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1、导热基本定律及稳态导热讲义第1页，共55页，编辑于2022年，星期日2第四章第四章导热的理论基础及计算导热的理论基础及计算4-1 4-1 导热的基本概念和定律导热的基本概念和定律4-2 4-2 导热微分方程导热微分方程4-3 4-3 初始条件和边界条件初始条件和边界条件4-4 4-4 热扩散率热扩散率4-5 4-5 一维稳态导热一维稳态导热4-6 4-6 通过肋片的导热分析通过肋片的导热分析第2页，共55页，编辑于2022年，星期日3一、温度场1.1.温度场：温度场：各时刻物体中各点温度分布称为温各时刻物体中各点温度分布称为温度场，它是时间和空间坐标的函数度场，它是时间和空间坐标的函数 ，记为
2、：，记为：t t为温度为温度;x,y,zx,y,z为空间坐标为空间坐标;t t-时间时间 4-1 导热的基本概念和定律第3页，共55页，编辑于2022年，星期日稳态温度场稳态温度场 稳态导热稳态导热（Steady-state conduction）非稳态温度场非稳态温度场 非稳态导热非稳态导热（Transient conduction）三维稳态温度场：三维稳态温度场：一维稳态温度场一维稳态温度场:第4页，共55页，编辑于2022年，星期日52.等温面与等温线：等温面：温度场中同一瞬时温度相同各点连成的面。第5页，共55页，编辑于2022年，星期日6等温线：等温线：用一个平面与各等温面相交，在这
3、个平面用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个上得到一个等温线簇等温线簇等温面与等温线的特点：等温面与等温线的特点：(1)(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面或等温线彼此不能相交(2)(2)在连续的温度场中，等温面或等温线在连续的温度场中，等温面或等温线不会终止不会终止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上就终止于物体的边界上(3)(3)物体的温度通常用等温面或等温线表示。物体的温度通常用等温面或等温线表示。第6页，共55页，编辑于2022年，星期日7n等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的
4、大小。如图等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。所示是用等温线图表示温度场的实例。第7页，共55页，编辑于2022年，星期日8二、导热基本定律1 1、傅立叶定律、傅立叶定律定义：在导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量正定义：在导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量正比于垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温比于垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。度升高的方向相反。数学表达式数学表达式：负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向第8页，共55页，编辑于2
5、022年，星期日9（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）傅里叶定律用热流密度表示：傅里叶定律用热流密度表示：其中其中 热流密度热流密度(单位时间内通过单位面单位时间内通过单位面积的热流量积的热流量)物体温度沿物体温度沿 x x 轴方向的变化率轴方向的变化率 第9页，共55页，编辑于2022年，星期日102.温度梯度（Temperature gradient）是空间某点的是空间某点的温度梯度温度梯度；是通过该点等温线上的法向单是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；位矢量，指向温度升高的方向；是该处的是该处的热流密度矢量热流密度矢量。式中：
6、式中：第10页，共55页，编辑于2022年，星期日11热流线热流线 ：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。热流密度矢量与热流线的关系：热流密度矢量与热流线的关系：相邻两个热流线之间所传递的热相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。流密度矢量处处相等，构成一热流通道。3、温度梯度与热流密度矢量的关系第11页，共55页，编辑于2022年，星期日12三、导热系数（三、导热系数（Thermal conductivity Thermal con
7、ductivity）定义定义:导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内通过单位面积的热量位时间内通过单位面积的热量。w/(mk)导热系数导热系数:物性参数物性参数.导热系数的数值取决于导热系数的数值取决于物质种类与温度物质种类与温度等因素。等因素。第12页，共55页，编辑于2022年，星期日13物质导热性能比较：物质导热性能比较：保温材料保温材料：导热系数小的材料称为保温材料。：导热系数小的材料称为保温材料。国家标准国家标准：凡平均温度不高于：凡平均温度不高于350350导热系数不大于导热系数不大于0.12w/(m.k)0.12w/(m.k)的材
