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1、第九章常微方程数值解法第九章常微方程数值解法第九章常微方程数值解法第九章常微方程数值解法第章 9章 常微分方程数值解法8-1第1页，本讲稿共31页第第9章目录章目录1 欧拉（欧拉（Euler）方法）方法 1.1 Euler法及其简单改进法及其简单改进法及其简单改进法及其简单改进 1.2 1.2 改进的改进的改进的改进的Euler法法法法2 龙格库塔（龙格库塔（Runge-kutta）方法）方法 2.1 龙格龙格-库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想 2.2 二阶龙格二阶龙格-库塔公式库塔公式 2.3 高阶高阶R-K公式公式 2.4 2.4 变步长变步长变步长变步长R-K法法3 线性多步法线性多
2、步法4 4 一阶方程组与高阶方程初值问题一阶方程组与高阶方程初值问题一阶方程组与高阶方程初值问题一阶方程组与高阶方程初值问题5 收敛性与稳定性收敛性与稳定性 第2页，本讲稿共31页第第8章章 序序 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振动，工程问题中的电
3、路分析等，都可归结为常微分方程的动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的初值问题。初值问题。初值问题。初值问题。所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始点为已知的一类问题，一般形式为：点为已知的一类问题，一般形式为：点为已知的一类问题，一般形式为：点为已知的一类问题，一般形式为：我们先介绍我们先介绍我们先介绍我们先介绍简单的一阶问题：简单的一阶
4、问题：简单的一阶问题：简单的一阶问题：第3页，本讲稿共31页第第9章章 序序由由由由常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存在。的理论可知：上述问题的解唯一存在。常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（求解求什么？应求一满足初值问题（8181）的解函数的解函数的解函数的解函数y y=y y(x x)，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：，如对下列微分方程：高等数学中，高等数学中，高
5、等数学中，高等数学中，微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：微分方程求解，如对一阶微分方程：y y =f(x,y)=f(x,y)是求解解函数是求解解函数是求解解函数是求解解函数y y=y y(x x)，使满足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够，使满足上述方程。但能够求出准确的解析函数求出准确的解析函数求出准确的解析函数求出准确的解析函数y(x)y(x)的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数的微分方程是很少的，高数中研究微分方程的求解，是中研究微分方程的求解，是中研究微分方程
6、的求解，是中研究微分方程的求解，是分门别类讨论分门别类讨论分门别类讨论分门别类讨论，对不同类型的，对不同类型的，对不同类型的，对不同类型的微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，首首首首先必须认清类型先必须认清类型先必须认清类型先必须认清类型。第4页，本讲稿共31页微分方程微分方程 数值解数值解 而而而而常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程 初值问题的数值解法，是要寻求解函数初值问题的数值解法，是要寻求解函数初值问题的数值解法，是要寻求解函
7、数初值问题的数值解法，是要寻求解函数y y(x x)在一系列点在一系列点在一系列点在一系列点y(xy(xi i)（离散点）（离散点）（离散点）（离散点）:上上上上 y(x y(xi i)的的的的近似值近似值近似值近似值y yi i（i=i=1,2,n1,2,n），并且还可由这些（），并且还可由这些（），并且还可由这些（），并且还可由这些（x xi i,y yi i)（i=i=1,2,n1,2,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相）构造插值函数作为近似函数。上述离散点相邻两点间的距离邻两点间的距离邻两点间的距离
8、邻两点间的距离h hi i=x=xi i-1-1-x xi i 称为步长，若称为步长，若称为步长，若称为步长，若h hi i 都相等为一定数都相等为一定数都相等为一定数都相等为一定数h,h,则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。则称为定步长，否则为变步长。由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很复杂，复杂，复杂，复杂，绝大多数很难，甚至不可能求出解析绝大多数很难，甚至不可能求出解析绝大多数很难，甚至不可能求
