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1、第1页/共16页R高等于底面半径的旋转体体积对比一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导第2页/共16页 学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来，所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是长是RR、宽是R R的矩形.一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导那么圆的面积就近似等于RR2 2.当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式第3页/共16页当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式求值的步骤是：即先把半球分割成n部分，再求出每一
2、部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积分割求近似和化为准确和一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导第4页/共16页AO已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积.AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：第5页/共16页已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积.AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上
3、如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：各部分可近似的看做一个圆各部分可近似的看做一个圆柱，各部分的面积为：柱，各部分的面积为：第6页/共16页已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积.AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，各部分可近似的看做一个圆柱各部分可近似的看做一个圆柱,各部分的面积为：各部分的面积为：第7页/共16页已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积.AOB2C2一、球的体积公式的推导一、球的体积公式的推
4、导解：解：如图，将此球的上半球自下而上如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，这种解题的思想，称为极限思想这种解题的思想，称为极限思想.第8页/共16页RR一个一个半径和高都等于半径和高都等于R的的圆柱圆柱，挖去一个，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点以上底面为底面，下底面圆心为顶点的的圆锥圆锥后后,所得的几何体的体积所得的几何体的体积与与一个半径为一个半径为R的的半球半球的体积的体积相等相等。结论结论:第9页/共16页第10页/共16页(2)2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n n越大,越接近于球
5、的体积,当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.(1)1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n n趋近于无穷大时,这n n小块平面面积之和等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导第11页/共16页二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导第12页/共16页第一步：分割第一步：分割球面被分割成球面被分割成n n个网格个网格,表面积分别为：表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：O OO O二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导第二步：求近似和第二步：求近似和O O由第一步得：由第一步得：第13页/共16页第三步：化为准确和第三步：化为准确和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“小锥体小锥体”就越接近小棱就越接近小棱锥锥.O O二、球的表面积公式的推导二、球的表面积公式的推导第14页/共16页第15页/共16页谢谢您的观看！第16页/共16页