8、料称为保温材料。的材料称为保温材料。第13页，共55页，编辑于2022年，星期日14同一种物质的导热系数也会因其同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变，因而状态参数的不同而改变，因而导导热系数是温度和压力的函数热系数是温度和压力的函数。一般把一般把导热系数仅仅视为温导热系数仅仅视为温度的函数度的函数，而且在一定温度，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系范围还可以用一种线性关系来描述来描述 第14页，共55页，编辑于2022年，星期日154-2 导热微分方程一维导热问题一维导热问题：根据傅立叶定律积分，可获得用：根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。两侧温差表示的导热量。
9、多维导热问题多维导热问题：首先获得：首先获得温度场的分布函数温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量热流密度矢量。第15页，共55页，编辑于2022年，星期日16定义：定义：根据根据能量守恒定律能量守恒定律与与傅立叶定律傅立叶定律，建立导热物体中的温度，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。导热微分方程的数学表达式导热微分方程的数学表达式：导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。导热微分方程导热微分方程理论基础：理论基础：能量守
10、恒定律能量守恒定律与与傅立叶定律傅立叶定律第16页，共55页，编辑于2022年，星期日17 导热微分方程式导热微分方程式通过空间任一点任一方通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为向的热流量也可分解为 x x、y y、z z 坐标方向坐标方向的的分热流量分热流量。第17页，共55页，编辑于2022年，星期日18 导热微分方程式导热微分方程式 通过通过 x-x x-x、y-y y-y、z-z z-z，三个微元表面而，三个微元表面而导入微元体的热流导入微元体的热流量量：x x 、y y 、z z 的计算。的计算。根据傅立叶定律得根据傅立叶定律得 (a)第18页，共55页，编辑于2022年，星期日1
11、9 导热微分方程式导热微分方程式 通过通过 x+dx x+dx、y+dy y+dy、z+dz z+dz 三个微元表面而三个微元表面而导出微元体的热流导出微元体的热流量量x+dxx+dx 、y+dyy+dy 、z+dzz+dz 的计算。根据傅立叶定律得：的计算。根据傅立叶定律得：(b)第19页，共55页，编辑于2022年，星期日20 导热微分方程式导热微分方程式 对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：时间间隔内有以下热平衡关系：导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量+微元体内热源的生微元体内热源的生成热成热=导出微元体的总热流量
12、导出微元体的总热流量+微元体热力学微元体热力学能（内能）的增量能（内能）的增量 （C C）第20页，共55页，编辑于2022年，星期日21 导热微分方程式导热微分方程式微元体热力学能的增量微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热微元体内热源的生成热=其中其中 微元体的密度、比热微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。间。第21页，共55页，编辑于2022年，星期日22导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量 导热微分方程式导热微分方程式第22页，共55页，编辑于2022年，星期日23将以上各
13、式代入热平衡关系式，并整理得：将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式三维非稳态导热微分方程的一般表达式。物理意义：物理意义：物体的温度随时间和空间的变化关系物体的温度随时间和空间的变化关系。导热微分方程式导热微分方程式第23页，共55页，编辑于2022年，星期日241 1）对上式化简：）对上式化简：导热系数为常数导热系数为常数 式中，式中，称为，称为热扩散率热扩散率。导热系数为常数导热系数为常数 、无内热源（、无内热源（傅里叶方程傅里叶方程）导热微分方程式导热微分方程式第24页，共55页，编辑于2022年，星期日25 导热微
14、分方程式导热微分方程式导热系数为常数导热系数为常数 、稳态（、稳态（泊松方程泊松方程）导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 、无内热源（、无内热源（拉普拉斯方程拉普拉斯方程）第25页，共55页，编辑于2022年，星期日26 导热微分方程式导热微分方程式1 1）圆柱坐标系中的导热微分方程圆柱坐标系中的导热微分方程：2 2）球坐标系中的导热微分方程球坐标系中的导热微分方程：第26页，共55页，编辑于2022年，星期日27 导热微分方程式导热微分方程式说明：说明：（1 1）导热问题仍然服从）导热问题仍然服从能量守恒定律能量守恒定律；（2 2）等号左边是单位时间内）等号左边是单位时间内微元体热力
15、学能的增量微元体热力学能的增量（非稳态项）；（非稳态项）；（3 3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微元体在单位时间内）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微元体在单位时间内增加的能量增加的能量(扩散项扩散项)；（4 4）等号右边最后项是）等号右边最后项是源项源项；（5 5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。扩散项即从导热微分方程中消失。第27页，共55页，编辑于2022年，星期日28导热过程的单值性条件：导热过程的单值性条件：对对特特定定的的导导热热过过程程：需需要要得得到到满满足足