9、出解析绝大多数很难，甚至不可能求出解析函数函数函数函数y y(x x)，因，因，因，因此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。此只能考虑求其数值解。本章重点讨论如下本章重点讨论如下本章重点讨论如下本章重点讨论如下一阶微分方程：一阶微分方程：一阶微分方程：一阶微分方程：在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与在此基础上介绍一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的数值解法。高阶微分方程的数值解法。第5页，本讲稿共31页1 欧拉（欧拉（Euler）法）法 以以Euler法及其改进方法为例
10、法及其改进方法为例,说明说明常微分方程常微分方程初值问题数值解法的一般概初值问题数值解法的一般概念，念，Euler法很简单，准确度也不高，法很简单，准确度也不高，介绍此方法的目的，是由于对它的分析介绍此方法的目的，是由于对它的分析讨论能够比较清楚地显示出方法的一些讨论能够比较清楚地显示出方法的一些特点，而这些特点及基本方法反映了其特点，而这些特点及基本方法反映了其它方法的特点。它方法的特点。Euler法用于求法用于求法用于求法用于求解一阶微分方解一阶微分方程初值问题：程初值问题：第6页，本讲稿共31页1.1 Euler法及其简单改进法及其简单改进法及其简单改进法及其简单改进 EulerEule
11、r公公公公式为：式为：式为：式为：由由由由x x0 0出发出发出发出发x x1 1,x x2 2,x xN N，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的，而利用此式可算出对应的 y y1 1,y y2 2,y yN N，式（，式（，式（，式（8-28-2）称为）称为）称为）称为差分方程差分方程差分方程差分方程（序列（序列（序列（序列 y yn n 满足的方满足的方满足的方满足的方 程）。程）。程）。程）。下面是下面是下面是下面是EulerEuler公式的推导公式的推导公式的推导公式的推导 ：一一、从几何意义出发：、从几何意义出发：、从几何意义出发：、从几何意义出发
12、：y y =f f(x x,y y)的解函数的解函数的解函数的解函数y=y=y y(x x)在在在在xoyxoy平平平平面上是一族解曲线，面上是一族解曲线，面上是一族解曲线，面上是一族解曲线，而初值问题则是其中一条积分曲线假而初值问题则是其中一条积分曲线假而初值问题则是其中一条积分曲线假而初值问题则是其中一条积分曲线假定定定定y y=y y(x x)的曲线如图的曲线如图的曲线如图的曲线如图8-18-1从给定的点从给定的点从给定的点从给定的点P P0 0(x x0 0,y y0 0)出发，以出发，以出发，以出发，以P P0 0为为为为切点，作切线，切线斜率为曲线切点，作切线，切线斜率为曲线切点，
13、作切线，切线斜率为曲线切点，作切线，切线斜率为曲线y y(x x)的切线斜率的切线斜率的切线斜率的切线斜率 y y =f f(x x0 0,y y0 0)，因此可，因此可，因此可，因此可 得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）得切线：（点斜式）P1 P2y(x)P0 x2x1x0第7页，本讲稿共31页EulerEuler公式的推导公式的推导公式的推导公式的推导(续续续续1 1）几何意义几何意义几何意义几何意义：用折线近似解曲线：用折线近似解曲线：用折线近似解曲线：用折线近似解曲线y y=y y(x x)，折线不会偏离太远，折线不会偏离太远，折线不会偏离太远，折线不会偏离太远 ，
14、因为每项以，因为每项以，因为每项以，因为每项以f f(x x,y y)（斜率）修正。（斜率）修正。（斜率）修正。（斜率）修正。切线与切线与切线与切线与x x=x x1 1交于交于交于交于P P1 1(x x1 1,y y1 1)，在，在，在，在 x x0 0,x x1 1 上以切线上以切线上以切线上以切线 近似曲线，近似曲线，近似曲线，近似曲线，第8页，本讲稿共31页Euler公式公式的推导（续的推导（续2）二二二二、利用、利用、利用、利用TaylorTaylor级数：将级数：将级数：将级数：将y y(x x)在在在在x xn n处展开：处展开：处展开：处展开：第9页，本讲稿共31页Euler
15、公式的推导（续公式的推导（续4）第10页，本讲稿共31页Euler公式的推导（续公式的推导（续5）四四四四、利用数值积分公式：在利用数值积分公式：在利用数值积分公式：在利用数值积分公式：在 x xn n,x xn n+1+1 上对上对上对上对y y (x x)=)=f f(x x,y y(x x)积分积分积分积分 对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种不同的求解不同的求解不同的求解不同的求解dEdE初值问题的计算公式。初值问题的计算公式。初值
16、问题的计算公式。初值问题的计算公式。如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积如，以矩形面积代替曲边梯形面积 1 1）以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图以左矩形面积代替曲边梯形面积如图8-28-2，亦即以，亦即以，亦即以，亦即以 yf(x,y)xnxxn+1图8-2 第11页，本讲稿共31页yf(x,y)xnxxn+1图8-3yf(x,y)xnxxn+1图8-43 3）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积）代替曲边形如图）以梯形公式（面积
