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1、第四章线性模型第1页，此课件共28页哦平稳时间序列n几个重要的平稳过程和模型n白噪声过程nMA过程nAR过程nARMA过程第2页，此课件共28页哦白噪声白噪声1）t独立同分布称为独立白噪声，记为tI.I.D(0,2)如果t还服从正态分布，则该过程t称为为高斯白噪声。第3页，此课件共28页哦白噪声白噪声2）弱白噪声随机过程满足a）E(t)=0，对所有tb）E(t2)=2 对所有tc）E(ts)=0,对任意ts，或Cov(t,s)=0简称白噪声。记为简称白噪声。记为 tWN(0,2)第4页，此课件共28页哦4.1线性时间序列线性时间序列Yt:如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即这里
2、，为白噪声.-时刻t的新信息(innovation)(4.1)称为 的 权重(4.1)有意义要求：第5页，此课件共28页哦所以 必须是收敛序列，即当 时通常，我们取 其中 则从而有(4.1.1)(4.1.1)是平稳过程第6页，此课件共28页哦的间隔为 的自协方差为对于一般线性过程类似地有对第7页，此课件共28页哦因此，权重与 的自相关系数有如下关系：其中，对若平稳序列而言，当 时从而随着 的增加 收敛到0第8页，此课件共28页哦4.2 滑动平均模型4.2.1滑动平均模型介绍当（4.1）仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动
3、平均模型.其中t 是白噪声过程.这里，和i,i=1,2,q称为参数或系数。注：q0 第9页，此课件共28页哦滑动平均模型滑动平均模型 1-阶滑动平均模型阶滑动平均模型 其中t 是白噪声过程.（4.2-1）和为参数或系数。表达式（4.2-1）是1阶滑动平均模型，用MA（1）表示例如rt=0.1+t0.3 t1第10页，此课件共28页哦MA(1)n另一种表达方式n本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。第11页，此课件共28页哦q-阶滑动平均模型阶滑动平均模型和过程判断下面是几阶MA模型 a)Yt=0.1+t0.2 t1 0.1 t2 b)Yt=0.1
4、+t0.3 t1 0.21 t2 0.1 t3 c)Yt=0.1+t0.3 t4第12页，此课件共28页哦4.2-2 MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型第13页，此课件共28页哦自相关函数自相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以 ，我们有当 时，注意到我们有MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的第14页，此课件共28页哦MA(2)模型自协方差函数自相关系数是MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的第15页，此课件共28页哦MA(q)模型自相关系数MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性第16页，此课件共28页哦MA过程ACF图基本结论MA(q)过
5、程的自相关函数q步截尾第17页，此课件共28页哦练习题P59.4.19P59.4.20P58.4.4P58.4.1P58.4.25.计算 的自相关函数。第18页，此课件共28页哦n作业1.证明 MA(q)过程自相关函数应满足的关系式.3.4.12(a)2.P59 4.14第19页，此课件共28页哦4.3 自回归模型自回归模型 其中 t 是白噪声过程。，表达式(4.3)是P-阶自回归模型 rt 为p-阶自回归过程,表示为AR(p)是未知参数或系数。(4.3)自回归模型是用自身做回归变量第20页，此课件共28页哦AR(1)过程（4.3-1）因方差非负，要求（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的
6、充分必要条件是在平稳性条件下注意到 与 独立，（4.3-2）第21页，此课件共28页哦AR(1)模型的自相关函数 进一步有递推式：因 ，故这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 开始以比率为 的指数速度衰减。由（4.3-2），我们有自协方差函数自相关函数第22页，此课件共28页哦AR(1)参数t=0.1+0.5t-1+t t=0.1-0.5t-1+t=0.1/(1-0.5)=0.2 =0.1/(1+0.5)j=0.5j j=(-0.5)j 第23页，此课件共28页哦AR(2)模型两边乘以 导致自相关协方差函数满足这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程均值函数满足利用AR(2)模型可以写
7、为第24页，此课件共28页哦上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足有时用L表示延迟算子，如第25页，此课件共28页哦与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式 时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根这个方程的解是平稳性平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特征根的模都小于1第26页，此课件共28页哦对应对应AR(1)模型模型:特征根为从而 是平稳的，我们有AR(2)模型的平稳性要求模型的平稳性要求 ，其中，其中这导致，及特征多项是第27页，此课件共28页哦AR(p)模型称之该AR(p)模型的特征方程。AR(p)模型的平稳性条件：模型的平稳性条件：上述方程的所有解的模都大于1。由于解的倒数为该模型的特征根。因此，平稳性要求所有特征根的模都小于1。均值函数模型对应的多项式方程为第28页，此课件共28页哦