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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程(第一课时第一课时)122:26:4122:26:4122:26:4222:26:4222:26:4222:26:425 在我们实际生活中，在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？能举出一些实例吗？想一想1 1.问题情境问题情境问题情境问题情境627生生活活中中的的椭椭圆圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？中这些椭圆形的物件呢？8圆是圆是点的轨迹点的轨迹.是是平面内平面内到定点距离到定点距离等于定长的动点的轨迹等于定
2、长的动点的轨迹.椭圆是满足什么几何条件的椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？点的轨迹呢？请你想一想请你想一想9数数 学学 实实 验验1取一条细绳，无弹性。取一条细绳，无弹性。2把它的两端固定在板上的两把它的两端固定在板上的两点点F1、F23用粉笔尖（用粉笔尖（M）把细绳拉紧，）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图在板上慢慢移动看看画出的图形形F1F2Mn请同学们观察，并思考下面两个问题：请同学们观察，并思考下面两个问题：(1)(1)动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？(2)(2)动点满足怎样的几何条件？动点满足怎样的几何条件？10反反 思思（1）在
3、画出一个椭圆的过程中，绳子两脚末端）在画出一个椭圆的过程中，绳子两脚末端 的位置是固定的还是运动的？的位置是固定的还是运动的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？小有怎样的关系？11结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？如何定义椭圆？它应该包含几个要素？（1 1）在平面内）在平面内（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长
4、的距离等于定长2a2a（3 3）定长）定长2a2a|F|F1 1F F2 2|反思：反思：F1F2M12平面内到两定点平面内到两定点F1、F2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于大于|F1F2|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做焦距焦距1.椭圆的定义椭圆的定义F1F2M13问：能否由此得到：到两个定点的距离之和问：能否由此得到：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？说明：在平面上到两个定点说明：在平面上到两个定点F F1 1，F F2 2的距的距 离离之
5、和等于定值之和等于定值2a2a的点的轨迹为：的点的轨迹为：n当当2a2aFF1 1F F2 2=2c=2c，轨迹为：椭圆，轨迹为：椭圆 n当当2a2a FF1 1F F2 2=2c=2c，轨迹为：线段，轨迹为：线段n当当2a2a FF1 1F F2 2=2c=2c，轨迹为：不存在，轨迹为：不存在 14 应用应用知识知识用定义判断下列动点用定义判断下列动点M M的轨迹是否为椭圆的轨迹是否为椭圆.(1)(1)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0)的距离之和为的距离之和为6 6的点的点的轨迹的轨迹.(2)(2)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2
6、(2,0)(2,0)的的距离之和为距离之和为4 4的点的点的轨迹的轨迹.(3)(3)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0)的的距离之和为距离之和为3 3的点的点的轨迹的轨迹.是是不是不是不是不是 活学活用22:26:4422:26:44F1F2M2.椭圆方程的建立椭圆方程的建立步骤一：建系设点，建立直角坐标系步骤一：建系设点，建立直角坐标系,设动点坐标设动点坐标步骤二：找关系式步骤二：找关系式步骤三：列方程步骤三：列方程步骤四：化简方程步骤四：化简方程步骤五：验证步骤五：验证求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤:1622:26:4422:26:44建建系系设设点
7、点列列式式代代换换化化简简 推导椭圆方程推导椭圆方程怎样怎样建立建立适当的坐适当的坐标系？标系？22:26:4422:26:44 推导方程推导方程以F1、F2所在的直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系；（如图1）方案2：以F1、F2所在的直线为y轴，F1F2的垂直平分线为x轴建立直角坐标系。（如图2）图222:26:4422:26:44F1MF2图1追问追问1：如何如何建系建系才能才能使椭圆使椭圆方程方程最简单最简单？方案方案1：以以F1、F2所在的直线所在的直线为为x轴，轴，F1F2的垂直的垂直平分线平分线为为y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系；（如图如图1）方案方案2：以：
8、以F1、F2所在的直线为所在的直线为F1F2的的垂直垂直平分线为平分线为x轴轴建立直角坐标系建立直角坐标系。（如图（如图2）y轴，轴，F1F2图2MyxoXyOXyOXyOXyOF1MF222:26:4422:26:44 设设M(x,y)是椭圆上任意是椭圆上任意一点，一点，（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）由椭圆的定义由椭圆的定义得得：代入坐标代入坐标 则则F1、F2的的坐坐标分别是标分别是 M与与F1和和F2的的距离距离的的和等于和等于椭圆的椭圆的焦距焦距2c(c0)，(c,0).xF1F2M0y(2a2c)正常数正常数2a.(c,0)、建建系系设设点点列列式式代代换换化化简简
9、 推导椭圆方程推导椭圆方程 推导方程推导方程22:26:4422:26:44移项，得移项，得两边平方，得两边平方，得两边再平方，得两边再平方，得整理得整理得由椭圆定义可知由椭圆定义可知2 2,即 所以2 2 0 推导方程推导方程F1OypxF2图3bcc22:26:4422:26:44(0)特征三角形特征三角形 推导方程推导方程焦点：焦点：椭圆的标准方程椭圆的标准方程:22:26:4522:26:45思考思考 ：如图：如图4，如果焦点，如果焦点F1，F2在在y轴上轴上，推导方程推导方程oF1F2图4yMx22:26:4522:26:45且且F1，F2的的坐标坐标分别分别为为那么那么椭圆的椭圆的
10、方程方程是是什么？什么？yM4 4椭圆标准方程分析椭圆标准方程分析xy只须将只须将(1)方程的方程的x、y互换即可得到互换即可得到 这个也是这个也是椭圆的标准方程椭圆的标准方程 x24OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程
11、中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。25练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?2动点动点P到两个定点到两个定点F1（-4，0）、）、F2（4，0）的距离之和为）的距离之和为8，则，则P点的轨迹为点的轨迹为 （）A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定B例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_
12、;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题精析例题精析543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a27(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：,则则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_;若曲线上一点若曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-
13、1)、(0,1)2PF1F2|PF1|+|PF2|=2a例题精析例题精析282、如果椭圆、如果椭圆 上点上点 到左焦到左焦 的距离等于的距离等于6,6,点点 到右焦点到右焦点 的距离是的距离是_;_;应用应用知识知识勤加练习DF1F2C22:26:4522:26:453 3已知方程已知方程 表示椭圆，则表示椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .变式变式1 1：已知方程：已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取的取值范围是值范围是 .变式变式2 2：已知方程：已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取的取值范围是值范围是 .A、5B、8C
14、、3或或5D、20DC5、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），），椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），），且椭圆经过点且椭圆经过点P 。例题精析例题精析31(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的
15、方程 为：为：2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：例题精析例题精析1 12 2yoFFMx32(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经过点P 。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为：由椭圆的定义可知：又因又因 c=2，所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：故故 b2=a2-c2=10-22=6336、焦点三角形、焦点三角形xF1F2M0y_ _B_9_322:26:4722:26:47 应用
16、应用知识知识求椭圆求椭圆的标准方程的步骤的标准方程的步骤：（1）首先判断焦点首先判断焦点的的位位 置，设置，设出标准出标准方程方程（2）根据根据条件条件确定确定a,b的值的值先定位先定位后定量后定量 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2MF1 +MF2 =2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.不同点不同点：焦点在：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.课堂小结课堂小结37