17、）代替曲边形如图8-48-4则有则有则有则有 式（式（式（式（8-58-5）称为求）称为求）称为求）称为求dEdE初值问题的梯形公式，梯形公式看作初值问题的梯形公式，梯形公式看作初值问题的梯形公式，梯形公式看作初值问题的梯形公式，梯形公式看作是以（是以（是以（是以（x xn n,y yn n）(x xn n+1+1,y yn n+1+1)构造的插值多项式代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数构造的插值多项式代替被积函数得到的，而得到的，而得到的，而得到的，而EulerEuler公式公式公式公式则是以左端点函数值近似被积函数则是以左端点函数值近似被积函数则是以左端点
18、函数值近似被积函数则是以左端点函数值近似被积函数而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些而得到，还可以用多个点做插值多项式近似被积函数构造另一些精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比精度更高的解微分方程的数值公式，梯形公式比EulerEuler公式公式公式公式更准更准更准更准确一些，误差更小。确一些，误差更小。确一些，误差更小。确一些，误差更小。Euler公式的推导（续公式的推导（
19、续6）2 2）以右矩形面积代替曲边梯形以右矩形面积代替曲边梯形以右矩形面积代替曲边梯形以右矩形面积代替曲边梯形(后退的梯形公式）：如图后退的梯形公式）：如图后退的梯形公式）：如图后退的梯形公式）：如图8-38-3 第12页，本讲稿共31页Euler公式注释公式注释注注注注1 1 ：EulerEuler公式为显式，后退的公式为显式，后退的公式为显式，后退的公式为显式，后退的EulerEuler公式公式公式公式，梯形公式为隐式；，梯形公式为隐式；，梯形公式为隐式；，梯形公式为隐式；注注注注2 2：EulerEuler公式，梯形，后退的公式，梯形，后退的公式，梯形，后退的公式，梯形，后退的Euler
20、Euler公式为单步法，计算公式为单步法，计算公式为单步法，计算公式为单步法，计算y yn n+1+1只用只用只用只用y yn n，而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造多步法），而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造多步法），而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造多步法），而中点法公式为多步法（还可如上二所述，构造多步法）即必须已知即必须已知即必须已知即必须已知y yn n-1-1，y yn n才才才才 能计算能计算能计算能计算y yn n+1+1，（求，（求，（求，（求y y0 0,y y1 1不能用此公式。不能用此公式。不能用此公式。不能用此公式。y y0 0,y y1 1称
21、为多步法的开始值，称为多步法的开始值，称为多步法的开始值，称为多步法的开始值，y y0 0给定，给定，给定，给定，而而而而y y1 1必须由其它公式算出，必须由其它公式算出，必须由其它公式算出，必须由其它公式算出，然后才能用中点法）；然后才能用中点法）；然后才能用中点法）；然后才能用中点法）；注注注注3 3：前面已有前面已有前面已有前面已有EulerEuler法法法法 的局部截断误差：的局部截断误差：的局部截断误差：的局部截断误差：后退后退后退后退EulerEuler法的局部截断误差：法的局部截断误差：法的局部截断误差：法的局部截断误差：误差阶误差阶误差阶误差阶：如果局部截断误差如果局部截断误
22、差如果局部截断误差如果局部截断误差 则称方法为则称方法为则称方法为则称方法为P P阶的。阶的。阶的。阶的。第13页，本讲稿共31页 显然，步长显然，步长显然，步长显然，步长h h越小，阶数越小，阶数越小，阶数越小，阶数P P越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当越高，局部截断误差越小，当然计算精度越高；然计算精度越高；然计算精度越高；然计算精度越高；注注注注4 4：梯形法是几阶？梯形法精度比梯形法是几阶？梯形法精度比梯形法是几阶？梯形法精度比梯形法是几阶？梯形法精度比EulerEuler法高，阶数肯定法高，阶数肯定法高，阶数肯定法高，阶数肯定比比比比Eu
23、lerEuler法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估法高，其实我们可以利用数值积分公式的误差估计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积计式，因为我们是用梯形数值积 分公式计算分公式计算分公式计算分公式计算 因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此因此由积分中梯形公式的误差知此时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：时的局部截断误差为：梯形法为梯形法为2阶方法阶方法！Euler Euler法，后