16、该该过过程程 的唯一解的唯一解单值性条件：单值性条件：确定唯一解的附加说明条件确定唯一解的附加说明条件单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何几何、物理物理、时间时间、边界边界完整数学描述：完整数学描述：导热微分方程导热微分方程+单值性条件单值性条件4-3 初始条件和边界条件第28页，共55页，编辑于2022年，星期日1 1、几何条件、几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小2 2、物理条件、物理条件如：物性参数如：物性参数 、c c 和和 的数值，是否随温度变化；的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布
17、；是否各向同性有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明说明导热体的物理特征导热体的物理特征3 3、时间条件、时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为时间条件又称为初始条件初始条件（Initial conditionsInitial conditions）第29页，共55页，编辑于2022年，星期日、边界条件、边界条件说明导热体说明导热体边界上过程进行的特点边界上过程进行的特点反
18、映过程与周围环境相互作用的条件反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类：第一类第一类、第二类第二类、第三类第三类边界条件边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions）（1 1）规定了边界上的温度值规定了边界上的温度值，称为，称为第一类边界条件第一类边界条件。对于非。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：第30页，共55页，编辑于2022年，星期日（2 2）规定了规定了边界上的热流密度值边界上的热流密度值，称为，称为第二类边界条件第二类边界条件。对于非稳。对于非稳态
19、导热，这类边界条件要求给出以下关系式：态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：（3 3）规定了边界上物体与周围流体间的规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数表面传热系数及及周围周围流体的温度流体的温度，称为，称为第三类边界条件第三类边界条件。第三类边界条件可表示为。第三类边界条件可表示为第31页，共55页，编辑于2022年，星期日若若 为常数：为常数：热扩散率热扩散率 反映了导热过程中材料的反映了导热过程中材料的导热能力导热能力（）与沿途物质与沿途物质储热能力储热能力（c c）之间的关系）之间的关系 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，说明值小，说明物体的某一部分物体的某一部分一
20、旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分各部分温度趋向于均匀一致的能力温度趋向于均匀一致的能力4-4 热扩散率：第32页，共55页，编辑于2022年，星期日33一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。圆柱内的导热。一一、单层平壁的导热单层平壁的导热几何条件：单层平板；几何条件：单层平板；物理条件：物理条件：、c c、常数；常数；无内热源无内热源 时间条件：稳态导热时间条件：稳态导热 边界条件：第一类边界条件：第
21、一类o o t t1 1t tt t2 24-5 一维稳态导热第33页，共55页，编辑于2022年，星期日34xot1tt2直接积分，得：直接积分，得：根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：第一类边条件：第一类边条件：带入边界条件带入边界条件线性关系线性关系第34页，共55页，编辑于2022年，星期日35热阻分析法适用于热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源一维、稳态、无内热源的情况的情况带入带入Fourier Fourier 定律定律第35页，共55页，编辑于2022年，星期日36二二、多层平壁的导热多层平壁的导热t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热多层平壁：
22、由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成第一类边界第一类边界条件条件：热阻：热阻：第36页，共55页，编辑于2022年，星期日37由热阻分析法由热阻分析法第一层：第一层：第二层：第二层：第第 i i 层：层：第37页，共55页，编辑于2022年，星期日38单位：单位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热h h1 1h h2 2多层、第三类边界条件多层、第三类边界条件第38页，共55页，编辑于2022年，星期日39 通过多层平壁的导热通过多层平壁的导热第39页，共55页，编辑于2022年，星期日40三、三、单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：圆柱
