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1、 描述点运动的矢量法第第5 5章章 点的运动学点的运动学 第1页/共70页 描述点运动的矢量法 运动方程运动方程 速度速度 加速度加速度第2页/共70页 描述点运动的矢量法 运动方程第3页/共70页 描述点运动的矢量法 运动方程运动方程 运动方程运动方程 变矢量法中，运动方程变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时用点在任意瞬时t 的位置矢量的位置矢量r r(t)表示。表示。r r(t)简称为简称为矢径矢径。x xz zy yrrrr=r(t)PPP 第4页/共70页 描述点运动的矢量法第5页/共70页 描述点运动的矢量法 速 度第6页/共70页 描述点运动的矢量法 速速 度度r r(t t)r r
2、(t t t t)PP rvt 瞬时:矢径 r(t)r(t)r(t t)r(t)点在点在点在点在 t t 瞬时的速度瞬时的速度瞬时的速度瞬时的速度 t 时间间隔内矢径的改变量t t 瞬时:矢径 r(t t)x xz zy yOO第7页/共70页 描述点运动的矢量法 速速 度度 速 度 描述点在 t 瞬时运动快慢和运 动方向的物理量。速度的方向沿着运动 轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。x xz zy yr r(t t)r r(t t t t)PP rvOO第8页/共70页 描述点运动的矢量法 加加 速速 度度rP P v vP Prvt 瞬时:速度 v(t)v(t)v(
3、t t)v(t)点在 t 瞬时的加速度：t 时间间隔内速度的改变量vt t 瞬时:速度 v(t t)x xz zy yOO第9页/共70页加速度 描述点在 t 瞬时速度 大小和方向变化率的物理量。加速度的方向为 v的极限方 向(指向与轨迹曲线的凹向一致)加速度大小等于矢量a的模。描述点运动的矢量法 加加 速速 度度第10页/共70页 描述点运动的直角坐标法第第6 6章章 点的运动学点的运动学 第11页/共70页 描述点运动的直角坐标法 运动方程运动方程 速度速度 加速度加速度第12页/共70页x xz zy yOO 描述点运动的直角坐标法y yx xz zj ji ik kravP P 运动方
4、程 不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有 3 3个自由度，在直角坐标个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由3 3个方程确定：个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)第13页/共70页x xz zy yOO 描述点运动的直角坐标法y yx xz zj ji ik kravP P 速 度将矢径表示成将矢径表示成(OOxyzxyz)为定参考系第14页/共70页x xz zy yOO 描述点运动的直角坐标法y yx xz zj ji ik kravP P 速速 度度第15页/共70页 描述点运动的直角坐标法 速速 度度 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点
5、的相应坐标对时间的一阶导数。第16页/共70页 描述点运动的直角坐标法 加速度加速度 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。等于点的相应坐标对时间的二阶导数。第17页/共70页 一一一一人人人人在在在在路路路路灯灯灯灯下下下下由由由由灯灯灯灯柱柱柱柱起起起起以以以以匀匀匀匀速速速速 u u 沿沿沿沿直直直直线线线线背背背背离离离离灯灯灯灯柱柱柱柱行行行行走走走走。设设设设人人人人高高高高AB=lAB=l，灯灯灯灯高高高高OL=hOL=h，试试试试求求求求头头头头顶顶顶顶影影影影子子子子M M 的速度和加速度。的速度和加速度。的速
6、度和加速度。的速度和加速度。例 题 1xhOLABlu txMM 描述点运动的直角坐标法第18页/共70页解：解：解：解：取坐标轴取坐标轴 Ox Ox 如图。由三角形相似关系，有如图。由三角形相似关系，有即即从而求得从而求得 M M 点的直线运动方程点的直线运动方程 MM 点的速度点的速度而加速度而加速度 a a=0 0 ，即，即 M M 点作匀速运动。点作匀速运动。例 题 1 描述点运动的直角坐标法xhOLABlu txMM第19页/共70页ACByOxMxy 描述点运动的直角坐标法例 题 2求：求：M点的点的轨迹、轨迹、运动运动方程、速度、加速度。方程、速度、加速度。OA=AB=AC=lC
7、M=b其中：其中：其中：其中：椭圆规机构椭圆规机构第20页/共70页 描述点运动的直角坐标法椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构第21页/共70页 描述点运动的直角坐标法椭圆规机构椭圆规机构求：求：MM点的轨迹、运动方程、速度、加速度。点的轨迹、运动方程、速度、加速度。1 1、建立固定参考系、建立固定参考系OxyOxy；2 2、将所考察的点置于坐、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；标系中的一般位置；3 3、根据已知的约束条件、根据已知的约束条件列写点的运动方程。列写点的运动方程。例 题 2ACByOxMxy第22页/共70页 描述点运动的直角坐标法1 1、建立固定参考系、建立固定参考系O
