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1、第二节正项级数敛散性的判别第1页，本讲稿共35页第二节第二节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别一一.定定义义如果如果则称级数则称级数为正项级数为正项级数.二二.性性质质定理定理7.1 正项级数收敛正项级数收敛部分和数列有界部分和数列有界.证证因因所以所以单调递增单调递增从而从而存在存在有界有界故命题成立故命题成立.第2页，本讲稿共35页定理定理7.2(比较判别法的不等式形式比较判别法的不等式形式)设设和和都是正项级数都是正项级数,如果如果则则收敛时收敛时,也收敛也收敛;(2)当当发散时发散时,也发散也发散.证证 设设的第的第 次部分和分别为次部分和分别为因因所以所以收敛收敛有上界有上界
2、有上界有上界收敛收敛.(1)当当第3页，本讲稿共35页(1)大头收敛小头收敛大头收敛小头收敛,小头发散大头发散小头发散大头发散.(2)条件条件可改成可改成例例1 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.解解因因且且发散发散故故发散发散.第4页，本讲稿共35页例例2 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数收敛收敛发散发散第5页，本讲稿共35页例例3 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.解解因因且且收敛收敛,故故收敛收敛.及及解解因因且且收敛收敛,故故收敛收敛.第6页，本讲稿共35页例例2 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解 当当时时而而发散发散 故故发散发散.当当时时(4)收收敛敛(3)收收敛敛(2)收
3、收敛敛(1)收收敛敛.第7页，本讲稿共35页第8页，本讲稿共35页比较判别法比值判别法根值判别法第二节第二节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别主主题题第9页，本讲稿共35页(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)设设和和都是正项级数都是正项级数,如果如果则则时时,有相同的敛散性有相同的敛散性;(1)当当与与时时,(2)当当若若收敛收敛,也收敛也收敛;时时,(3)当当若若发散发散,也发散也发散.定理定理7.3目标目标:1.证明极限证明极限2.利用极限证利用极限证别的问题别的问题(对 取特殊值)第10页，本讲稿共35页时时,(1)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即
4、亦亦从而从而有相同的敛散性有相同的敛散性.与与证证第11页，本讲稿共35页时时,(1)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即亦亦 分析分析第12页，本讲稿共35页(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)设设和和都是正项级数都是正项级数,如果如果则则时时,有相同的敛散性有相同的敛散性;(1)当当与与时时,(2)当当若若收敛收敛,也收敛也收敛;时时,(3)当当若若发散发散,也发散也发散.定理定理7.3目标目标:第13页，本讲稿共35页时时,(2)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即亦亦从而从而收敛时收敛时,也收敛也收敛.第14页，本讲稿共35页(比较判别法
5、的极限形式比较判别法的极限形式)设设和和都是正项级数都是正项级数,如果如果则则时时,有相同的敛散性有相同的敛散性;(1)当当与与时时,(2)当当若若收敛收敛,也收敛也收敛;时时,(3)当当若若发散发散,也发散也发散.定理定理7.3目标目标:第15页，本讲稿共35页时时,(3)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即从而从而发散时发散时,也发散也发散.第16页，本讲稿共35页(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)设设和和都是正项级数都是正项级数,如果如果则则时时,有相同的敛散性有相同的敛散性;(1)当当与与时时,(2)当当若若收敛收敛,也收敛也收敛;时时,(3)当当若若发散
6、发散,也发散也发散.定理定理7.3第17页，本讲稿共35页例例4 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解因因且且发散发散故故发散发散.第18页，本讲稿共35页例例5 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解因因且且收敛收敛,故故收敛收敛.第19页，本讲稿共35页练习练习判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性.第20页，本讲稿共35页比较判别法比较判别法(极限形式极限形式)总结总结熟记定理内容掌握做题方法体会对象选取第21页，本讲稿共35页(达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法)设设是正项级数是正项级数,如果如果则则时时,(1)当当收敛收敛;时时,(2)当当发散发散;或或时时,(3)当当此法失效
7、此法失效.定理定理7.4第22页，本讲稿共35页时时,(1)当当因因故故对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即从而从而证证第23页，本讲稿共35页因因(1)收敛收敛,故故(2)收敛收敛,从而原级数收敛从而原级数收敛.第24页，本讲稿共35页时时,(2)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即从而从而故故所以所以发散发散.第25页，本讲稿共35页时时,(2)当当因因故故 对对存在正整数存在正整数当当时时,有有即即故故所以所以发散发散.用比值法判定级用比值法判定级数发散数发散,则一定则一定有有第26页，本讲稿共35页时时,(3)当当此法失效此法失效.例例发散发散,收敛收敛第27
8、页，本讲稿共35页例例6 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解故故 级数级数收敛收敛.第28页，本讲稿共35页例例7 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解故故级数级数收敛收敛.第29页，本讲稿共35页例例7 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解故故 级数级数收敛收敛因因又又从而从而 级数级数收敛收敛.第30页，本讲稿共35页(柯西根值判别法柯西根值判别法)设设是正项级数是正项级数,如果如果则则时时,(1)当当收敛收敛;时时,(2)当当发散发散;或或时时,(3)当当此法失效此法失效.定理定理7.4第31页，本讲稿共35页例例8 判断判断的敛散性的敛散性.级数级数解解故故收敛收敛.(5)柯西
9、根值判别法柯西根值判别法(4)达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法(3)比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式(2)比较判别法的不等式形式比较判别法的不等式形式(1)基本定理基本定理总总结结第32页，本讲稿共35页一般级数做题参考思路一般级数做题参考思路:(1)是否特殊级数是否特殊级数(等比级数等比级数,调和级调和级数数)(2)一般项是否趋于零一般项是否趋于零(3)其它性质其它性质(4)定义定义第33页，本讲稿共35页正项级数做题参考思路正项级数做题参考思路:(1)是否特殊级数是否特殊级数(等比级数等比级数,调和级数调和级数,p级数级数)(2)一般项是否趋于零一般项是否趋于零(3)其它基本性质其它基本性质(5)比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式(4)比较判别法的不等式形式比较判别法的不等式形式(7)柯西根值判别法柯西根值判别法(6)达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法(8)基本定基本定理理(9)定义定义第34页，本讲稿共35页作业题习题七习题七(A)6、7、8.第35页，本讲稿共35页