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1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广推广中值定理 与导数应用 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 几何猜想几何猜想:那么显然有那么显然有 f(a)=f(b).如图如图一条平面曲线一条平面曲线 ,它连续不断且其上各点都有切线它连续不断且其上各点都有切线,那那么么 上至少有一点上至少有一点C存在存在,使得曲线在点使得曲线在点C处的切线与处的切线与弦弦AB平行平行.试从上诉猜想出发引出
2、相应的试从上诉猜想出发引出相应的分析分析命题命题.如图解解:为将几何猜想转化为分析命题猜想转化为分析命题,必须把必须把 视为视为某函数的图像某函数的图像.于是于是,应先取定坐标系应先取定坐标系,然后再确定函数然后再确定函数的表达式的表达式.如果取如果取Ox轴与弦轴与弦AB平行平行,且弧且弧 的方程表示为的方程表示为下面将几何猜想转化为分析命题下面将几何猜想转化为分析命题一条平面曲线一条平面曲线 ,它连续不断且其上各点都有切线它连续不断且其上各点都有切线,那那么在么在 上上 至少有一点至少有一点C存在存在,使得曲线在点使得曲线在点C处的切线处的切线与弦与弦AB平行平行.解解:函数(1)在区间 a
3、,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点满足这就是罗尔定理罗尔定理如果取如果取Ox轴与弦轴与弦AB平行平行,一条平面曲线一条平面曲线 ,它连续不断且其上各点都有切线它连续不断且其上各点都有切线,那那么在么在 上上 至少有一点至少有一点C存在存在,使得曲线在点使得曲线在点C处的切线处的切线与弦与弦AB平行平行.解解:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点这就是拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果所取Ox轴与弦轴与弦AB不平行不平行,且弧且弧 的方程仍为定理的证明定理的证明罗尔
4、（罗尔（Rolle）定理）定理是微分中值定是微分中值定理的基石理的基石.为了证明它为了证明它,我们找出点我们找出点C我们将弦我们将弦AB向下向下(或上或上)平移平移,动直线移到即将脱离弧且动直线移到即将脱离弧且与弧仅有最后一个交点与弧仅有最后一个交点C时时,过点过点C的动直线就是弧在点的动直线就是弧在点C的切线的切线.此时点此时点C为为 ,为为f(x)的最小的最小(或大或大)值值.于是我们找到了所求点于是我们找到了所求点 (当然当然 只须是只须是极值点极值点即可即可)下面利用闭区间上连续函数的最值定理严格证明下面利用闭区间上连续函数的最值定理严格证明.费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一
5、、罗尔(Rolle)定理定理且 存在证证:设则证毕通常称导数等于零的点为函数的驻点通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点或稳定点,临界点临界点)罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得 使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存
6、在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.例例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕拉格朗日中值定理的有限增量
7、形式:令则而式(1)微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理还有如下表示形式:此公式对于 也成立推论推论1:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证证:在 I 上任取两点日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.推论推论2:若函数都在区间 I 上可微,且则必有例例2.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上例例3.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有柯西中值定理柯西中值定理注意:弦的斜率切线斜率三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2
8、)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.例例4.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明例例5.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:例例5.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及
9、关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.求证存在使4.设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得设 证明对任
10、意有证证：5.不妨设完教材习题教材习题提示提示:13.令12.考虑第二节 目录 上页 下页 返回 结束 10.令 在上满足罗尔定理 11.在a,b上应用柯西中值定理.作业题7.分x0,x0,x0两种情况证明.柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,6.证明令证明：即：即：作业答案作业答案.P31 (5)解解：而由定义P33 (10)综上则当 时,时,所以 不存在.所以 不存在.故作业答案作业答案.P32 (6)两边对x求导,得解解：两边取对数,得于是P32 (7)两边取对数,得