8、xyOxy；2 2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3 3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。、根据已知的约束条件列写点的运动方程。MM点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：从中消去从中消去t t得到得到MM点的轨迹方程点的轨迹方程x=x=(2(2l l+b b)coscosj j =(2=(2l l+b b)cos)cosw wt t y=y=b b sinsinj j =b b sinsinw wt t 例 题 2ACByOxMxy第23页/共70页 描述点运动的直角坐标法椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构第24页/共70
9、页 描述点运动的直角坐标法MM点的运动方程：点的运动方程：MM点的速度：点的速度：MM点的加速度：点的加速度：例 题 2ACByOxMxy第25页/共70页 描述点运动的直角坐标法几点讨论几点讨论1、建立运动方程时，建立运动方程时，一定要将所考察的点置一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置于坐标系中的一般位置 例 题 2ACByOxMxy2、关于关于M点运动的性质：点运动的性质：何时作加速度运动？何何时作加速度运动？何时作减速度运动？时作减速度运动？第26页/共70页 描述点运动的直角坐标法3、若若M点选择在点选择在BC杆的不同位置，轨迹如何？杆的不同位置，轨迹如何？例例 题题 2 2第27
10、页/共70页 描述点运动的直角坐标法例例 题题 2 2第28页/共70页 描述点运动的自然法第第6 6章章 点的运动学点的运动学第29页/共70页 描述点运动的自然法 弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度第30页/共70页 弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 如果点沿着已知的轨迹如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规过的弧长随时间变化的规律描述。律描述。描述点运动的自然法 弧坐标的要素第31页/共70页 弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素
11、：弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1 1、有坐标原点、有坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)；2 2、有正、负方向、有正、负方向(一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向)；描述点运动的自然法 用弧坐标表示点的运动方程 3 3、可用弧长随时间变化的规、可用弧长随时间变化的规律来描述点的运动。律来描述点的运动。s=s(t)第32页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系第33页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 密切面第34页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系
12、密切面 当当PP点无限接近于点无限接近于 P P点时，过这两点的切点时，过这两点的切线所组成的平面，称为线所组成的平面，称为P P点的点的密切面密切面。第35页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 由密切面得到的几点结论 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用曲率，用l l/表示。表示
13、。第36页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系s-s+P PT T(切线切线)N N(主法线主法线)自然轴系B B(副法线副法线)自然轴系自然轴系TNBTNBP P空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；T T 过动点过动点P P在密切面内在密切面内 的切线，其正向指向的切线，其正向指向 弧坐标正向；弧坐标正向；N N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向的直线，其正向指向 曲率中心；曲率中心；B B 过动点过动点P P垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线，其和主法线的直线，其 正向由正向由B BT TN N确定确定。第37页/共70页s-s+P P
