材料力学(II)能量法.ppt

《材料力学(II)能量法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学(II)能量法.ppt（111页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、材料力学(II)能量法材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法31 概概 述述 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹性模量均为E=210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1ADl2 DAy(c)(a)若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(c)弯曲第三章第三章 能量方法能

2、量方法纯弯曲 横力弯曲6材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 可以把应变能统一写成式中，F 为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章第三章 能量方法能量方法7材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案2.构件上有一组广义力共同作用构件上有一组广义力共同作用令F=F1,wC=D1,Me=F2,qA=D2,则（）（）第三章第三章 能量方法能量方法 例例CwCFEIABMel/2l/2qA,8材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广

3、义位移，它是由所有广义力共同产生的。3.组合变形（用内力形式表示的应变能）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)只产生弯曲转角第三章第三章 能量方法能量方法 小变形时不计FS 产生的应变能，FN(x)只产生轴向线位移T(x)只产生扭转角有 n 个广义力同时作用时9材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案对于dx 微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为第三章第三章 能量方法能量方法10材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，

4、不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。第三章第三章 能量方法能量方法 4.应变能的特点应变能的特点:EAF2F1ab例例F1F2Me11材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F 和Me 同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值简单加载简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。第三章第三章 能量方法能量方法上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教

5、案案第三章第三章 能量方法能量方法 先加F,再加Me(图 b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无 系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F (c),13材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案还可以先加Me，再加F，得到的应变能 和以上的值相同。第三章第三章 能量方法能量方法14材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即 ，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩第三章第三章 能量方法能量方法(2)非线性弹

6、性体非线性弹性体应变能为（31）（FD 曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（se 曲线和e 轴之间的面积）（32）15材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e 为自变量，。所以 为位移状态的函数。（2）因为 ，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系进行积分。应变能密度 式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为 切应变。第三章第三章 能量方法能量方法注意：注意：2.扭转扭转应变能16材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度

7、 应变能和应变能密度之间的关系为应变能和应变能密度之间的关系为式中，V 为体积。第三章第三章 能量方法能量方法3.梁梁应变能17材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 33 原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载 作用下的应变能。两杆的弹性模量均为 ,横截面面积均为 。解：解：首先分析力F 和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN，两杆的伸长量和A点的位移分别为 （1）第三章第三章 能量方法能量方法(a)18材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案将（1）式代入上式得由结点A的平衡方程，得 (2)为小角度，(4)第三章第三章 能量方法能量方法(

8、3)由于所以19材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案将（5）式代入（2）式，得或写成（7）F 和D的关系如图b所示。（5）第三章第三章 能量方法能量方法（6）将（4）式代入（3）式，得20材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 （1）由于力F 引起的变形 ，对 产生影响，形成F 和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系几何非几何非 性性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时 物理非线性物理非线性。（2）几何非线性时，不能用 求应变能，而 只能用 求应变能。第三章第三章 能量方法能量方法杆的应变能为注意注意21材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案.余能余能

9、第三章第三章 能量方法能量方法 图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其F D和se关系如图b,c 所示。（1）余功的定义为余功的定义为（36）22材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OF1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)23材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 余能密度为（38）(37)和（38）式，分别以 F 和 s 为自变量，D

10、=f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)为受力状态的函数。第三章第三章 能量方法能量方法VcVeF1 FD D D1 a(e)o（3）线弹性体（图）线弹性体（图e）Ve 和 Vc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照 ,余能为（37）（2）余能）余能（39）余能为24材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 35 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的 s e 关系如图b 所示。求结构的余能。解：解：该题为物理非线性问题，需用 求 Vc。第三章第三章 能量方法能量方法由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为25材材 料料

11、 力力 学学 电电 子子 教教 案案余能密度为结构的余能为得第三章第三章 能量方法能量方法（n1）由26材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。.卡氏第一定理卡氏第一定理（310）第三章第三章 能量方法能量方法 设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,d i，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为33 卡氏定理卡氏定理为位移状态函数。27材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 假设与第 i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量d

12、Di，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为（dDi不是由Fi产生的，Fi dDi为常力做的功）（a）第三章第三章 能量方法能量方法(b)式中，为应变能对位移 的变化率。28材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（311）式为卡氏第一定理卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（311）适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把Ve写成给定位移的函数形式。第三章第三章 能量方法能量方法（311）得令29材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三

13、章第三章 能量方法能量方法 例例 38 图a所示结构中，AB,BC 杆中的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求 B点的水平位移D1和铅垂位移D2。30材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解：卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB,BC杆的变形量dAB,dBC所引起的。首先分析dAB,dBC和D1和D2的几何关系。dAB=D1 ，d BC=A1cos45=设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见第三章第三章 能量方法能量方法 设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见 31材材 料料 力力 学学 电电 子

