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1、3.8捕食系统的Volterra方程数学建模 Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建，并建立双房室系统模型。立双房室系统模型。1、模型建立、模型建立 大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为存将按增长率为r1的指数律增长（的指数律增长（Malthus模型），既设：模型），既设：由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少
2、，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：对于食饵对于食饵（PreyPrey）系统）系统 ：1 1反映了捕食者掠取食饵的能力反映了捕食者掠取食饵的能力图3-20(b)图3-20(a)与与 的图形见图的图形见图3-20易知仅当易知仅当 时（时（3.32）才有解）才有解记：记：讨论平衡点讨论平衡点 的性态。的性态。当当 时，轨线退化为平衡点。时，轨线退化为平衡点。当当 时，轨线为一封闭曲线（图时，轨线为一封闭曲线（图3-21），），即周期解。即周期解。图图3-21证明具有周期解。证明具有周期解。只需证明：存在两点只需证明：存
3、在两点 及及 ，当当 x1 时，方程（时，方程（3.32）有两）有两 个解，当个解，当x1=或或x1=时，方程恰时，方程恰 有一解，而在有一解，而在x1 时，方时，方 程无解。程无解。事实上，若事实上，若 ，记，记，则，则由由 的性质，的性质，而而 ，使得：，使得：。同样根据的性质知，当。同样根据的性质知，当 x1 时时。此时：。此时：由由 的性质，的性质，使，使 成立。成立。当当x1=或或 时，时，仅当仅当 时才能成立。时才能成立。而当而当x1 时，由于时，由于 ，故故 无解。无解。得证。得证。确定闭曲线的走向确定闭曲线的走向用直线用直线将第一象限划分成四个子区域将第一象限划分成四个子区域在
4、每一子区域，在每一子区域，与与 不变号，据此确定轨线的走向（图不变号，据此确定轨线的走向（图3-22）图图3-22将将Volterra方程中的第二个改写成：方程中的第二个改写成：将其在一个周期长度为将其在一个周期长度为T的区间上积分，得的区间上积分，得等式左端为零，故可得：等式左端为零，故可得：同理：同理：平平衡衡点点P P的的两两个个坐坐标标恰恰为为食食用用鱼鱼与与食食肉肉鱼鱼在在一一个个周周期中的平均值。期中的平均值。解释解释DAncona发现的现象发现的现象 引入捕捞能力系数引入捕捞能力系数，（，（01），），表示单位时间表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故内捕捞起来的鱼占总量的
5、百分比。故Volterra方程应为：方程应为：平衡点平衡点P的位置移动到了：的位置移动到了：由于捕捞能力系数由于捕捞能力系数的引入，的引入，食用鱼的平均量有了增加，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下而食肉鱼的平均量却有所下降，降，越大，平衡点的移动也越大，平衡点的移动也越大。越大。食用鱼的数量反而食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，因捕捞它而增加，真的是这样？！真的是这样？！P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时
6、，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。害虫更加猖獗了。（3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如（当然要在一定限度内，如r1）能使食用鱼的平均数量）能使食用鱼的平均数量增加而使食肉鱼的平均数量减少。增加而使食肉鱼的平均数量减少。根据根
7、据P-P模型，我们可以导出以下结论：模型，我们可以导出以下结论：（1）食用鱼的平均量取决于参数）食用鱼的平均量取决于参数r1与与1 （2）食用鱼繁殖率）食用鱼繁殖率r1的减小将导致食肉鱼平均量的的减小将导致食肉鱼平均量的减小，食肉鱼捕食能力减小，食肉鱼捕食能力1的增大也会使自己的平均量减的增大也会使自己的平均量减小；反之，食肉鱼死亡率小；反之，食肉鱼死亡率r2的降低或食饵对食肉鱼供养的降低或食饵对食肉鱼供养效率效率2的提高都将导致食用鱼平均量的减少。的提高都将导致食用鱼平均量的减少。此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!