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1、1 八年级数学上册复习提纲第 11 章数的开方11.1 平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质： （1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a0。三、平方根和算术平方根是记号：平方根a（读作：正负根号a） ；算术
2、平方根a（读作根号a）即： “a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根； “a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。 负数没有平方根， 被开方数a必须为非负数， 即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a） ，a称为被开方数，“3”称为
3、根指数。3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、 “a” 、 “a” 、 “3a”的实质意义：“a”问：哪个数的平方是a；“a”问：哪个非负数的平方是a； “3a”问：哪个数的立方是a。2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。如：若3x有意义，则x取值范围是。 （x-30，x3）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2 （填
4、：x3）若32009x有意义，则x取值范围是。 （填：全体实数）3、33aa。如：3273，3273，3327274、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如：256710等。23和 32怎么比较大小？ （你知道吗？不知道就问！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ）5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定7的取值范围。479，273。6、 几个常见的算数平方根的值：414.12，732.13，236.25，449.26，646.27。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义：形如a（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根
5、式的性质： (1)baab?（a0，b0） ；(2) baba（a0，b0） ；(3) aa2)(（a0） ； (4) |2aa3、二次根式的乘除法：（1）乘法：abba ?（a0，b0） ； （2）除法：baba（a0，b0）11.2 实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：256710，2532617102，等。（2） “”类的数。如：，3，1，2等。（3）无限不循环小数。如： 2.1010010001，-0.234242242224 ，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实
6、数a的相反数为 -a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒数：非零实数a的倒数为a1（a0） 。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：)0()0( 0)0(|aaaaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 3 3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：5、几个“非负数”： （1）a20； （2）
7、|a|0； （3）a0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第 12 章整式的乘除12.1 幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+ （m、n、p均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；(2)3(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8 （2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则
8、： (am)n=amn（m、n均为正整数）。推广： (am)nps=amn p s文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=23=6；(2)34=(2)34=(2)12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8 （2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则： (ab)n=anbn（n为正整数）。推广： (acde)n=ancndnen文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也
9、可以是代数式等。如：(2)3=222=42；(23)2=(2)2(3)2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2 （2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：2333= (2 3)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：aman=am-n（m、n均为正整数，mn，a0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
10、- - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4 （1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：43=4-3= ；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；(2)6(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a0 这个条件。（3） 注意该法则的逆应用， 即：am-n=aman； 如：ax-y=axay， (x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字
11、母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)(-4b2c)(-23ab)=(-5)(-4) (-23) (a2a)(b2b2)c=-30a3b4c 二、单项式与多项式相乘法则： （乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：22( 3)(21)xxx(-3x2)(-x2)+(-3x2)2x一(-3x2) 1=432363xxx三、多项式与多项式相乘法则： （1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2) 把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每
12、一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式： (a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
13、（3）注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式： (ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 5 如： (2+3)2=(2)2+223+32=2+62+9=11+62； (mn-a)2=(mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b
14、+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套用” ；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号” 。3、补充公式： (a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c3ab=(-21 3)a2-1b3-1c =-7ab2c （2x2y）3 （-7xy2）14x4y3=8x6y3 （-7xy2）14x4y3=8（-7）
15、x6+1y3+214x4y3=（-5614） x7-4y5-3=-4x3y25 （2a+b ）4 （2a+b ）2= （51） （2a+b ）4-2=5 （2a+bz2=5 （4a2+4ab+b2） =20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则： （乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y 4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x
16、-y)=4y-2x 整式的运算顺序：先乘方（开方） ，再乘除，最后加减，括号优先。12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 （分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1） “看” 。观察各项是否有公因式； （2） “隔” 。把每项的公因式“隔离”出来；（3） “提” 。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n 为正
17、整数 ) ；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n 为正整数 )；如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 6 aa+5a5=-5 a(a+5) ( 注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。 ) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)
18、(a-b) ；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92=(10+9)(10-9)=19 1=19；4x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；nnnnnnn8)1212)(1212(121222（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式： (ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mna+ a2=(mn-a)2；x
19、2+4xy+y2=x2+2x 2y+(2y)2=(x+2y)2（2）注意公式运用时的对位“套用” ；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号” 。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+23=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6(-1)=(x+6)( x-1) 2、 “十字相乘法”如：2914xx=(x+2)( x+7) 228xx=(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2 五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“
20、一看二套三分解” 。2、遇到因式分解的题目时， 其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为 “一” ，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说； （3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法” 。3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数； （2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完， 还要看剩下的因式是否可以继续分解； （3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数； （4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。精品资料 - - - 欢
21、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 7 第 13 章全等三角形命题 定义： 可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。公理： 有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。定理： 从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。互逆命题： 两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题
22、的结论，而第一个命题结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做逆命题。互逆定理： 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。五种基本尺规作图画角平分线过已知点画垂线画垂直平分线画角画线段1. 等腰三角形的判定 : 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等；如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2. 角平分线：判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上 3.垂直平分线：性质：线段垂直平分线上的点到线
23、段两个端点的距离相等判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 8 2.全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表示方法： ABC DEF 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 3. 三角形全等的判定：No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。No.2 边脚边（ SAS
24、） ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.3 角边角（ ASA ） ：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.4 角角边（ AAS ） ：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。No.5 斜边，直角边 (HL) ：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。第 14 章勾股定理14.1 勾股定理一、直角三角形三边的关系1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在RtABC中， C=90o，A、B、C所对的边分别是a、b、c则有：a2+b2=c2。2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。3、注意事项：（1）勾股定理必须在R
25、t使用，若遇到非 Rt，则可引垂线段“造”Rt。 （2）注意 Rt中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。二、Rt的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则 C=90o。“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为 Rt。三、 反证法的步骤：先假设是正确的，然
26、后通过，推出与基本事实，或相矛盾，说明，从而得到。A C B cab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 9 14.2 勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树” 、 “到两个点的路程之和最短”等问题。2、 “通过问题”。如“过门洞”、 “路线穿过公园”等问题。3、 “干扰问题”。如“台风影响”、 “噪音影响”等问题。4、阴影面积问题。5、作图中的作2，3，5，13等问题。15 数据的收集与表示生活中的数据无处不在，当大
27、量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据频数、总次数、频率之间的关系（用公式表示）频数= 总数频率总次数 = 频数频率频率= 频数总数调查和借助统计图表是收集数据的基本方法. 做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段1. 常见的统计图有:(1) 扇形统计图 (2) 折线统计图 (3) 条形统计图扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势2. 扇形统计图及其特点 : (1) 扇形统计图是利用圆和扇形来表示总数和部分的比例关系,即用圆表示总数 . 用扇形表示部分对象所占的比例 ,扇形的大小反映频率的大小(2) 扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占频率3 扇形中心角计算方法 : (1) 扇形的中心角 =3600 频率 . (2) 若已知扇形统计图 ,用量角器量出每个扇形圆心角的读数 . (3) 部分占总体的百分比 =100%总体. 4. 画扇形统计图的步骤(1) ; (2) ; (3) ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -