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1、第四章正态分布第1页，此课件共47页哦正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究研究最多的分布之一最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地它在概率统计中占有特别重要的地位位.比如比如,考察一群人的身高考察一群人的身高,个体的身高作为一个随个体的身高作为一个随机变量机变量,其取值特点是其取值特点是:在平均身高附近的人较多在平均身高附近的人较多,特特别高和特别矮的人较少别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩一个班的一次考试成绩、测、测量误差等均有类似的特征量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差用它来刻画误
2、差,因此很多文献中亦称之为高斯分布因此很多文献中亦称之为高斯分布.进一步的理论研究表明进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量一个变量如果受到大量独立的因素的影响独立的因素的影响(无主导因素无主导因素),则它一般服从正态则它一般服从正态分布分布,这是中心极限定理探讨的问题这是中心极限定理探讨的问题.第一节第一节 正态分布的密度函数正态分布的密度函数第2页，此课件共47页哦 式中式中 为实数为实数,0.则称则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态分正态分布布,亦称高斯分布亦称高斯分布.记为记为N(,2).可表为可表为XN(,2).图象见右上角图象见右上角若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度
3、函数为一一.一般正态分布一般正态分布 1.1.定义定义第3页，此课件共47页哦(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称f()maxf(x)正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大越大,曲线越平坦曲线越平坦;越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻.正态分布也称为正态分布也称为高斯高斯(Gauss)分布分布第4页，此课件共47页哦二二.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态标准正态分布，记作分布，记作XN(0,1)。其其密度函数密度函数为为第5页，此课件共47页哦分布函数为分布
4、函数为(1)(0)=0.5(2)(+)1；(3)(x)1 (x).x一般的概率统计教科书均附有一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅标准正态分布表供读者查阅(x)的值的值.(P328附表附表1)如如,若若XN（0,1),(0.5)=0.6915,P1.32X0,则有则有三三.一般正态分布概率的计算一般正态分布概率的计算一般地一般地,有有第9页，此课件共47页哦第10页，此课件共47页哦例例2.2.设设 X X N(N(,2 2),),求求PP-3-3 XX3|X|3的值的值.如在质量控制中如在质量控制中,常用标准指标值常用标准指标值33 作两条线作两条线,当生产过程的指标观察值落在
5、两线之外时发出当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报警报,表明生产出现异常表明生产出现异常.第11页，此课件共47页哦随机变量随机变量标准化标准化第12页，此课件共47页哦第13页，此课件共47页哦例例5 一一种电子元件的使用寿命种电子元件的使用寿命(小时小时)服从正态分布服从正态分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件个这种元件,三个元件损坏与否三个元件损坏与否是相互独立的是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时内无一元件损坏的概小时内无一元件损坏的概率率.解解:设设Y Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时
6、内损坏的元件数,故故则则YB(3,p)其中其中第14页，此课件共47页哦第15页，此课件共47页哦一一.一般正态分布一般正态分布N(,2)第二节第二节 正态分布的数字特征正态分布的数字特征第16页，此课件共47页哦二二.标准正态分布标准正态分布N(0,1)第17页，此课件共47页哦第18页，此课件共47页哦例例2 设设X服从服从N(0，1)分布，求分布，求E(X2),E(X3)第19页，此课件共47页哦第20页，此课件共47页哦第21页，此课件共47页哦为什么为什么?第22页，此课件共47页哦第23页，此课件共47页哦第24页，此课件共47页哦第25页，此课件共47页哦第26页，此课件共47页
7、哦第27页，此课件共47页哦习作题习作题 1.1.设随机变量设随机变量X X N(0,1)N(0,1)，Y Y U(0,1)U(0,1)，Z Z B(5,0.5),B(5,0.5),且且X X，Y Y，Z Z独立，求随机变量独立，求随机变量U=U=（2X+3Y)(4Z-1)2X+3Y)(4Z-1)的数学期望的数学期望2 2 设随机变量设随机变量相互独立相互独立,且均服从且均服从分布分布,求随机变量求随机变量的数学期望的数学期望答答:答答:第28页，此课件共47页哦1.1.设随机变量设随机变量X X B B（12,0.5),Y 12,0.5),Y N(0,1),N(0,1),COV(X,Y)=-
8、1,COV(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1与与W=-2X+4YW=-2X+4Y的方差与协方差的方差与协方差.2.2.某单位招聘某单位招聘25002500人人,按考试成绩从高分到低分依按考试成绩从高分到低分依次录用次录用,共有共有1000010000人报名人报名.假定报名者的考试成绩假定报名者的考试成绩X X服从正态分布服从正态分布 现已知现已知9090分以上有分以上有359359人人,6060分以下的有分以下的有11511151人人,求被录用者中的最低分数求被录用者中的最低分数.作业题作业题第29页，此课件共47页哦解解：Y=ax+bY=ax+b关于关于x x严单严单