14、T T(切线切线)N N(主法线主法线)B B(副法线副法线)描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 自然轴系自然轴系的单位向量单位向量 n nb b第38页/共70页 描述点运动的自然法 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 自然轴系自然轴系的特点 跟随动点在轨跟随动点在轨迹上作空间曲线迹上作空间曲线运动。运动。第39页/共70页 描述点运动的自然法 速 度第40页/共70页 描述点运动的自然法 速速 度度 弧坐标中的速度表示其中其中其中其中所以所以所以所以的方向与的方向与P P点的切线方向一致点的切线方向一致而而而而第41页/共70页 描述点运动的自然法 速速 度度 弧坐标中的速
15、度表示第42页/共70页 描述点运动的自然法 速速 度度 弧坐标中的速度表示 点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。第43页/共70页 描述点运动的自然法 速速 度度 几点讨论 若若,则则，即点沿着即点沿着s+的方向运动；的方向运动；反之点沿着反之点沿着s的方向运动；的方向运动；中中 v v 和和 分别表示速度的大小与分别表示速度的大小与方向。方向。第44页/共70页 描述点运动的自然法 加 速 度第45页/共70页 描述点运
16、动的自然法 加加 速速 度度根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 弧坐标中的加速度表示第46页/共70页 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 弧坐标中的加速度表示?第47页/共70页 n n P P 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 弧坐标中的加速度表示 当当 0 0时时，和和 以及以及 同处于同处于P P点的点的密切面内，这密切面内，这时时，的极限方向垂直于的极限方向垂直于 ，亦即亦即n n方向方向。第48页/共70页 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 弧坐标
17、中的加速度表示?第49页/共70页 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 弧坐标中的加速度表示第50页/共70页 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 弧坐标中的加速度表示 加速度表示为自然轴系投影形式切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度第51页/共70页 描述点运动的自然法 加加 速速 度度 几点讨论 切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方
18、向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；即即即即 a ab bb b=0 0，表明加速度表明加速度表明加速度表明加速度 a a在副法线在副法线在副法线在副法线方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量v v和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量a a都位于密切面内都位于密切面内都位于密切面内都位于密切面内。第52页/共70页 销钉销钉销钉销钉B B可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于R R的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道DEDE和摆和摆和摆和摆杆的直槽中滑动杆的直槽中滑动杆的直槽中
19、滑动杆的直槽中滑动，OAOA=R R=0.1 m=0.1 m。已知摆杆已知摆杆已知摆杆已知摆杆的转角的转角的转角的转角 （时间以时间以时间以时间以s s计计计计，j j以以以以radrad计计计计），试求销钉在试求销钉在试求销钉在试求销钉在t t1 1=1/4 s1/4 s和和和和t t2 2=1 s1 s时的加速度。时的加速度。时的加速度。时的加速度。例 题 3R ROOw w w wj jR RE ED DB BC Cs sOO A Aq q q q-s-s+s+s 描述点运动的自然法第53页/共70页例 题 3 描述点运动的自然法第54页/共70页 已已知知销销钉钉B B的的轨轨迹迹是是