14、子 教教 案案D1和D2同时发生时，则有,（1）,由于是线弹性问题，结构的应变能为（2）第三章第三章 能量方法能量方法32材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（3）（4）联立求解（3）,（4），得可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。（）,（）第三章第三章 能量方法能量方法由卡氏第一定理，得33材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案.卡氏第二定理卡氏第二定理 图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di，fi。梁的余能为 （312）第三章第三章 能量方法能量方法表明(1)余能定理余能定理34材材

15、 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案令上式称为余能定理余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。(313)得第三章第三章 能量方法能量方法 设第 i个力Fi有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是35材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 39 图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A，材料在单轴拉伸时的s e 的关系如图b所示。试用余能定理求结点C的铅垂位移D1。第三章第三章 能量方法能量方法36材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解：在例35中，已求出结构的余能为由余能定理得第三章第三章 能量方法能量方法 设

16、BC,CD 杆的伸长量为d，容易验上式的 ，即为变形的几何关系。37材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案由平衡方程得第三章第三章 能量方法能量方法两杆的伸长量为则BC,CD 杆横截面上的的应力为故38材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(2)卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理和余能定理的比较 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理第三章第三章 能量方法能量方法DiDi+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变。FiFi+dFi，其它力均不变，所有的位移均不变。39材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理 续表续表(平

17、衡方程)第三章第三章 能量方法能量方法（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体40材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(3)卡氏第二定理卡氏第二定理 当结构为线弹性体时，由于力F和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）。若把 用力表示，即（313）式可改写成（314）上式称为卡氏第二定理，卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。第三章第三章 能量方法能量方法VcF1FD D1 a(e)O41材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于

18、与该荷载相应的位移。注意注意:组合变形（不计剪力的影响）时 也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。用该式计算时，可减少计算工作量。第三章第三章 能量方法能量方法42材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 310 图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不 计剪力对位移的影响。试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。解：解：因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0 ,即第三章第三章 能量方法能量方法43材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为 利用卡氏

19、第二定理，得（和假设的（和假设的F 的指向一致的指向一致）这种虚加这种虚加F力的方法，也称为附加力法。力的方法，也称为附加力法。()第三章第三章 能量方法能量方法这是因为 为n个独立广义力的二次齐次式,其中 也可以作为一个广义力。44材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 311 图 a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角 。不计剪力对位移的影响。第三章第三章 能量方法能量方法45材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩 MB，并求 出在一对外力偶 MB 及 q 共同作用下梁的支反力（图 b

20、）。第三章第三章 能量方法能量方法解：解：B 截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶 MB 相应的相对角位位移，即46材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（0 1)，横截面面积均为A，1,2两杆长度为 l。用余能定理求各杆的轴力。第三章第三章 能量方法能量方法72材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法 解：解：以铰链 D 的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示，F,X 看作基本静定系上独立的外力，所以 Vc=Vc(F,X)（不能含有其它未知力）因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。73材材

21、 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(1)（轴力均用F 和 X 表示）第三章第三章 能量方法能量方法由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由 得74材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为75材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示变形的几何关系。由 ，得将X 值代入（1），得第三章第三章 能量方法能量方法 以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。76材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案

22、.卡氏第二定理（卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载 及选定的多余未知力 作为基本静定系上独立的外力，应变能 只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为 ，Di 为和 的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第三章第三章 能量方法能量方法77材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。第三章第三章 能量方法能量方法CABql l(a)78材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本

23、静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (Ve 也将出现 )，必须把第三章第三章 能量方法能量方法CABql l(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql 用 q,X 表示。由 ，得79材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案CB,AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为 ，第三章第三章 能量方法能量方法 由 ，得 l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案解得 （）和图示方向相反。（）（）（）第三章第三章 能量方法能量方法由平衡条件得 l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案

24、案 例例317 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。第三章第三章 能量方法能量方法82材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。第三章第三章 能量方法能量方法(a)但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即83材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相

25、对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为第三章第三章 能量方法能量方法(c)84材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)第三章第三章 能量方法能量方法(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得85材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案.虚位移原理虚位移原理第三章第三章 能量方法能量方法（1）刚体）刚体虚位移 满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。35 虚位移原理及单位力法虚位移原理及单位力法86材材 料料 力力 学学 电电 子子