24、退法，后退法，后退法，后退EulerEuler法为法为法为法为1 1阶方法阶方法阶方法阶方法，而中点法为而中点法为而中点法为而中点法为2 2 阶阶阶阶，Euler公式注释（续）公式注释（续）第14页，本讲稿共31页关于关于Euler法的整体截断误差注释法的整体截断误差注释注注注注5 5：关于关于关于关于EulerEuler法法法法的整体截断误差：的整体截断误差：的整体截断误差：的整体截断误差：实际计算时，实际计算时，实际计算时，实际计算时，y yn n是是是是y y(x xn n)的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程的近似值，因此，计算过程中除每步所产生的局
25、部截断中除每步所产生的局部截断中除每步所产生的局部截断中除每步所产生的局部截断误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考误差外，还有因前面的计算不准确而引起的误差。在不考虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称虑舍入误差的情况下，称y y(x xn n+1+1)与与与与y yn n+1+1之差为整体截断误差之差为整体截断误差之差为整体截断误差之差为整体截断误差，记为：，记为：，记为：，记为：下面讨论下面讨论下面讨论下面讨论EulerEuler方法的整体截断误差。
26、方法的整体截断误差。方法的整体截断误差。方法的整体截断误差。为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数为简便起见，假定函数f f(x x,y y)充分光滑，问题（充分光滑，问题（充分光滑，问题（充分光滑，问题（8-18-1）解）解）解）解y y(x x)在在在在 a a,b b 上二阶连续可微，于是由式（上二阶连续可微，于是由式（上二阶连续可微，于是由式（上二阶连续可微，于是由式（8-68-6），局部截断），局部截断），局部截断），局部截断误差有界，即存在误差有界，即存在误差有界，即存在误差有界，即存在MM00，使得对任意使得对任意使得对任意使得对任意x x a a,b b，
27、都有，都有，都有，都有|y y(x x)|)|MM，从而有：，从而有：，从而有：，从而有：（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第15页，本讲稿共31页结结 论论 对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于对于实际问题来说，由于L L，M M 难以估计，因难以估计，因难以估计，因难以估计，因很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这很难应用，而且上述推导过程中一再放大了误差上限，这样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远
28、远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从样的估计往往也很保守，远远大于实际的误差，但是，从估计式（估计式（估计式（估计式（8-78-7）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。）却可以得到下面很有用处的结论。1 1）当当当当h h0 0时，时，时，时，e en n0 0即，即，即，即，亦即数值解亦即数值解亦即数值解亦即数值解y yn n，一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（一致收敛于初值问题（8-18-1）的真）的真）的真）的真y y(x xn n)，并且，并且，并且，并且，Eul
29、erEuler法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为法的整体截断误差的阶为O O(h h)与与与与h h同阶，比局同阶，比局同阶，比局同阶，比局部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。部截断误差低一阶。2 2）舍入误差舍入误差舍入误差舍入误差 局部截断误差局部截断误差局部截断误差局部截断误差 对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随对实际计算结果有影响，并且随h h减少减少减少减少 而减少或增大。而减少或增大。而减少或增大。而减少或增大。第16页，本讲稿共31页3）计算结果与解法的阶数计算结果与解法的阶数p
30、p，真解的导数，真解的导数y y(p+1)+1)有关，有关，有关，有关，p p越大，越大，h p+p+1 1越小，越小，越小，越小，|y(p+1)()|的上限越大，的上限越大，M 也越大，也越大，也越大，也越大，因此为保证精度当然应选阶数因此为保证精度当然应选阶数因此为保证精度当然应选阶数因此为保证精度当然应选阶数p p较高的方法。但如果较高的方法。但如果M 很大，当很大，当f(x x,y)是分段连续的函数时，则应采用低是分段连续的函数时，则应采用低阶的方法如用阶的方法如用Euler法。法。法。法。结结 论（续）论（续）4）计算结果还与开始值的精度有关，为使这种误差的计算结果还与开始值的精度有
31、关，为使这种误差的计算结果还与开始值的精度有关，为使这种误差的计算结果还与开始值的精度有关，为使这种误差的影响不致于超过局部影响不致于超过局部影响不致于超过局部影响不致于超过局部 截断误差，对多步法，应采用跟截断误差，对多步法，应采用跟截断误差，对多步法，应采用跟截断误差，对多步法，应采用跟多步法同阶的方法计算开始值。多步法同阶的方法计算开始值。多步法同阶的方法计算开始值。多步法同阶的方法计算开始值。第17页，本讲稿共31页1.2 改进的改进的EulerEuler法法 梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式