20、圆圆弧弧DEDE，中中心心在在A A点点，半半径径是是R R。选选滑滑道道上上OO 点点作作为为弧弧坐坐标标的的原原点点，并并以以OO D D为为正正向向。则则B B点在任一瞬时的弧坐标点在任一瞬时的弧坐标由几何关系知由几何关系知且且得得这就是这就是B B点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。解：解：例 题 3R ROOw w w wj jR RE ED DB BC Cs sOO A Aq q q q-s-s+s+s 描述点运动的自然法第55页/共70页R ROOw w w wj jR RE ED DB BC Cs sOO A Aq q q q-s-s+s+sB B点的速度在切向上的
21、投影点的速度在切向上的投影v vt tB B点的加速度点的加速度 a a 在切向的投影在切向的投影而在法向的投影而在法向的投影at tan例例 题题 3 3 描述点运动的自然法第56页/共70页这时这时这时这时B B点的加速度大小点的加速度大小点的加速度大小点的加速度大小且且a a1 1沿切线的负向。沿切线的负向。这时点这时点这时点这时点B B的加速度大小的加速度大小的加速度大小的加速度大小且且 a a2 2 沿半径沿半径 B B2 2A A。a a2 2=a a1n1nA AD DB B1 1B B2 2R Rq q q q1 1E Ea a1 1=a a1 1t t 描述点运动的自然法第5
22、7页/共70页 已已知知：r r，圆圆柱柱绕绕 z z轴轴匀匀速速运运动动的的周周期期 T T，动动点点MM以以匀匀速速 u u 沿圆柱的一条母线沿圆柱的一条母线NMNM运动运动x xy yr rMM0 0N(x,y)N(x,y)MMz zOO例 题 4 描述点运动的自然法u u试试求求：MM点点的的轨轨迹迹、速速度度和和加加速度，并求轨迹的曲率半径。速度，并求轨迹的曲率半径。第58页/共70页例 题 4 描述点运动的自然法第59页/共70页x xy yr rMM0 0N(x,y)N(x,y)MMz zOO瞬时 t，M0ON为 MM点的轨迹方程点的轨迹方程这螺旋线方程就是这螺旋线方程就是这螺旋
23、线方程就是这螺旋线方程就是MM点在固定坐标系中的运动轨迹。点在固定坐标系中的运动轨迹。点在固定坐标系中的运动轨迹。点在固定坐标系中的运动轨迹。解：解：1.1.MM点的运动方程和轨迹。点的运动方程和轨迹。例例 题题 4 4 描述点运动的自然法u uq q设设第60页/共70页例 题 4 描述点运动的自然法第61页/共70页速度在平面速度在平面OxyOxy上的投影大小等于上的投影大小等于常数速度与圆柱母线的交角速度与圆柱母线的交角 g g g g 不变。不变。x xy yr rMM0 0N(x,y)N(x,y)MMz zOOv v 描述点运动的自然法2.2.MM点的速度点的速度(令令 ）第62页/
24、共70页3.3.点点MM的加速度的加速度 因因a az z=0=0，故加速度故加速度 a a 垂直于垂直于 z z 轴轴加速度加速度 a a 的方向指向的方向指向 z z 轴。轴。x xy yr rMM0 0N(x,y)N(x,y)MMz zOOv va a 描述点运动的自然法例例 题题 4 4第63页/共70页4.曲率半径 曲率半径曲率半径曲率半径为常数曲率半径为常数例例 题题 4 4 描述点运动的自然法常数第64页/共70页 结论与讨论第第6 6章章 点的运动学点的运动学第65页/共70页 结论与讨论描述点运动的三种方法比较描述点运动的三种方法比较 矢量法矢量法结果简明，具有概括性，且与坐
25、标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。易于公式推导，不适于具体运算。无关。易于公式推导，不适于具体运算。直角坐标法直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。易于运算，但所得结果物理意义不够直观。易于运算，但所得结果物理意义不够直观。自然法自然法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。但轨迹未知时，不适用。更加清晰。但轨迹未知时，不适用。结论第66页/共70页 结论与讨论 速度
26、、加速度的标量表示与矢量表示 的重要区别速度大小速度大小速度大小速度大小速度方向速度方向速度方向速度方向第67页/共70页 结论与讨论 速度、加速度的标量表示与矢量表示 的重要区别速度大小的变化率速度大小的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率第68页/共70页 结论与讨论 讨论 点沿着一螺旋线自点沿着一螺旋线自点沿着一螺旋线自点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走外向内运动。点所走外向内运动。点所走外向内运动。点所走过的弧长与时间的一过的弧长与时间的一过的弧长与时间的一过的弧长与时间的一次方成正比。请判断次方成正比。请判断次方成正比。请判断次方成正比。请判断点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：(A)(A)越跑越快；越跑越快；(C)(C)加速度越来越大；加速度越来越大；(D)(D)加速度越来越小。加速度越来越小。(B)(B)越跑越慢；越跑越慢；第69页/共70页感谢您的观看！第70页/共70页