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1、1例例：*图为一球对称电荷分布的静电场的图为一球对称电荷分布的静电场的曲线曲线请指出它是下面哪一种带电体产生的？请指出它是下面哪一种带电体产生的？1.半径为半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面2.半径为半径为R的均匀带电球体的均匀带电球体4.4.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体3.3.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体 解：解：(1)（2）（3）（4）（常数）（常数）第1页/共57页2 半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br,r为某点到圆柱轴线的距离，a
2、、b为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。解解:选取长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面S.2补充题补充题 Rlr因此可用高斯定理求解。由高斯定理可知由高斯定理可知:当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为:代入(1)可得:因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向.S第2页/共57页3 实验发现,在地球大气层的一个广大区域中存在着电场,其方向是竖直向下的.在2.0102米高度,场强为1.0102伏特/米;而在3.0102米高度,场强为0.60102伏特/米.求从离地200米至300米之间大气中电荷的平均体密度 解：选取厚为h，半径为r的园柱形高斯
3、面S.由高斯定理由高斯定理:得hrE补充题补充题第3页/共57页4补充题补充题 如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。解:取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为:为便于计算，可采用角量描述。因为:据带电圆环在轴线上一点的场强公式，可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为注意:斜边斜边由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq带入上式，可得:则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:方向沿X轴正方向第4页/共57页5补充题补充题 如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+，其上挖去一
4、半径为R的圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于平面的X轴上有一点P，OP=x。试求P点处的场强。解解:本题可用取圆环带本题可用取圆环带的方法求解，的方法求解，也可用补偿法求解也可用补偿法求解。解法一 取一细圆环带，取一细圆环带，其半径为其半径为r r（rRrR），），带宽为带宽为drdr，则圆环带的面积为则圆环带的面积为dS=2rdr,dS=2rdr,其上带电量为其上带电量为dq=dS=2rdr;dq=dS=2rdr;应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上该圆环带在轴线上 第5页/共57页6P点产生电场的大小:因此，该系统在P点产生总场强
5、的大小为:方向沿X轴正方向。第6页/共57页7解法二解法二 半径为半径为R R的圆孔可以看成是其上均匀地分布的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为着电荷面密度为+和和-的两种电荷。的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为-的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为+的无限大均匀带电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为-、半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2方向均沿X轴方向，P点的总场强E的大小为:方向沿X轴正方向。第7页/共57页8均均匀匀带带电电球球面面的的半半径径为为R,总总电电荷荷量量为为q.求求电电场场中中任任一点一点p处的电势处的电势,并
6、作出并作出V-r图图.补充题补充题解：据高斯通量定理，得当rR时，当r2.当当0),求球上的感应电荷q有多少?静电平衡时,导体为一等势体,即为电势为零的等势体,从而球心处的电势零。而感应电荷相距球心是等距的,从而我们有补充题补充题解：第37页/共57页38解解:令令无无限限长长直直线线如如图图放放置置，电电荷荷线线密密度度为为。计计算在算在x轴上距直线为轴上距直线为r的任一点的任一点P处的电势。处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公
7、式来计算电势来计算电势V V，否则必得出无限大的结果，显然是没，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出轴上P点与参考点P1的电势差。无限长均匀带电直线在X轴上的场强为过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差 由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得P点
8、的电势为 这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对的意义。补充题补充题第38页/共57页39均匀带电圆环，带电量为q，半径为R，求轴线上任意一点的P电势。解：解：PxxRr法一法一)法二法二)PxxRr补充题补充题第39页/共57页40解：解：已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算E。oxrdrPdx取圆环rr+dr补充题补充题第40页/共57页41解：解：采用补偿法来求解，电荷密度均匀为 的球体内，有一球形空腔，将坐标原点建立在球心o上，空腔球心的位置矢量为，试求空腔内任意点的场强。利用高斯定理可
