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1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 第1页/共31页函数的极值函数的极值定义:若存在称 为 的极大值点则称 为函数的极大值 极大值与极小值统称为极值.机动 目录 上页 下页 返回 结束，使得对一切有（极小值）（极小值点）极大值点与极小值点统称为极值点.注意:函数的极值是函数的局部性质.第2页/共31页费马费马(fermat)引理引理且 存在证:设则费马 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页费马费马(fermat)引理引理存在费马 目录 上页 下页 返回 结束 称 为
2、的驻点第4页/共31页最大值最小值点最大值最小值点一定包含在区间端点，区间一定包含在区间端点，区间内部驻点及区间内部导数不存在点之中内部驻点及区间内部导数不存在点之中 极值点一定包含在驻点或导数不存在点中 费马 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页一、罗尔（一、罗尔（Rolle）定）定理理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页注意注意不妨设 则至少存在一点使1)定理条件不全具备,结论不一定成
3、立.例如,则由费马引理得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,第7页/共31页使2)定理条件只是充分定理条件只是充分的的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在
4、一点即定理结论成立.拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕第9页/共31页拉格朗日中值公拉格朗日中值公式式(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使拉氏 目录 上页 下页 返回 结束（微分中值公式）第10页/共31页拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:微分公式令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页推论推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证:在 I 上任取两点日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共31页例例1.证明等式证明等式证:设由推论可知
5、 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.同理可证:经验:欲证时只需证在 I 上机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页例例2.证明不等式证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定中值定理理及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31页柯西定理的几何意柯西定理的几何意义义:注意:弦的斜率切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共31页柯西柯西(C
6、auchy)中值定理证明中值定理证明分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页证证:作辅助函数作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错!机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论.通分第18页/共31页例例3.设设存在介于，使证:要证原等式成立，只需证设则上满足柯西中值定理条件,因此，使证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 之间的一点即要证在存在介于之间的一点即原等式成立.符合柯西定理，显然成立第1
7、9页/共31页内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页思考与练习思考与练习1.填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程第21页/共31页2.设设且 证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页3.若若可导,试
8、证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页4.设设至少存在一点使提示:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 这个没讲。第24页/共31页作业作业P104 2,3,5(3)(4),8,10,22 提示:题22.考虑第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共31页柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,第28页/共31页练习题练习题求证存在使1.设 可导，且在连续，证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共31页设 证明对任意有证：2.不妨设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页