该函数的图象上象上巩固练习巩固练习 (3)当当 3 x 0,当当
7、x 0 时时,y 随随 x 的的增大而减小增大而减小,当当 3 x 1 时时,6 y a,那那 么么b和和b有怎有怎样的大小关系样的大小关系?反比例函数的综合性题目反比例函数的综合性题目（）m5,在这个函数图象的任一支上在这个函数图象的任一支上,y随随x的的增大而减增大而减小小,当当aa时时,bb【思考思考】根据反比例函数的部分图象根据反比例函数的部分图象,如何确定其完如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围整图象的位置以及比例系数的取值范围?注注:由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函因此函数数y随随x的增减性就不能连续的看的增减性就不能连
8、续的看,一定要强调一定要强调“在每一在每一象限内象限内”,否则否则,笼统说笼统说k0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大,从而从而出现错误出现错误.探究新知探究新知 如图如图,是反比例函数是反比例函数 的图象的一个分支的图象的一个分支,对于对于 给出的下列说法给出的下列说法:常数常数k的取值范围是的取值范围是 ;另一个分支在第三象限另一个分支在第三象限;在函数图象上取点在函数图象上取点 和和 ,当当 时时,;在函数图象的某一个分支上取点在函数图象的某一个分支上取点 和和 ,当当 时时,其中正确的是其中正确的是_（在横线上填出正确的序号）（在横线上填出正确的序号）巩固练习巩固练习 Oxy 在反
9、比例函数在反比例函数 的图象上分别取点的图象上分别取点P,Q 向向 x 轴、轴、y 轴作垂线轴作垂线,围成面积围成面积分别分别为为S1,S2的矩的矩形形,填写下页表填写下页表格格:知识点知识点 3反比例函数中反比例函数中k的几何意义的几何意义探究新知探究新知5123415xyOPS S1 1 S S2 2P(2,2)Q(4,1)S1的值的值S2的值的值 S1与与S2的关系的关系猜想猜想 S1,S2 与与 k的关的关系系 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451Q探究新知探究新知S1的值的值 S2的值的值S1与与S2的关系的关系猜想与猜想与k 的关系的关系P(1,4)Q(2,2)
10、若在反比例函数若在反比例函数 中也用中也用同样的方法分别取同样的方法分别取 P,Q 两点两点,填写填写表格表格:4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQS S1 1 S S2 2探究新知探究新知由前面的探究过程由前面的探究过程,可以猜想可以猜想:若点若点P是是 图象上的任意一点图象上的任意一点,作作 PA 垂直垂直于于 x 轴轴,作作 PB 垂直于垂直于 y 轴轴,矩形矩形AOBP 的面积与的面积与k的的关系是关系是S矩形矩形 AOBP=|k|.探究新知探究新知yxOPS我们就我们就 k 0 的情况给出证明的情况给出证明:设设点点 P 的坐标为的坐标为 (a,b)AB点点 P(a,b)在函数在
11、函数 的图的图象上象上,即即 ab=k.S矩形矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k;若若点点 P 在第二象限在第二象限,则则 a0,若点若点 P 在第四象限在第四象限,则则 a0,b0）的图象上）的图象上,横坐标是横坐标是1,过点过点B分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线轴作垂线,垂足为垂足为A、C,则矩形则矩形OABC的面的面积为（积为（）A.1 B.2 C.3 D.4B巩固练习巩固练习例例1 如图如图,点点A在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上,AC垂直垂直 x 轴于点轴于点C,且且 AOC 的面积为的面积为2,求该反比例函数的表达求该反比例函数的表达式式解解:设点设点 A 的坐标为