9、,反函数为反函数为例例1 1 设随机变量设随机变量X X服从标准正态分布服从标准正态分布,求随机变量求随机变量 Y=aX+b Y=aX+b的密度函数的密度函数,且有且有第三节第三节 正态分布的线性性质正态分布的线性性质一一.线性性质线性性质第30页，此课件共47页哦直接由直接由Y Y的密度函数的密度函数,可观察到可观察到Y Y的数学期望与方差的数学期望与方差定理定理1 设随机变量设随机变量X 服从正态分布服从正态分布N(,2),则则X X的线性的线性 函数函数 也服从正态分布也服从正态分布,且有且有第31页，此课件共47页哦例例2 已知已知X X N N(,2 2),),求求解解的概率密度的概
10、率密度关于关于x严格单调严格单调,反函数为反函数为故故你能用正态分布的线性性质求解吗你能用正态分布的线性性质求解吗?第32页，此课件共47页哦二二.正态分布的可加性正态分布的可加性定理定理3 3 设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2，.,X.,Xn n独立且独立且X Xi i 服从正态分布服从正态分布N(N(i i,i i2 2),i=1,.,n,),i=1,.,n,则则定理定理2 2 设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2 相互独立且相互独立且X Xi i 服从正态分布服从正态分布N(N(i i,i i2 2),i=1,2,),i=1,2,则则第33页，此课件共47页哦例1
11、.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.第34页，此课件共47页哦例例2.2.设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立独立,且且X N(1,2),YN(0,1).求证求证:(1):(1)Z=2X-Y+3Z=2X-Y+3的密度函数的密度函数;(2);(2)P P2Z8.2Z0、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,1,2,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 一一.密度函数密度函数 若随机变量若随机变量(X,Y)(X,Y)的密度函数为的密度函数为第四节第四节 二维正态分布二维正态分布第36页，此课件共47页哦二、边缘密度函
12、数二、边缘密度函数为为(X,Y)(X,Y)关于关于Y Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。设设(X,Y)(X,Y)f f(x,y),(x,y)(x,y),(x,y)R R2 2,则称则称为为(X,Y)(X,Y)关于关于X X的边缘密度函数；的边缘密度函数；同理同理,称称易知易知N(N(1,1,2,2,1 12 2,2 22 2,)的边缘密度函数的边缘密度函数f fX X(x)(x)是是N(N(1,1,1 12 2)的密度函数的密度函数,而而f fX X(x)(x)是是N(N(2 2,2 22 2)的密度函数的密度函数,即即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布.可
13、见可见,若（若（X,，Y）服从二维正态分布，则）服从二维正态分布，则X与与Y独立独立的的充分充分必要条件必要条件是是X与与Y不相关不相关。第37页，此课件共47页哦例例 设设(X,Y)服从服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/21)求求E(Z),D(Z);2)求求X与与Z的相关系数的相关系数3)问问X与与Z是否相互独立？为什么？是否相互独立？为什么？第38页，此课件共47页哦第39页，此课件共47页哦第40页，此课件共47页哦 设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其对应为随机变量，其对应的分布函数分别为的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在若在
14、F(x)的连续点，的连续点，有有则称则称Xn依分布收敛依分布收敛于于X.可记为可记为一一.依分布收敛依分布收敛第五节第五节 中心极限定理中心极限定理第41页，此课件共47页哦二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg)设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk=，DXk=2 ，k=1,2,则则Xn满足中满足中心极限心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时或者或者第42页，此课件共47页哦例例1.1.将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100100次，则点数之和不
15、少于次，则点数之和不少于 500 500的概率是多少？的概率是多少？解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则 X1,X100独立同分布独立同分布.由中心极限定理由中心极限定理第43页，此课件共47页哦第44页，此课件共47页哦设随机变量设随机变量 n(n=1,2,.)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项的二项分布，则分布，则2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结
16、论得证第45页，此课件共47页哦 例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少?解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中其中n=10000,p=0.6%,设设Y表示保险公司一年的利表示保险公司一年的利 润润,Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X0=1 PX 120 1 (7.75)=0;第46页，此课件共47页哦例例4.4.卡车装运水泥卡车装运水泥,设每袋水泥的重量设每袋水泥的重量X(kg)X(kg)服从服从N(50,2.5N(50,2.52 2)分布分布,该卡车的额定载重量为该卡车的额定载重量为2000kg,2000kg,问最多问最多装多少袋水泥装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过可使卡车超载的概率不超过0.05.0.05.解解:设最多装设最多装n袋水泥袋水泥,Xi为第为第i袋水泥的重量袋水泥的重量.则则令令查查表表得得第47页，此课件共47页哦