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1、第二课时正射影和三垂线定理第1页，本讲稿共30页课标研读课标研读1理解点、斜线、斜线段在平面上的射影，图形在理解点、斜线、斜线段在平面上的射影，图形在平面上的射影等概念；掌握三垂线定理及其逆定理，平面上的射影等概念；掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活应用并能灵活应用2重点是三垂线定理及其逆定理，难点是非标准位置的三重点是三垂线定理及其逆定理，难点是非标准位置的三垂线定理及其逆定理的应用垂线定理及其逆定理的应用课前自主学习课前自主学习第2页，本讲稿共30页温故夯基温故夯基1直线直线a平面平面的判定定理为的判定定理为mnO，m，n，am，ana.2若若ab，a，则，则_3若若a，b，则，则_b.a
2、b.第3页，本讲稿共30页知新益能知新益能1过一点向平面引过一点向平面引_，_叫做这个点在这个平面内叫做这个点在这个平面内的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的_2一条直线和一个平面一条直线和一个平面_，但不和这个平面，但不和这个平面_时，这时，这条直线就叫做这个平面的条直线就叫做这个平面的_，斜线和平面的交点叫，斜线和平面的交点叫_从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的叫做这点到这个平面的_垂线垂线垂足垂足垂线段垂线段相交相交垂直垂直斜线斜线斜足斜足斜线段斜线段第4页，本讲
3、稿共30页3在在_的一条直线，如果和这个平面的一的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的条斜线的_垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条_垂直；垂直；反之，如果和这个平面的一条反之，如果和这个平面的一条_垂直，那么它也垂直，那么它也和这条斜线的和这条斜线的_垂直垂直平面内平面内射影射影射影射影斜线斜线斜线斜线第5页，本讲稿共30页问题探究问题探究1从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长受斜线段长的影响吗？受斜线段长的影响吗？提示：提示：受影响相等的斜线段的射影也相等，较长的斜受影响相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长，反之射影相等
4、的斜线段相等，射影线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长第6页，本讲稿共30页2“三垂线定理三垂线定理”及及“逆定理逆定理”中中“平面内平面内”这个条件能否省略？这个条件能否省略？提示：提示：两个定理中两个定理中“平面内平面内”这个条件不能省略，否则不一定成这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明立，需要进一步证明这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂
5、直才能保证线线垂直证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直第7页，本讲稿共30页题型一题型一题型一题型一图形在某个平面上的射影图形在某个平面上的射影课堂互动讲练课堂互动讲练图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引垂线，垂足点所形成的图形一般是找图形各顶点的射垂线，垂足点所形成的图形一般是找图形各顶点的射影点影点第8页，本讲稿共30页 如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为正方为正方体的中心，则体的中心，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是在该正方体各个面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都
6、填上要求：把可能的图的序号都填上)【思路点拨思路点拨】找图形边界点的投影点，再连线找图形边界点的投影点，再连线例例例例1 1第9页，本讲稿共30页【解析解析】由于由于A、C在下底面上的射影是它们各自本身，在下底面上的射影是它们各自本身，P在下底面上的射影是在下底面上的射影是AC中点，故中点，故PAC在下底面上的射影是下在下底面上的射影是下底面对底面对角线角线AC.因此，图因此，图是可能的，是可能的，且且PAC在上底面上的射影是在上底面上的射影是上底面对角线上底面对角线A1C1也是图也是图的的情形；而情形；而A在侧面在侧面BC1上的射影是上的射影是B，P在侧面在侧面BC1上的射影是上的射影是侧面
7、侧面BC1的中心，故图的中心，故图也是可能的同理，可知也是可能的同理，可知PAC在其他三个侧面上的射影也都是图在其他三个侧面上的射影也都是图的情形，于是图的情形，于是图、是不可能的因此，所有可能的情形是图是不可能的因此，所有可能的情形是图、图、图.【答案答案】第10页，本讲稿共30页【名师点评名师点评】本题侧重于考查数学语言向图形语言的转本题侧重于考查数学语言向图形语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革
8、较为成功的一种题型是近几年高考题型改革较为成功的一种题型第11页，本讲稿共30页题型二题型二题型二题型二三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线面垂直的过程面垂直的过程从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出找出“平面的垂线平面的垂线”“平面的
9、斜线平面的斜线”“斜线的射影斜线的射影”第12页，本讲稿共30页 (2010年高考陕西卷改编年高考陕西卷改编)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，底面底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，APAB2，BC2 ，E、F分别是分别是AD、PC的中点的中点证明：证明：PC平面平面BEF.【思路点拨思路点拨】结合量的计算寻找结合量的计算寻找PCBF、PCBE.例例例例2 2第13页，本讲稿共30页【证明证明】PA平面平面ABCD，PAAB，PAAB2PB2 .PBBC.又又F为为PC的中点，的中点，BFPC.连结连结AC.设设ACBEG，AC为为PC在平面在平面ABCD上的射影上
10、的射影第14页，本讲稿共30页【思维总结思维总结】运用三垂线定理及逆定理，其关键运用三垂线定理及逆定理，其关键是准确识别或作出构成定理的五个元素是准确识别或作出构成定理的五个元素第15页，本讲稿共30页在本例中，求证：在本例中，求证：BCPB、CDPD.证明：证明：PA面面ABCD.AB为为PB在面在面ABCD上的射影，上的射影，BC面面ABCD且且BCAB，BCPB，同理可证同理可证CDPD.互动探究互动探究互动探究互动探究第16页，本讲稿共30页题型三题型三题型三题型三点到平面的距离点到平面的距离平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度是这平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度是