23、坐标系：假设单管长度为假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的圆筒壁的外半径小于长度的1/101/10一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、无内热源、常物性：(a)(a)第一类边界条件第一类边界条件第40页，共55页，编辑于2022年，星期日41对方程对方程(a)(a)积分两次积分两次:温度呈对数曲线分布温度呈对数曲线分布第41页，共55页，编辑于2022年，星期日42圆筒壁内温度分布圆筒壁内温度分布：第42页，共55页，编辑于2022年，星期日43圆筒壁内部的热流密度和热流分布圆筒壁内部的热流密度和热流分布:虽然此时为稳态情况，但虽然此时为稳态情况，但热流密度热流密度 q q 与半径与
24、半径 r r 成反比！成反比！长度为长度为 l 的圆筒壁的的圆筒壁的导导热热阻热热阻第43页，共55页，编辑于2022年，星期日44四、四、n n层圆筒壁层圆筒壁由由不不同同材材料料构构成成的的多多层层圆圆筒筒壁壁，其其导导热热热热流流量量可可按按总总温温差差和和总总热阻计算热阻计算第44页，共55页，编辑于2022年，星期日45单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热h1h2 通通过过单单位位长长度度圆圆筒筒壁壁传传热热过过程程的热阻的热阻 mK/W mK/W第45页，共55页，编辑于2022年，星期日46 通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热第46页，共
25、55页，编辑于2022年，星期日47对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维Fourier定律：定律：五、五、其它变面积或变导热系数问题其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1)(1)求解导热微分方程，获得温度场求解导热微分方程，获得温度场(2)(2)根据根据FourierFourier定律和已获得的温度场计算热流量定律和已获得的温度场计算热流量 第47页，共55页，编辑于2022年，星期日48
26、当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 则则分离变量后积分，分离变量后积分，当当 时，时，第48页，共55页，编辑于2022年，星期日491 1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热l l已知：已知：矩形直肋矩形直肋肋肋跟跟温温度度为为t t0 0，且且t t0 0 t t 肋肋片片与与环环境境的的表表面传热系数为面传热系数为 h h.l l，h h和和A Ac c均均保保持持不不变变(Ac-Ac-截面积截面积)求：求：温度场温度场 t t 和热流量和热流量 F F六、六、通过肋片的导热通过肋片的导热第49页，共55页，编辑于2022年，星期日分分析析：严严格格地地说说，肋肋片
27、片中中的的温温度度场场是是三三维维、稳稳态态、无无内内热热 源源、常常 物物 性性、第第 三三 类类 边边 条条 的的 导导 热热 问问 题题。但但 由由 于于 三三 维维 问问 题题 比比 较较 复复 杂杂，故故 此此，在在 忽忽 略略 次次 要要 因因 素素 的的 基基 础础 上上，将将问题简化为一维问题问题简化为一维问题。简化：简化：a a 宽度宽度 l 且肋片宽度方向温度均匀且肋片宽度方向温度均匀 b b 大、大、H H，认为温度沿厚度方向均匀，认为温度沿厚度方向均匀边界：边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热第50页，共55页，编辑于2
28、022年，星期日51能量守恒：能量守恒：Fourier Fourier 定律：定律：NewtonNewton冷却公式：冷却公式：关于温度的二阶非关于温度的二阶非齐次常微分方程齐次常微分方程第51页，共55页，编辑于2022年，星期日52导热微分方程：导热微分方程：混合边界条件：混合边界条件：引入过余温度引入过余温度 。令令则有：则有：第52页，共55页，编辑于2022年，星期日方程的通解为：方程的通解为：应用边界条件可得：应用边界条件可得：最后可得等截面内的最后可得等截面内的过余温度分布过余温度分布：双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正切函数双曲正切函数双曲正弦函数双曲正弦函数第53页，共55页，编
29、辑于2022年，星期日54稳态条件下肋片表面的散热量稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量通过肋基导入肋片的热量肋端过余温度：肋端过余温度：即即 x x H H第54页，共55页，编辑于2022年，星期日55几点说明：几点说明：(1)(1)上上述述推推导导中中忽忽略略了了肋肋端端的的散散热热（认认为为肋肋端端绝绝热热）。对对于于一一般般工工程程计计算算，尤尤其其高高而而薄薄的的肋肋片片，足足够够精精确确。若若必必须须考虑肋端散热，取：考虑肋端散热，取：H Hc c=H H+/2/2(2)(2)上述分析上述分析近似认为肋片温度场为一维近似认为肋片温度场为一维。当当Bi=Bi=h h/0.05 0.05 时时，误误差差小小于于1%1%。对对于于短短而而厚厚的的肋肋片片，二二维维温温度度场场，上上述述算算式式不不适适用用；实实际际上上，肋肋片片表表面面上上表表面面传传热热系系数数h h不不是是均均匀匀一致的一致的 数值计算数值计算第55页，共55页，编辑于2022年，星期日