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1、创新型、开放型问题,第一讲,例1.比较下面的两列算式结果的大小：(在横线上填“”、“ (2) (3) (4) = 结论：对于任意两个实数a和b，一定有 a2+b22ab证明：(a-b)20， 即a2-2ab+b20， a2+b22ab,例2.如图：已知ABC为O的内接三角形， O1过C点与AC交点E，与O交于点D，连结AD并延长与O1交于点F与BC的延长线交于点G，连结EF,要使EFCG，ABC应满足什么条件？请补充上你认为缺少的条件后，证明EFGC(要求补充的条件要明确，但不能 多余),分析：要使EFGC，需知FEC=ACB，但从图中可知FEC=FDC，FDC=B，所以FEC=B，故当B=A
2、CB时，可得证EFGC,要使EFGC，ABC应满足AB=AC或ABC=ACB证明：连结DC，则FDC=FEC，FDC=B，FEC=B，B=ACB，FEC=ACB，EFGC,例3.如图：已知O1与O2相交于A.B两点，经过A点的直线分别交O1.O2于C.D两点(D.C不与B重合).连结BD，过C点作BD的平行线交O1于点E，连结BE(1)求证：BE是O2的切线(2)如图2，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE与O2的位置关系(不要求证明)(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明),要证
3、BE是O2的切线，需知EBO2=90，不妨过B点作O2的直径BF交O2于F点，则BAF=90，即F+ABF=90，F=ADB，EBO2=EBA+ABF，要知EBO2=90，需知ABE=ADB，但ABE=ACE，由ECBD，得ACE=ADB，故ABE=ADB得证，从而知EBO2=90，因此BE是O2的切线,证明：作直径BF交O2于F ，连结AB、AF，则BAF=90，即F+ABF=90。F=ADB，ABF+ADB=90。ECBD，ACE=ADB，又ACE=ABE，ABE=ADB，故ABF+ABE=90，即EBO2=90，EBBO2，EB是O2的切线,(2)分析：猜想EB与O2的关系是相切的仍作O
4、2的直径BF，则FAB=90，同时FAD+FBD=180，BAC+FBD=90。现只需要得知FBE=90即可。由CEBD可知，CEB+DBE=180，又，CEB=BAC，BAC+EBD=180，EBD-FBD=90，即FBE=90，故EB与O2是相切的,证明：作O2的直径BF交O2于F，则FAB=90且FAD+FBD=180，BAD+FBD=90。但BAD=CEB，故CEB+FBD=90。CEDB，CEB+EBD=180，EBD-FBD=90，即FBE=90，EB是O2的切线,证明ECDB，ACE=ADB，又ACE=ABE，ACE=ADB=ABE。C是劣弧AB的中点，BAC=BEC=AEC，A
5、FCABDEACEFB,(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明）,例4.如图直径为13的O1经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别 是方程x2+kx+60=0的两个根(1)求线段OA、OB的长(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标(3)在O1上是否存在点P， 使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,(1)解：OA、OB是方程x2+kx+60=0的两个根，OA+OB=-k，OAOB=
6、60OBOA，AB是O1的直径OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解 之得：,k=17 OA+OB0，k0故k=-17，于是方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5,(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标,解：连结O1C交OA于点E，OC2=CDCB，即OC/CB=CD/OC,又OCB=DCO，OCDBCO，COD=CBO， = O1COA且平分OA，OE=1/2OA=6，O1E=1/2AB=5/2，CE=O1C-O1E=4，C的坐标为(6，-4),(3)在O1上是否存在点P， 使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,