26、 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法（2）可变形固体）可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。外力作用下，物体产生变形的同时产生内力外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移 虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）Wi（内力虚功）0 （315）87材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案1.梁的虚位移原理梁的虚位移原理第三章第三章 能量方法能量方法 图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，

27、与梁上的荷载及其内力完全无关。(a)x 实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy88材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法 梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为 外力对于虚位移所作的总虚功为 (a)(a)外力虚功外力虚功(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功内力虚功 取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。89材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案由于梁的虚位移，使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分为两部分：第三章第三章 能量方法能量

28、方法一为刚性体位移一为刚性体位移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd 位置移至 。（图d 的实线）(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy90材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案第三章第三章 能量方法能量方法二为变形虚位移二为变形虚位移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到 （图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy91材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(b)第三章第三章 能量方法能量方法 M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原

29、理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为92材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(3-15)，即 (c)梁的内力虚功为 (d)将(a),(d)式代入（315）式，得梁的虚位移原理表达式虚位移原理表达式为第三章第三章 能量方法能量方法得即(3-16)93材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角

30、dj。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为 (3-17)第三章第三章 能量方法能量方法2.组合变形的虚位移原理组合变形的虚位移原理 由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，所以(3-17)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚位移，dq,dl,dd,为微段的变形虚位移。94材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案.单位力法单位力法 (1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq,dl,dd

31、,dj 作为变形虚位移。即以以实际位移作为虚位移。实际位移作为虚位移。(2)若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为 。第三章第三章 能量方法能量方法95材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案（3）单位力所做的外力虚功为 We=1D单位力法的虚位移原理表达式为(3-18)该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。第三章第三章 能量方法能量方法杆件的内力虚功为96材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案(3-19)于

32、是(3-18)成为(3-20)式中 为由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。为大于1的系数，见例 320。第三章第三章 能量方法能量方法(4)线弹性体线弹性体由荷载引起的微段变形位移公式为97材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 在C 截面处施加单位力（图 b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为 (0 x l)(a)第三章第三章 能量方法能量方法 例例 319 梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求 。(0 x l/2)(b)解：解：1.求98材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案因为 均关于C 截面对称的，故C 截面的挠度为（和单位力方向一致）（和单位力

33、方向一致）（）第三章第三章 能量方法能量方法99材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案A截面处的转角为（）（和单位力偶的转向相反）（和单位力偶的转向相反）第三章第三章 能量方法能量方法 在 A 截面处加单位力偶（图c），单位力偶引起的弯矩方程为(0 x l)(c)2.求100材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案中的 系数的表达式。解：解：梁的单位力法公式的右端，是从梁中取出dx 微段，计算因弯矩和剪力引起的内力虚功而导出的。也可以从梁中取出一个单元体（图b）来计算内力虚功。仍然以单位力作为荷载，由荷载引起的实际位移作为虚位移。第三章第三章 能量方法能量方法 例例 320 试导

34、出梁的单位力法公式101材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案单元体各面上的总内力为（也是单元体的外力）(b)2.由荷载引起的单元体的应力为(c)第三章第三章 能量方法能量方法 1.由单位力引起的单元体的应力为(a)单元体的伸长量为dd，错动量dl（图c,d）分别为102材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案3.单元体的外力虚功和内力虚功分别为(e)第三章第三章 能量方法能量方法（变形虚位移 ）(d)103材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案式中，令(g)第三章第三章 能量方法能量方法4.梁的内力虚功为(f )则104材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案式中

35、，（平均切应力），（平均剪应变），为切应力不均匀系数，根据截面形状由 计算，矩形截面 ，圆截面 。梁的外力虚功为1D，由 ，得5.梁的单位力公式105材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例322 图a所示为圆截面的半圆环小曲率杆，其直径为d，材料的弹性常数为E和G。荷载沿曲杆轴线均匀分布，其方向垂直半圆环所在的平面。试用单位力法求 A 端的铅垂位移DA。第三章第三章 能量方法能量方法(b)(a)106材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案解：解：在A端加沿z方向的单位力（图b），由图c所示的几何关系可得荷载及单位力引起的曲杆横截面上的内力分别为(a)(b)第三章第三章 能

36、量方法能量方法(b)(c)(d)107材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案A端铅垂位移公式第三章第三章 能量方法能量方法(f)(e)其中108材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案其中（）第三章第三章 能量方法能量方法故 A 端的铅垂位移为109材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案当G=0.4E,R=5d 时 由剪力产生的位移约占总位移的 0.4%，一般可不计剪力对位移一般可不计剪力对位移的影响的影响。第三章第三章 能量方法能量方法第三章完第三章完110此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!