9、求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强：R2R1Poo1同理负电荷均匀带电球体产生的场强：在空腔内任意点处的场强：腔内为均匀电场。补充题补充题第41页/共57页42例7-20金属球A与金属球壳B同心放置。已知球A半径为R1，带电为q，金属壳B内外半径分别为R2，R3，带电为Q。求：(1)系统的电荷分布(2)空间电势分布及球A和壳B的电势。(3)若B接地，结果又如何？解：（1）静电平衡时，导体（净）电荷只能分布在导体表面上。球A的电量只可能在球的表面。壳B有两个表面，电量分布在内、外两个表面。由于A、B对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球对称。电荷在导体表面均匀分布第42页/共57页
10、43+-+按照高斯定理和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。可以等效为：真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。（2）利用叠加原理求电势AB第43页/共57页44AB第44页/共57页45（3）若B接地，球壳外表面的电荷将消失。AB思考：若A、B用导线连接，结果如何？第45页/共57页46已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边放入导体板B。求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布(2)将B B板接地，求电荷分布a点b点A板B板解方程得:电荷分布第46页/共57页47场强分布两板之间板左侧板右侧第47页/共57页48半径为R的导体球，放在内、外半径为和的同心导体球壳内，若球和球壳分别带电q和
11、Q，试求：（1）球和球壳的电势；（2）若用导线将球和球壳连接，此时它们的电势又为多少？解：解：-qq+Q第48页/共57页49补充题补充题 由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场。由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场。设电荷面密度设电荷面密度,场点距平面场点距平面a,如图如图1.7,电荷元线密度电荷元线密度=dy利用长直电荷的结果，有利用长直电荷的结果，有利用对称关系，可只考虑方向利用对称关系，可只考虑方向xdydEdExdEyya图图1.7大平面电荷大平面电荷第49页/共57页50均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线上任意一点的P势。解：Pxxar法一)法二)Pxxar第50
12、页/共57页51解：例已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算E。oxrdrPdx取圆环rr+dr第51页/共57页52 例 在氢原子内,电子和质子的间距为 求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.解第52页/共57页53 在真空中有电量分别为+Q和-Q的A、B两带电平板，相距为d（已知d很小），面积为S。试分析两板间的相互作用力的大小。补充题补充题 对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则 又有人说，根据F=QE，据题意可知A、B两板可近似认为是无限大带电板，于是则则实际上两种说法都不对。实际上两种说法都不对。在第一种说法中，因
13、为d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对E的理解有误。因为F=QE中的E是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强，因此也是不对的。正确的解法是，正确的解法是，A A板上的电荷板上的电荷Q Q在在B B板板Q Q产生的场中，其产生的场中，其因此，A板上的电荷Q能受的电场力为:同理,这是一对作用力和反作用力。解：dAB+Q-Q第53页/共57页54 如图所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷线密度为+1.另外，在垂直于它的方向放置着一根长为L的均匀带电线AB,其电荷线密度为+2.试求它们
14、间的相互作用力。由无限长带电直线场强公式可知，dq处的场强为:方向沿X轴正向。于是有:由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以:ABaL+1+2解：补充题补充题 带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线L视为许多电荷元dq的集合，则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。在距无限长带电直线x处,任取一电荷元dq=2dx，XOxdx根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F，其大小与F相等，方向相反。第54页/共57页55例题例题1电荷量电荷量q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的的金属圆环上，
15、在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为，直线的一，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。0 x【解解】如图，环上电荷元如图，环上电荷元作用在直线上作用在直线上p处电荷元处电荷元上的库仑力为上的库仑力为q根据对称性，整个圆环的电荷整个圆环的电荷 作用在 上的力为力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当 时）故 整个直线上的电荷整个直线上的电荷受到的作用力为受到的作用力为第55页/共57页56例题例题1电荷量电荷量q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为，直线的一，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。0 x【解解】如图，如图，环上电荷元环上电荷元作用在作用在直线上直线上p处电荷元处电荷元上的库仑力为上的库仑力为q根据对称性，整个圆环的电荷整个圆环的电荷 作用在 上的力为力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当 时）故 整个直线上的电荷整个直线上的电荷受到的作用力为受到的作用力为第56页/共57页57感谢您的观看！第57页/共57页