12、的坐标为(xA,yA),),点点A在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上,xAyAk,反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为探究新知探究新知素素养养考考点点 1通过图形面积确定通过图形面积确定k的值的值,k4,巩固练习巩固练习如图所示如图所示,过反比例函数过反比例函数 （x0）的图象上一点）的图象上一点A,作作ABx轴于点轴于点B,连接连接AO.若若SAOB=3,则则k的的值为（值为（）A.4 B.5 C.6 D.7C例例2 如图如图,P,C是函数是函数 (x0)图象上的任意两点图象上的任意两点,PA,CD 垂直于垂直于x 轴轴.设设POA 的面积为的面积为S1,则则 S1=;梯梯形形C
13、EAD 的面积为的面积为 S2,则则 S1 与与 S2 的大小关系是的大小关系是 S1 S2;POE 的面积的面积 S3 和和 S2 的大小的大小关系是关系是S2 S3.2S1S2S3探究新知探究新知素素养养考考点点 2利用利用k的性质判断图形面积的关系的性质判断图形面积的关系A.SA SBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASC0b 0k1 0k2 0b 0 xyOxyO探究新知探究新知知识点 4一次函数与反比例函数的组合图形一次函数与反比例函数的组合图形k2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO探究新知探究新知 在同一坐标系中在同一坐标系中,函数函数 和和 y=
14、k2 x+b 的图象大的图象大致如下致如下,则则 k1、k2、b各应满足什么条件各应满足什么条件?例例1 函函数数 y=kxk 与与 的图象大致是的图象大致是()D.xyOC.yyA.xB.xyODOOk0k0k0k0由一次函由一次函数增减性数增减性得得k0由一次函数与由一次函数与y轴轴交点知交点知k0,则则k0 x提示提示:可对可对 k 的正负性的正负性进行分类进行分类讨论讨论.探究新知探究新知素素养养考考点点 1根据根据k的值识别函数的图形的值识别函数的图形 在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,函数函数 与与 y=ax+1(a0)的图象可能是的图象可能是 ()()A.yxOB.yxOC.
15、yxOD.yxOB巩固练习巩固练习例例2 如图是一次函数如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数和反比例函数 的图象的图象,观察图象观察图象,当当 y1y2 时时,x 的取值范围为的取值范围为 .23yx0 2 x 3解析解析:y1y2 即一次函数图象处于反即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时比例函数图象的上方时.观察右图观察右图,探究新知探究新知素素养养考考点点 2通过函数图形确定字母的取值范围通过函数图形确定字母的取值范围方法总结方法总结:对于一些题目对于一些题目,借助借助函数图象函数图象比较大小更加简洁明了比较大小更加简洁明了.可知可知2 x 3.1x5巩固练习巩固练习如图如图,
16、直线直线y=k1x+b与双曲线与双曲线 交于交于A、B两点两点,其横坐标分别为其横坐标分别为1和和5,则不等式则不等式 的解集的解集是是_例例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3,4).).试求出它们的解析式试求出它们的解析式,并画出图象并画出图象.由于这两个函数的图象交于点由于这两个函数的图象交于点 P (3,4),),则点则点P 的坐标分别的坐标分别满足这两个解析式满足这两个解析式.解解:设设 y=k1x 和和 .所以所以 ,.解得解得 .探究新知探究新知素素养养考考点点 3利用函数的交点解答问题利用函数的交点解答问题则这
17、两个函数的解析式分别为则这两个函数的解析式分别为 和和 ,它们的图象如图所示它们的图象如图所示.这两个图象有何共同这两个图象有何共同特点特点?你能求出另外你能求出另外一个交点的坐标吗一个交点的坐标吗?说说你发现了什么说说你发现了什么?【想一想想一想】探究新知探究新知反比例函数反比例函数 的图象与正比例函数的图象与正比例函数 y=3x 的图象的的图象的交点坐标为交点坐标为 (2,6),(2,6)解析解析:联立两个函数解析式解方程得联立两个函数解析式解方程得:巩固练习巩固练习解得解得:连接中考连接中考1.如图如图,矩形矩形OABC的顶点的顶点B在在反比例函数反比例函数 （x0）的）的图图象象上上