32、，即若利用梯梯形公式为二阶方法，但却是隐式格式，即若利用梯形公式求形公式求形公式求形公式求y yn n+1+1，就要求解方程（，就要求解方程（，就要求解方程（，就要求解方程（8-58-5）式，计算量较大，通）式，计算量较大，通）式，计算量较大，通）式，计算量较大，通常在实际计算时，将常在实际计算时，将常在实际计算时，将常在实际计算时，将EulerEuler法法法法与与与与梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式合起来使用，即合起来使用，即合起来使用，即合起来使用，即先使用先使用先使用先使用EulerEuler公式公式公式公式,由（由（由（由（x xn n,y yn n）算出）算出）算出）算出y yn
33、n+1+1，记为，记为，记为，记为y yn n+1+1(0)(0)，称为，称为，称为，称为预测值预测值预测值预测值，然后用，然后用，然后用，然后用梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式去提高精度，将去提高精度，将去提高精度，将去提高精度，将y yn n+1+1(0)(0)校正为较校正为较校正为较校正为较准确的值：准确的值：准确的值：准确的值：由于函数由于函数由于函数由于函数f f(x x,y y)满足满足满足满足LipschitzLipschitz条件，容易得出条件，容易得出条件，容易得出条件，容易得出:第18页，本讲稿共31页改进的改进的Euler法法(续）续）第19页，本讲稿共31页预测预测校正
34、型公式校正型公式 实际经验表明，式（实际经验表明，式（实际经验表明，式（实际经验表明，式（8-88-8）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，）的迭代效果主要体现在第一次，由此构成如下的预测由此构成如下的预测由此构成如下的预测由此构成如下的预测校正型公式校正型公式校正型公式校正型公式:此式称为改进的此式称为改进的此式称为改进的此式称为改进的EulerEuler公式，为上机计算编程方便，常将式公式，为上机计算编程方便，常将式公式，为上机计算编程方便，常将式公式，为上机计算编程方便，常将式（8-98-9）改写为）改写为）改写为）改写为:下面分析改进
35、的下面分析改进的下面分析改进的下面分析改进的EulerEuler公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：公式的局部截断误差：第20页，本讲稿共31页改进的改进的Euler公式的局部截断误差分析公式的局部截断误差分析假定假定假定假定y yn n=y y(x xn n)，y y(x xn n+1+1)的的的的TaylorTaylor展式为展式为展式为展式为:对于改进的对于改进的对于改进的对于改进的EulerEuler公式，由于公式，由于公式，由于公式，由于 这说明改进的这说明改进的这说明改进的这说明改进的EulerEuler法的局部截断误法的局部截断误法的局部截断误法的局部截断
36、误差为差为差为差为O O(h h3 3)，比，比，比，比EulerEuler公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。公式高一阶，是二阶方法。第21页，本讲稿共31页改进的改进的Euler公式举例公式举例例例1 这些结果在表这些结果在表这些结果在表这些结果在表8-18-1中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，中，可见计算结果的精度，EulerEuler法法法法与与与与后退后退后退后退EulerEuler法法法法差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较差不多，与准确值相比较EulerEuler法法法法偏小，
37、而偏小，而偏小，而偏小，而后后后后退退退退EulerEuler法法法法偏大；偏大；偏大；偏大；中点法中点法中点法中点法与与与与梯形法梯形法梯形法梯形法精度同为精度同为精度同为精度同为2 2阶，但梯形法阶，但梯形法阶，但梯形法阶，但梯形法更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系更好一些，这跟它们局部截断误差的符号，阶数和系数的大小是完全一致的。数的大小是完全一致的。数的大小是完全一致的。数的大小是完全一致的。表见下屏：表见下屏：表见下屏：表见下屏：第22页，本讲稿共31页表格表格8-1表表表表8-1
38、8-1 y y =y y,y y(0)=1(0)=1 的数值解的数值解的数值解的数值解(h h=0.1)=0.1)x x精精精精 确确确确 解解解解欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法后退欧拉后退欧拉后退欧拉后退欧拉中点法中点法中点法中点法梯形法梯形法梯形法梯形法.1.1.904837.904837.900000.900000.909091.909091.900000.900000.904762.904762.2.2.808731.808731.810000.810000.826446.826446.820000.820000.818594.818594.3 3.740818.740818.729000.
