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1、一.教学内容：立体几何初步二.教学目的1.复习立体几何初步的相关知识及基本应用2.掌握典型题型及其处理方法三.教学重点、难点立体几何初步的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法期末立体几何初步复习期末立体几何初步复习四四.知识分析知识分析1.多面体的结构特征对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。2.旋转体的结构特征旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生
2、成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。3.表面积与体积的计算有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。1.多面体的面积和体积公式正棱台S侧+S上底+S下底各侧面面积之和棱台棱台ch正棱锥S底hS侧+S底各侧面面积之和棱锥棱锥S底hCh直棱柱S底h=S直截面hS侧+2S底直截面周长l棱柱棱柱体积（V）全面积（S全）侧面积（S侧）名称表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，l表示侧棱长。（c+c）h2.旋转体的面积和体积公式r2h（即r2l）V4R2（r1+r2）l+（r21
3、+r22）r（l+r）2r（l+r）S全（r1+r2）lrl2rlS侧球圆台圆锥圆柱名称表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。R3h（r21+r1r2+r22）r2h4.三视图与直观图的画法三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。5.线线平行的判定方法（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；（2）公理4：（3）平面几何中判定两直线平行的方法；（4）线面平行的性
4、质：（5）线面垂直的性质：（6）面面平行的性质：。6.直线和平面平行的判定方法（1）定义：（2）判定定理：（3）线面垂直的性质：（4）面面平行的性质：。7.判定两个平面平行的方法（1）依定义采用反证法；（2）利用判定定理：（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）平行于同一平面的两个平面平行；8.平行关系的转化由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。9.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90；（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：（4）线面垂直的性质：（5
5、）三垂线定理及其逆定理10.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a与内任何直线垂直（2）判定定理1：（3）判定定理2：（4）面面平行的性质：（5）面面垂直的性质：13.判定两个平面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。（2）判定定理：11.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。【典型例题】【典型例题】例1.图中所示的是
6、一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图。解析：解析：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示。在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计。说明：说明：画简单组合体的三视图应注意两个问题：（1）要确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置位置的不同，所画的三视图可能不同。（2）要明确简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是交线位置。变式演练变式演练变式演练变式演练已知一个组合体的三视图如图已知一个组合体的三视图如图7-2-10所示，请根据具体所示，请根据具
7、体数据求几何体的体积数据求几何体的体积(单位单位:cm).由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部又是一个圆柱部是一个圆柱，下部又是一个圆柱.由条件中的尺寸可由条件中的尺寸可知知:V圆锥圆锥=Sh=222=(cm3);V圆柱中圆柱中=Sh=2210=40(cm3);V圆柱下圆柱下=Sh=421=16(cm3).所以此组合体体积所以此组合体体积V=V圆锥圆锥+V圆柱中圆柱中+V圆柱下圆柱下=+40+16=(cm3).例2.在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PAPBPCa，求这个球的表面积和体积。解析：
8、解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面半径为r，球心到截面距离为d，球半径为R，则在三棱锥PAPB，PAPC，PBPCP在ABC上的射影O1是ABC的垂心,又PA=PB=PCO1又是ABC的外心因此可知ABC是等边三角形，边长为中于是，又说说明：明：因为PA，PB，PC 两两垂直，于是也可以构造一个长方体来解决，长方体对角线恰为球的直径，所以，这样就简单了。例3.如图，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直且PAPBPCa，求P点到平面ABC的距离。解析：解析：过P作PO平面ABC于O点，连结AO、BO、COPOOA，POOB，POOCPA=PB=PC=aPAOPBOPCOOA=OB
9、=OCO为ABC的外心PA、PB、PC两两垂直AB=BC=CA=，ABC为正三角形因此点P到平面ABC的距离为说明：说明：（1）求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离。（2）求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理及有关三角函数知识。（3）点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到的方法之外，还有其他一些方法，比如等积法，希望大家在学习过程中不断总结例4.如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点。（1）求证
10、：MN/平面PAD；（2）求证：MNCD；（3）若PDA=45，求证：MN平面PCD。解析：解析：取PD中点E，连结AE、EN，则故四边形AMNE为平行四边形MN/AE，又AE平面PAD，平面PADMN/平面PADMN（2）PA平面ABCDPAAB又ADABAB平面PADABAE，即ABMN又CD/AB，MNCD（3）PA平面ABCDPAAD又APD=45，E为PD中点AEPD，即MNPD又MNCD，MN平面PCD说明：说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行的直线。处理有关线面垂直和线线垂直的问题，要注意转化思想的应用，即将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直又
11、可转化为线线垂直。例5.正三棱柱中，若，求证：。由正三棱柱性质知：又正三棱柱侧面与底面垂直则有CD面，所以中点解析：解析：取AB中点D，连结又所以 所以又所以四边形为平行四边形A B A1 B1 C1 C 所以 所以又CD平面 所以CD所以又 所以说明：说明：证明线线垂直的主要方法是证明线面垂直。例6.已知正方体ABCD一A1BlC1D1的棱长为a，O为面A1BlC1D1的中心，求点O到平面C1BD的距离。解析：解析：连结因为BDAC,又所以BD所以平面作所以OG的长为点O到面连结OH，在Rt中，所以的距离。所以例例7、如如图图71所示，直角所示，直角BCD所在的平面垂直于所在的平面垂直于正三
12、角形正三角形ABC所在的平面，所在的平面，PA 平面平面ABC，DCBC2PA，E、F分分别为别为DB、CB的中点的中点 (1)求求证证：AE BC；(2)求直求直线线PF与平面与平面BCD所成的角所成的角 图图71变式演练变式演练变式演练变式演练如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为中，底面是边长为2的菱的菱形，形，DAB=60,对角线对角线AC与与BD交于点交于点O，PO平面平面ABCD，PB与平面与平面ABCD所成角为所成角为60.(1)求四棱锥的体积；求四棱锥的体积；(2)若若E是是PB的中点，的中点，求异面直线求异面直线DE与与PA所成角的余弦值所成角的余弦
13、值.（1）在四棱锥）在四棱锥PABCD中，中，PO平面平面ABCD，PBO是是PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，即即PBO=60,在在RtPOB中，中，BO=ABsin30=1,又又POOB，PO=BOtan60=,底面菱形的面积底面菱形的面积S=2 22 =2 ，四棱锥四棱锥PABCD的体积的体积VPABCD=2 =2.(2)取取AB的中点的中点F，连接，连接EF，DF，E为为PB中点，中点，EFPA.DEF为异面直线为异面直线DE与与PA所成角（或其补角）所成角（或其补角）.在在RtAOB中，中，AO=ABcos30=OP,在在RtPOA中，中，PA=，EF=.在正三角形在正三角
14、形ABD和正三角形和正三角形PDB中，中，DF=DE=，由余弦定理得由余弦定理得cosDEF=异面直线异面直线DE与与PA所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 例例8 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。A B F E C E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解析：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1
15、连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC1平面FCC1所以直线EE1/平面FCC1（2）因为AB=4，BC=CD=2，、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF，BCF为正三角形，取CF的中点O，则OBCF，又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1平面ABCD，所以CC1BO，所以OB平面CC1F，过O在平面CC1F内作OPC1F，垂足为P，连接BP，则OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角，在BCF为正三角形中，在RtCC1F中，OPFC1CF，在RtOPF中，所以二面角B-FC1-C的余弦值为EC E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPABF