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1、i指标取值范围为小于或等于n n的所有正整数n维数 数变量指标符号第1页/共85页一、求和约定和哑指标 A-1 指标符号A A 张量分析约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维第2页/共85页 A-1 指标符号代表代表2727项的项的和式和式一、求和约定和哑指标 双重求和双重求和第3页/共85页二、自由指标 筒写为筒写为 j 哑指标哑指标i自由指标自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 A-1 指标符号第4页/共85页三、Kronecker-符号和置换符号(RicciRicci符号)Kronecker-符号定义 A-1 指标符号第5页/
2、共85页三、Kronecker-符号和置换符号(RicciRicci符号)Kronecker-符号定义 A-1 指标符号第6页/共85页直角坐标系的基矢直角坐标系的基矢量量 第7页/共85页三、Kronecker-符号和置换符号(RicciRicci符号)RicciRicci符号定义 A-1 指标符号偶次置换奇次置换第8页/共85页三、Kronecker-符号和置换符号(RicciRicci符号)RicciRicci符号定义 A-1 指标符号第9页/共85页第10页/共85页第11页/共85页Kronecker-Kronecker-和RicciRicci符号的关系第12页/共85页A-A-2
3、2 矢量的基本运算 在三维空间中在三维空间中,任意矢任意矢量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基矢量的线性组合矢量的线性组合 a ai i i i为矢量为矢量a a在基矢量在基矢量e ei i i i下的分解系数下的分解系数,也称矢量也称矢量的分量的分量 一、矢量点积 A A 张量分析第13页/共85页A-A-2 2 矢量的基本运算 一、矢量点积 二、矢量叉积 A A 张量分析第14页/共85页A-A-2 2 矢量的基本运算 二、矢量叉积 A A 张量分析证明证明第15页/共85页A-A-2 2 矢量的基本运算 二、矢量叉积 A A 张量分析第16页/共85页三、矢量的混合积 A-A-2 2
4、 矢量的基本运算 Ricci符号A A 张量分析第17页/共85页四、矢量的并乘(并矢)A-A-2 2 矢量的基本运算 A A 张量分析并乘第18页/共85页A-3A-3 坐标变换与张量的定义 A A 张量分析第19页/共85页坐标变换坐标变换式式A-3A-3 坐标变换与张量的定义 A A 张量分析第20页/共85页互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵基基矢量变换矢量变换式式任意向任意向量变换量变换式式A A 张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义 坐标坐标变换变换系数系数第21页/共85页张量的定义在坐标系变换时在坐标系变换时,满足如下变换满足如下变换关系的量称为张量关系的量称为张量 张量的阶张
5、量的阶自由指标的数目自由指标的数目不变性记法不变性记法 A A 张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义 第22页/共85页一、加(减)法 二、矢量与张量的点积(点乘)左点乘左点乘 A A 张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义 矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b b比原张量 T T的阶数降低一阶 第23页/共85页A-4A-4 张量的代数运算 右右点乘点乘 对称张量两者才相等A A 张量分析第24页/共85页三、矢量与张量的叉积 A-4A-4 张量的代数运算 左左叉叉乘乘 A A 张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同阶 第25页/共85页右叉右叉乘乘 三、矢量与张
6、量的叉积 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析第26页/共85页四、两个张量的点积 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2 2 两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘 第27页/共85页五、张量的双点积 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 4 4 第28页/共85页六、张量的双叉乘 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析第29页/共85页七、张量的缩并 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析在张量的
7、不变性记法中,将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并 第30页/共85页八、指标置换 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量 第31页/共85页九、对称化和反对称化 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同,则称该张量关于这两个指标为对称,若与原张量相差一符号,则称该张量关于这两个指标为反称。有6 6个独立分量 有3 3个独立分量 第32页/共85页九、对称化和反对称化 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析对对称称化化：
8、对已知张量的N N个指标进行N!N!次不同的置换,并取所得的N!N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。第33页/共85页九、对称化和反对称化 A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析 反称化反称化:对已知张量的 N N 个指标进行N!N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值,这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。第34页/共85页十、商法则 若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数 A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk 是
9、与A(ijk)无关的任意矢量,Cij是张量,那么,A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。A-4A-4 张量的代数运算 A A 张量分析用于判定某些量的张量性！第35页/共85页A-5A-5 二阶张量（仿射量）A A 张量分析B B的作用如同一个算子,它使空间内每一个向量变换为另一个向量,或者说 B B 能把一个向量空间映射为另一向量空间。第36页/共85页A-5A-5 二阶张量（仿射量）A A 张量分析一、仿射量的转置B BT T 对称张量对称张量 反反对称张量对称张量 第37页/共85页A-5A-5 二阶张量（仿射量）A A 张量分析一、仿射量的转置B BT T 和和b b b b为任意向量
10、为任意向量 第38页/共85页A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）一、仿射量的逆B B-1-1 第39页/共85页A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值 对于仿射量B,B,若存在三个相互垂直的方向i,ji,j,k k,其映象 B Bi,Bi,Bj,Bj,Bk k也相互垂直,则称该三个方向为 B B 的主向。对称仿射量T T 必存在三个主向和三个相应的主值。主值S S 满足如下特征方程。第40页/共85页A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值 第41页/共85页A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）三、
11、对称仿射量的主向和主值 第42页/共85页三、对称仿射量的主向和主值 笛卡儿坐标笛卡儿坐标 A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）第43页/共85页A A 张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）四、各向同性张量 各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时,各分量保持不各分量保持不变的张量变的张量 零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果其三个主值相等,即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,则是各向同性的。第44页/共85页A-5A-5 二阶张量（仿射量）四、各向同性张量 证明：证明：(1)4个指标都相