39、729000.751315.751315.736000.736000.740633.740633.4.4.670320.670320.656100.656100.683013.683013.627800.627800.670096.670096.5.5.060531.060531.590490.590490.620921.620921.601440.601440.606278.606278.6.6.548812.548812.531441.531441.654474.654474.552512.552512.548537.548537.7.7.496585.496585.478298.4782
40、98.5131458.5131458.490938.490938.496295.496295.8.8.449329.449329.430467.430467.466507.466507.454324.454324.449029.449029.9.9.406570.406570.387421.387421.424098.424098.400073.400073.406264.4062641 1.367879.367879.348679.348679.385543.385543.374310.374310.367573.367573第23页，本讲稿共31页表格表格表格表格8-28-2 而而而而表表
41、表表8-28-2是分别取了不同的是分别取了不同的是分别取了不同的是分别取了不同的h h=0.1,=0.1,h h=0.01=0.01，h h=0.001,=0.001,h h=0.0001=0.0001，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（，还是利用这些公式，经过若干步的计算（h h越越越越小，计算量越大）算到小，计算量越大）算到小，计算量越大）算到小，计算量越大）算到y y(1)(1)的近似值，的近似值，的近似值，的近似值，可见可见可见可见：随着随着随着随着h h的减小，的减小，的减小，的减小，y y(1)(1)的近
42、似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，的近似值的精度在提高，0.010.01比比比比0.0010.001差，即差，即差，即差，即0.0010.001比比比比0.010.01时的时的时的时的y y(1)(1)准确。准确。准确。准确。Y=-y,y(0)=1的解y(1)的近似值(y(1)=0.367879)h欧拉法后退欧拉法中点法梯形法0.1.348678.385543.374310.3675730.01.366033.369711.367944.3678770.001.367700.368052.367879.3678760.0001.367800.367800.36788
43、1.368020（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）第24页，本讲稿共31页表表表表8-28-2计算结果说明（续）计算结果说明（续）计算结果说明（续）计算结果说明（续）但但但但h太小，到太小，到太小，到太小，到h=0.0001=0.0001时却又变得误差大了，这与前面时却又变得误差大了，这与前面时却又变得误差大了，这与前面时却又变得误差大了，这与前面所说所说所说所说h越小，越小，越小，越小，p p阶越高，应该局部截断误差越小，因而阶越高，应该局部截断误差越小，因而计算精度更高矛盾了，为什么会产生这种情况呢？计算精度更高矛盾了，为什么会产生这种情况呢？这是由于这是由于这是由于这是由于
44、h太小而引起计算量大因而造成了舍入误差和太小而引起计算量大因而造成了舍入误差和太小而引起计算量大因而造成了舍入误差和太小而引起计算量大因而造成了舍入误差和截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会影响截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会影响截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会影响截断误差的积累，这种情况由于初值问题不同可能会影响更大，偏离更严重，更大，偏离更严重，更大，偏离更严重，更大，偏离更严重，如下面的例如下面的例2 。这种问题实际上是稳。这种问题实际上是稳。这种问题实际上是稳。这种问题实际上是稳定性问题，我们将会讨论方法的稳定性，由此得出对定性问题，我们将会讨论方
