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1、22.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 （第（第1课时）课时）问题问题:如图以如图以40m/s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成30角的方向角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度阻力，球的飞行高度h（单位：（单位：m）与飞行时间）与飞行时间t（单位：（单位：s）之间具有关系）之间具有关系h=20t5t 2考虑以下问题：考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到
2、20m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？所以可以将问题中所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值的值解：（解：（1）解方程）解方程1520t5t 2t 24t3=0t1
3、=1，t2=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15m分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h与飞行时间与飞行时间t的关系是二次函的关系是二次函数数h=20t5t 2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程）解方程2020t5t 2t 24t4=0t1=t2=2当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20mt1=2s20m（3）解方程）解方程20.520t5t 2t 24t4.1=0因为（因为（4）244.10，所以方程无解，所以方程无解球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m20m（4）解方程）解方程020t5t2t24t=0t1=0,t2=4当
4、球飞行当球飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m，即，即0s时球从地面发出，时球从地面发出，4s时球落时球落回地面回地面0 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切一般地，我们可以利用二次函数一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数例如，已知二次函数y=x24x的值为的值为3，求自变量，求自变量x的值，的值，可以解一元二次方程可以解一元二次方程x24x=3（即（即x24x+3=0）反过来，解方程反过来，解方程x24x+3=0 又可又可以看作已知二
5、次函数以看作已知二次函数 y=x24x+3 的值为的值为0，求自变量，求自变量x的值的值小小组合作，合作，类比探究比探究问题问题1：下列二次函数的下列二次函数的图象与象与 x 轴有公共点有公共点吗？如果有，？如果有，公共点的横坐公共点的横坐标是多少？是多少？y=x 2-x+1y=x 2+x-2y=x 2-6x+9y654321-1-2-3-2-1 1 2 3 4 5 6 xO小小组合作，合作，类比探究比探究问题问题2当当 x 取取上述上述公共点的横坐公共点的横坐标时，相相应的的函数函数值分分别是多少？是多少？y=x 2-x+1y=x 2+x-2y=x 2-6x+9y654321-1-2-3-2
6、-1 1 2 3 4 5 6 xO小小组合作，合作，类比探究比探究问题问题3由二次函数的由二次函数的图象，你能得出相象，你能得出相应的一元二次方的一元二次方程的根程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎？二次函数与一元二次方程具有怎样的的联系？系？x 2+x-2=0 x 2-6x+9=0 x 2-x+1=0y=x 2-x+1y=x 2+x-2y=x 2-6x+9y654321-1-2-3-2-1 1 2 3 4 5 6 xO二次函数二次函数 yx2x2 的图象与的图象与 x 轴有轴有_个交点，则个交点，则一元二次方程一元二次方程 x2x10 的根的判别式的根的判别式_0.2二次函数二次函数 yx
7、26x9 的图像与的图像与 x 轴有轴有_个公共点，个公共点，则一元二次方程则一元二次方程 x26x90 的根的判别式的根的判别式_0.1二次函数二次函数 yx2x1 的图象与的图象与 x 轴轴_公共点，则公共点，则一元二次方程一元二次方程 x2x10 的根的判别式的根的判别式_0.无无0 为例列表如下：例列表如下：b24ac的符号的符号b24ac0b24ac0b24ac0)的的图象象 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2bxc=0的解的解归纳(3)：【例例 1】已知二次函数已知二次函数 ymx26x1(m 是常数是常数)的图象与的图象与x 轴只有一个公共点，求轴只有一个公共点，求
8、m 的值的值解解：二次函数二次函数 ymx26x1的图象与的图象与 x 轴只有一轴只有一个公共点，个公共点，二次方程二次方程 mx26x10 有两个相等的实数根有两个相等的实数根(6)24m0且且 ，解得，解得 m9.故故 m 的值为的值为9.变式：把题中变式：把题中“二次二次”两字去掉，即题目是：两字去掉，即题目是：已知函数已知函数 ymx26x1(m 是常数是常数)的图象与的图象与x 轴只轴只有一个公共点，求有一个公共点，求 m 的值的值【例例 2】已知抛物线已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3.（1）当）当k为何值时，抛物线与为何值时，抛物线与x轴有两个公共点？轴有两个公共点
9、？（2）当）当k为何值时，抛物线与为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点？轴只有一个公共点？（3）当）当k为何值时，抛物线与为何值时，抛物线与x轴没有公共点？轴没有公共点？【例例 3】已知抛物线已知抛物线y=x2+mx+m-2 求证：无论求证：无论m取何值，抛物线总与取何值，抛物线总与x轴有两个交点轴有两个交点【跟踪训练跟踪训练】C1函数函数 yx22x1 的图象与的图象与 x 轴的交点个数有轴的交点个数有()A0 个个B1 个个C2 个个D3 个个2若抛物线若抛物线 y(a1)x22x1 与与 x 轴只有一个公共点，轴只有一个公共点，则则a的值为的值为_2 3若关于若关于x的一元二次方程的一元
10、二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，则则m=，此时抛物线，此时抛物线y=x2-2x+m与与 x 轴有轴有 个公共点个公共点 4已知抛物线已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在的顶点在x 轴上，则轴上，则c=5一元二次方程一元二次方程 3x2+x-10=0 的两个根是的两个根是x1=-2，x2=，那，那么二次函数么二次函数y=3x2+x-10的图象与的图象与x 轴的交点坐标是轴的交点坐标是 6抛物线抛物线y=x2-3x-4与与y 轴交于点轴交于点 ，与与x 轴交于点轴交于点 1116（-2,0）、）、（5/3,0）（-1,0）、（）、（4,0）（0，-4）一一般地
11、，从二次函数般地，从二次函数 y=ax 2+bx+c 的的图象可知象可知：（1）如果抛物）如果抛物线 y=ax 2+bx+c 与与 x 轴有公共点，有公共点，公共点的横坐公共点的横坐标是是 x0，那么当，那么当 x=x0 时，函数，函数值是是 0，因此因此 x=x0 是方程是方程 ax 2+bx+c=0 的一个根的一个根反之，一元反之，一元二次方程的解就是二次函数的二次方程的解就是二次函数的图象与象与x 轴交点的交点的横横坐坐标。（2）二次函数）二次函数 y=ax 2+bx+c 的的图象与象与 x 轴的位置的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点点 这对应着一元二次方程着一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根的三种的根的三种情况：情况：没有没有实数根数根，有两个相等的有两个相等的实数根数根，有两个不等有两个不等的的实数根数根