11、这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求 已知已知P为为ABC外一点，外一点，PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，PAPBPCa，求点，求点P到平面到平面ABC的距离的距离【思路点拨思路点拨】欲求点到平面的距离，可先过点作平面的欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长垂线，进一步求出垂线段的长例例例例3 3第17页，本讲稿共30页【解解】过过P作作PO平面平面ABC于于O点，连结点，连结AO，BO，CO，POOA，POOB，POOC，PAPBPCa，PAOPBOPCO，OAOBOC，O为为ABC的外心的外心第18页
12、，本讲稿共30页【思维总结思维总结】求点到平面的距离较常用的方法有两种：求点到平面的距离较常用的方法有两种：(1)作出垂线段，求垂线段的长度；作出垂线段，求垂线段的长度；(2)求出几何体的体积，求出几何体的体积，利用等积法转化成求点到平面的距离利用等积法转化成求点到平面的距离第19页，本讲稿共30页错误运用三垂线定理或逆定理条件错误运用三垂线定理或逆定理条件 在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，D1DDC，判定对，判定对角线角线BD1和和B1D是否一定垂直，请说明理由是否一定垂直，请说明理由例例例例思维误区警示思维误区警示第20页，本讲稿共30页【错解错解】连结连结C1D，D1C，
13、B1C1面面CDD1C1，C1D为为B1D在平面在平面CDD1C1上的射影上的射影D1DDC，D1CC1D，D1CB1D.又又D1C为为BD1在平面在平面CDD1C1的射影，的射影，B1DBD1.【错因错因】B1DD1C，虽然，虽然D1C是斜线是斜线BD1在面在面CDD1C1上的上的射影，但射影，但B1D 面面CDD1C1，用错三垂线定理，用错三垂线定理【自我挑战自我挑战】在长方体中，体对角线不一定垂直要使在长方体中，体对角线不一定垂直要使B1DBD1，必须有，必须有BB1BD.第21页，本讲稿共30页1准确认识三垂线定理及其逆定理准确认识三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理及其逆定理是解、证
14、与线线三垂线定理及其逆定理是解、证与线线(面面)垂直有关垂直有关问题的重要而有效的工具，三垂线定理的基本要素是问题的重要而有效的工具，三垂线定理的基本要素是“一面四线一面四线”，一面：基础平面；四线：斜线、垂线、射影、，一面：基础平面；四线：斜线、垂线、射影、面内直线面内直线规律方法总结规律方法总结第22页，本讲稿共30页(2)应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的“三步曲三步曲”：定定“线面线面”：确定一个基础平面和这个平面内的一条：确定一个基础平面和这个平面内的一条直线；直线；找找“三线三线”：找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线：找这个平面的
15、一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影；在这个平面内的射影；证证“垂直垂直”：证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平：证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直面内的射影垂直第23页，本讲稿共30页2三垂线定理及其逆定理的区别三垂线定理及其逆定理的区别三垂线定理是先有平面内的直线三垂线定理是先有平面内的直线a垂直于射影的条件，然垂直于射影的条件，然后得出后得出a垂直于斜线的结论而逆定理则是已知平面内垂直于斜线的结论而逆定理则是已知平面内的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，即三垂线定理是即三垂线定理是“线与射影垂直线与射影
16、垂直线与斜线垂直线与斜线垂直”，逆定理正，逆定理正好相反，在引用时注意不要混淆好相反，在引用时注意不要混淆第24页，本讲稿共30页1(2010年长春调研年长春调研)下面有四个命题：下面有四个命题：(1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(3)垂线段比任何一条线段都短；垂线段比任何一条线段都短；(4)斜线在平面内的射影可能是斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点其中正确的命题有一条直线，也可能是一个点其中正确的命题有
17、()A0个个B1个个C3个个 D4个个随堂即时巩固随堂即时巩固第25页，本讲稿共30页解析：选解析：选A.(1)、(2)、(3)均不正确垂线段和斜线段均不正确垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立点引出的，离开了这个前提，结论就不成立(4)也也不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点故本题应选线在平面内的射影才是点故本题应选A.第26页，本讲稿共30页2ABC在平面在平面内，点内，点P在平面在平面外，外，PO于于O，且，且P
18、到到A、B、C的距离相等，则的距离相等，则O为为ABC的的()A外心外心 B内心内心C垂心垂心 D重心重心解析：选解析：选A.由由PO于于O，知，知AO、BO、CO分别为斜线段分别为斜线段PA、PB、PC在平面在平面内的射影，又内的射影，又PAPBPC，所以，所以AOBOCO，即，即O为为ABC的外心的外心第27页，本讲稿共30页3(2010年吉林高二统考年吉林高二统考)如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是A1A、AB上的点，若上的点，若NMC190，那么，那么NMB1的大小是的大小是()A小于小于90B等于等于90C大于大于90D不能确定不能确定解析：选解析：选B.由已知由已知C1M是平面是平面ABB1A1的斜线，而的斜线，而C1B1平面平面ABB1A1，所以，所以MB1是斜线是斜线C1M在平面在平面ABB1A1内的射影，又内的射影，又NMC190，即，即C1MMN，由三垂线定理的逆定理知，由三垂线定理的逆定理知MB1MN，所以，所以NMB190.第28页，本讲稿共30页4如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ABC90，SA平面平面ABC，则，则CA、CB、CS在在平面平面SAB上的射影依次是上的射影依次是_答案：答案：AB、点、点B、SB第29页，本讲稿共30页课时活页训练课时活页训练第30页，本讲稿共30页