45、法的稳定性，由此得出对定性问题，我们将会讨论方法的稳定性，由此得出对定性问题，我们将会讨论方法的稳定性，由此得出对h h有有一定的要求的稳定性制区域。一定的要求的稳定性制区域。第25页，本讲稿共31页5 收敛性与稳定性收敛性与稳定性 通过前面的讨论可以看到，微分方通过前面的讨论可以看到，微分方程数值解法的程数值解法的基本思想基本思想是：是：通过某种离散化手段，将微分方程通过某种离散化手段，将微分方程转化为差分格式求解。从理论上说，这转化为差分格式求解。从理论上说，这里需要解决两个问题，一是当步长里需要解决两个问题，一是当步长h0时，差分解，这就是差分格式的收敛性时，差分解，这就是差分格式的收敛
46、性问题；二是利用差分格式求解时，初始问题；二是利用差分格式求解时，初始误差及计算过程中的舍入误差能否得到误差及计算过程中的舍入误差能否得到控制，这就是差分格式的稳定性问题。控制，这就是差分格式的稳定性问题。本节对这两个问题作一简单介绍。本节对这两个问题作一简单介绍。第26页，本讲稿共31页5.1 收敛性收敛性 用某种差分格式解微分方程时，若对求解区间用某种差分格式解微分方程时，若对求解区间用某种差分格式解微分方程时，若对求解区间用某种差分格式解微分方程时，若对求解区间a,ba,b中的中的中的中的任一点任一点任一点任一点x x，当当当当h h0 0时差分解时差分解时差分解时差分解y yn n一致
47、收敛一致收敛一致收敛一致收敛于微分方程之解于微分方程之解于微分方程之解于微分方程之解y(x)y(x)，对对对对x x一致成立，则称该差分格式是收敛的。一致成立，则称该差分格式是收敛的。一致成立，则称该差分格式是收敛的。一致成立，则称该差分格式是收敛的。显然，只有收敛的差分格式才有实用价值。可以证明，显然，只有收敛的差分格式才有实用价值。可以证明，显然，只有收敛的差分格式才有实用价值。可以证明，显然，只有收敛的差分格式才有实用价值。可以证明，前几节介绍的单步法与多步法对满足解的存在唯一性定理条前几节介绍的单步法与多步法对满足解的存在唯一性定理条前几节介绍的单步法与多步法对满足解的存在唯一性定理条
48、前几节介绍的单步法与多步法对满足解的存在唯一性定理条件的微分方程都是收敛的。件的微分方程都是收敛的。件的微分方程都是收敛的。件的微分方程都是收敛的。对于收敛的差分格式，从理论上说只要对于收敛的差分格式，从理论上说只要对于收敛的差分格式，从理论上说只要对于收敛的差分格式，从理论上说只要h h充分小，差分解充分小，差分解充分小，差分解充分小，差分解y yn n的精度就可以任意高。的精度就可以任意高。的精度就可以任意高。的精度就可以任意高。第27页，本讲稿共31页5.2 稳定性稳定性 实际计算中舍入误差几乎不可避免，这类误差在递推计算过实际计算中舍入误差几乎不可避免，这类误差在递推计算过实际计算中舍
49、入误差几乎不可避免，这类误差在递推计算过实际计算中舍入误差几乎不可避免，这类误差在递推计算过程中会不会恶性增长，以致淹没了差分方程的真解，这是微分方程中会不会恶性增长，以致淹没了差分方程的真解，这是微分方程中会不会恶性增长，以致淹没了差分方程的真解，这是微分方程中会不会恶性增长，以致淹没了差分方程的真解，这是微分方程数值解法中的另一个重问题。由于研究的对象不同，关于稳定程数值解法中的另一个重问题。由于研究的对象不同，关于稳定程数值解法中的另一个重问题。由于研究的对象不同，关于稳定程数值解法中的另一个重问题。由于研究的对象不同，关于稳定性的定义很多，这里只介绍其中一种性的定义很多，这里只介绍其中
50、一种性的定义很多，这里只介绍其中一种性的定义很多，这里只介绍其中一种绝对稳定性绝对稳定性绝对稳定性绝对稳定性。由于实际问题中微分方程（由于实际问题中微分方程（由于实际问题中微分方程（由于实际问题中微分方程（8-18-1）的右端）的右端）的右端）的右端f(x,y)f(x,y)复杂多样，这给复杂多样，这给复杂多样，这给复杂多样，这给研究稳定性带来了困难，因此通常取以下模型方程为基础研究稳定性带来了困难，因此通常取以下模型方程为基础研究稳定性带来了困难，因此通常取以下模型方程为基础研究稳定性带来了困难，因此通常取以下模型方程为基础进行研究。进行研究。进行研究。进行研究。其中为常数，其中为常数，其中为