18、S矩形矩形OABC 6,则则k yxO6ABC2.如图如图,某反比例函数图象的一支经过点某反比例函数图象的一支经过点A（2,3）和点）和点B（点（点B在在点点A的右侧的右侧）,作作BCy轴轴,垂足为点垂足为点C,连结连结AB,AC（1）求该反比例函数的解析式）求该反比例函数的解析式;（2）若）若ABC的面积为的面积为6,求直线求直线AB的表达式的表达式连接中考连接中考解解:（1）由题意得）由题意得,k=xy=23=6,反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 （2）设）设B点坐标为（点坐标为（a,b）,如图如图,作作ADBC于于D,则则D（2,b）反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点
19、B（a,b）,SABC .设设AB的解析式为的解析式为y=kx+b,将将A（2,3）,B（6,1）代入函数解析式）代入函数解析式,得得 解得解得 ,解得解得a=6,B（6,1）直线直线AB的解析式为的解析式为 .D连接中考连接中考课堂检测课堂检测D基基 础础 巩巩 固固 题题1.已知点已知点P（a,m）,Q（b,n）都在反比例函数）都在反比例函数 的图象的图象上上,且且a0b,则下列结论一定正确的是（）则下列结论一定正确的是（）Am+n0 Bm+n0 Cmn Dmny1y2课堂检测课堂检测2.已知已知A（4,y1）,B（1,y2）是反比例函数）是反比例函数 图象上的两个点图象上的两个点,则则y
20、1与与y2的大小关系为的大小关系为_k93.在在反比例函数反比例函数 图象的图象的每一支曲线上每一支曲线上,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,则则k的取值范的取值范围是围是_ 1.如图如图,正比例函数正比例函数 与反比例函数与反比例函数 的图象的图象 交于点交于点A（2,3）（1）求）求k、m的的值值;（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围的取值范围 （2）由图象可知）由图象可知,正比例函数值大于反比例函数值时正比例函数值大于反比例函数值时:x2.能能 力力 提提 升升 题题课堂检测课堂检测解解:（1）将）将A（2,3）分别代入
21、）分别代入 y=kx 和和可得可得:3=2k 和和解得解得:,m=6.课堂检测课堂检测 2.如图如图,已知反比例函数已知反比例函数 （x0）的图象与一次函数）的图象与一次函数 的图象交于的图象交于A和和B（6,n）两点）两点（1）求）求 k和和n的值的值;（2）若点）若点C（x,y）也在反比例函数）也在反比例函数 （x0）的图象上）的图象上,求当求当2 x 6时时,函数值函数值 y的取值范围的取值范围课堂检测课堂检测解解:（1）当）当x=6时时,点点B的坐标为（的坐标为（6,1）反比例函数反比例函数 过点过点B（6,1）,k=61=6（2）k=60,当当x0时时,y随随x值增大而值增大而减小减
22、小,当当2 x 6时时,1 y 3AyOBx 如图如图,反比例函数反比例函数 与一次函与一次函数数 y=x+2 的图象交于的图象交于 A,B 两点两点.(1)求求 A,B 两点的坐标两点的坐标;解解:y=x+2,解得解得 x=4,y=2 所以所以A(2,4),B(4,2).或或 x=2,y=4.课堂检测课堂检测拓拓 广广 探探 索索 题题 作作ACx轴于轴于C,BDx轴于轴于D,则则AC=4,BD=2.(2)求求AOB的面积的面积.解解:一次函数与一次函数与x轴的交点为轴的交点为M(2,0),OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2,SOMA=OMAC2=242=4,SAOB
23、=SOMB+SOMA=2+4=6.课堂检测课堂检测面积问题面积问题与一次函与一次函数的综合数的综合反反比比例例函函数数图图象象和和性性质质的的综综合合运运用用课堂小结课堂小结面积不变性面积不变性反比例函数的图象是一个以原点为反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形对称中心的中心对称图形,其与正其与正比例函数的交点比例函数的交点关于原点中心对称关于原点中心对称判断反比例函数和一次函数在同一直判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象角坐标系中的图象,要对系数进行要对系数进行分分类讨论类讨论,并注意并注意b 的正负的正负课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩课堂七彩课堂 伴你成长伴你成长谢 谢 观 看