12、同的分量有3个第45页/共85页A-5A-5 二阶张量（仿射量）四、各向同性张量 证明：证明：(2)4个指标有3个相同的分量有24个以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为第46页/共85页要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等，A1112。必为零。第47页/共85页所以 A1123=0。其它都为零。(3)4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则第48页/共85页将此三类分量用统一形式表示为：(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。第49页/共85页 在空间所论域内,
13、每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。笛卡儿坐标系中的张量分析。A-6 A-6 张量分析第50页/共85页一、哈密顿(Hamilton)Hamilton)算子(梯度算子)设有标量场设有标量场(x),x),当位置点当位置点r(x)r(x)变到变到r(x+dx)r(x+dx)时时,的增的增量量d d 命为命为 梯度算子,矢量算子 A-6 A-6 张量分析第51页/共85页一、哈密顿(Hamilton)Hamilton)算子(梯度算子)A-6 A-6 张量分析1.1.1.1.标量场的梯度标量场的梯
14、度2.2.2.2.矢量场矢量场u u u u的散度的散度 第52页/共85页一、哈密顿(Hamilton)Hamilton)算子(梯度算子)A-6 A-6 张量分析3.3.3.3.矢量的旋度矢量的旋度 第53页/共85页二、张量场的微分 A-6 A-6 张量分析1.1.1.1.张张量量A A A A的的梯梯度度 左梯左梯度度 右梯右梯度度 张张量的量的梯梯度度为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量 第54页/共85页二、张量场的微分 A-6 A-6 张量分析1.1.1.1.张张量量A A A A的的散散度度 左散左散度度 右散右散度度 张张量的量的散散度度为比原张量低一阶的新张量为比
15、原张量低一阶的新张量 第55页/共85页二、张量场的微分 A-6 A-6 张量分析3.3.3.3.张张量量A A A A的的旋旋度度 左旋左旋度度 第56页/共85页二、张量场的微分 A-6 A-6 张量分析3.3.3.3.张张量量A A A A的的旋旋度度 右旋右旋度度 第57页/共85页三、散度定理 A-6 A-6 张量分析高斯积分公式为高斯积分公式为 第58页/共85页三、散度定理 A-6 A-6 张量分析高斯积分公式为高斯积分公式为任意阶张量任意阶张量 第59页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 一般一般讨论的张量讨论的张量,都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进
16、行的,在解决具体问题时在解决具体问题时,往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系。一、曲线坐标在笛卡儿坐标系,空间任一点 P 的向径是设在三维空间某连通区域,给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数 反函数第60页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 第61页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系 用于编排指标用于编排指标i i i i 的次序的次序第62页/共85页第63页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 在笛卡儿坐标系,空间任意向量(张量)都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释:(l)(l)空
17、间里只有一个固定在原点的基e ei i,先将向量(张量)平行移至原点,然后在这基上分解。(2)(2)在定义区域内每点都有一个与e ei i相同的基,即局部基,向量(张量)在本作用点的局部基上就地分解。在在曲曲线线坐坐标标系系,如如果果只只用用一一个个固固定定基基的的做做法法,就就会会使使曲曲线线坐坐标标的的引引人人成成为为无无的的放放矢矢。我我们们采采用用第第二种做法二种做法,在空间每一点都建立在空间每一点都建立局部基局部基。第64页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 第65页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 取一点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的
18、切向量 自然基自然基 度量张量 第66页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量g gijijijij 第67页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量g gijijijij 第68页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可可以推广到曲线坐标系以推广到曲线坐标系,区别只在于这
19、时的基矢量区别只在于这时的基矢量g gi i i i及变换系数及变换系数 i i i i i i i i是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量A A A A在在曲线坐标系可以写成曲线坐标系可以写成 由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例如,圆柱坐标中的。因此,相对 应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量(张量)在这样的基上 的各分量并不具有物理量纲,从而给直接的物理解释带来不便。第69页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物理量纲的分量,在正交曲线坐标系,取切 于坐标曲线的无量纲单位矢
20、量作为基矢量,即正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架,或称物理基或称物理基 在物理标架上分解的张量,其相应的各分量能取得相同的物理量纲 第70页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第71页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第72页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场 沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为 两边点乘第73页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场 沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为 形式导数第74页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 1.1.克里斯多弗符号第75页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 1.1.克里斯多弗符号第76页/共85页A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析 1.1.张量的梯度第77页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第78页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第79页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第80页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第81页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第82页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第83页/共85页圆柱坐标下的张量分析 第84页/共85页谢谢您的观看！第85页/共85页